精品解析：2024年黑龙江省佳木斯市中考三模数学试题

2024年初三中考复习第三次综合训练卷数学 （考试时间：120分 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡并交回， 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，请迭出并在答题卡上将选项涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算法则判断A，根据单项式除以单项式的运算法则判断B，根据完全平方公式判断C，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则，完全平方公式是解题关键． 2. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数． 【详解】由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+2=5个． 故选A． 考点：由三视图判断几何体． 4. 2024年“五四”青年节到来之际，为鼓励学生“牢记使命，努力学习”，某校举办了演讲比赛，根据七位评委给小明的打分绘制了如下统计表： 平均数 中位数 众数 方差 9.3 9.2 9.2 0.2 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数、中位数和众数，利用方差、中位数、平均数和众数的定义进行判断，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：由于中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列之后处在数列中点位置的数值，是典型的位置平均数，不受极端变量值的影响， 去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是中位数， 故选：D． 5. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 6. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先解分式方程得到，再分当，即时和当时两种情况，讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时有，故原方程无解， 当时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：C． 7. 小明准备用25元钱去文教用品商店购买价格分别为2元和3元的两种型号的考试中性笔，则小明选择的购买方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解题的关键．设可以购买2元的中性笔x支，3元的中性笔y支，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出结论． 【详解】解：设可以购买2元的中性笔x支，3元的中性笔y支， 依题意得：， ∴， ∵x，y均为非负整数， ∴或或或， ∴可供班委会选择的购买方案有4种． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且， 的面积为18，则k的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD为矩形，O为对角线， ∴AO=OD， ∴∠ODA=∠OAD， 又∵AD为∠DAE的平分线， ∴∠OAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠ODA， ∴OB∥AE， ∵S△ABE=18， ∴S△OAE=18， 设A的坐标为（a，）， ∵AF=EF， ∴F点的纵坐标为， 代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，）， ∴E点的坐标为（3a，0）， S△OAE=×3a×=18， 解得k=12， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键． 9. 如图，在四边形 中，，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定以及直角三角形的性质是解题的关键．如图，取 的中点 ，连接、，延长交于点，由勾股定理得，利用中线的性质得，再证，，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接、，延长交于点， ∵，， ， ∴， ∵， 是的中点， ∴， ∴点 在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点 在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选∶． 10. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝AO， ④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案； ②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可； ③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题； ④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48； ⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可. 【详解】①正确：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD， ∴∠BOC=90°， ∵BE=EC， ∴∠EOB=∠EOC=45°， ∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO， ∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确； ②正确：如图，连接AF， ∵PF⊥AE， ∴∠APF=∠ABF=90°， ∴A，P，B，F四点共圆， ∴∠AFP=∠ABP＝45°， ∴∠PAF=∠PFA＝45°， ∴PA=PF，故②正确； ③正确：设BE=EC=a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a， ∴，即AE＝AO，故③正确； ④错误：根据对称性可知，， ∴==2， ∵OB=OD，BE=EC， ∴CD=2OE，OECD， ∴ ， ， ∴， ， ∴， ∴，故④错误； ⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC， ∴， ∴， ∴EQ=PE， ∴CE•EF=EQ•DE，故⑤正确； 综上所诉一共有4个正确，故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念与方法是解题关键. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 5月16日至21日在哈尔滨举办的第八届中国—罗斯博览会落下帷幕．博览会自2014年举办首届以来，累计签约4468亿元人民币．数据4468亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： 4468亿， 故答案为：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须且． 故答案为x≥-1且x≠2 【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件． 13. 已知菱形 中对角线 、 相交于点 ，添加条件________可使菱形 成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 14. 如图，电路图上有3个开关，，和2个小灯泡，，任意闭合其中的2个开关可以使小灯泡发亮的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求解，根据题意画出树状图即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有③②，①③，②③，③①4种， ∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 15. 若关于 的一元一次不等式组有 个整数解，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可． 【详解】解： 解不等式①得：x>1， 解不等式②得：x<， ∴不等式组的解集是1＜x＜， ∵x的一元一次不等式组有2个整数解， ∴x只能取2和3， ∴， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值范围． 16. 常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，， 的半径，则圆盘离桌面 最近的距离是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造直角三角形是求线段长的常用方法．连接 ，，作，先证明四边形是矩形，进而得出，再根据勾股定理求出 ，可得，根据即可得出答案． 【详解】解：连接 ，，过点O作于点G，交 一点E，交 于点F． ∵，， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴圆盘离桌面 最近的距离是1cm， 故答案为：1． 17. 用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 _____． 【答案】3cm 【解析】 【分析】先根据扇形的面积公式：S•l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径． 【详解】解：∵S•l•R， ∴•l•4＝12π，解得l＝6π， 设圆锥的底面半径为r， ∴2π•r＝6π， ∴r＝3（cm）． 故答案为：3cm． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的周长公式，熟练掌握公式是解题的关键． 18. 在矩形 中，，，，，连接 ，则 的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 交于，证明，而，可得，，在 上取点，且，连接，过作于 ，连接交于 ，证明四边形为矩形，求解，结合，即，可得在以 为圆心，为半径是圆弧上，当三点共线时， 最短，过 作于，交于 ，则，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接 交于， ∵矩形 ，，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， 在 上取点，且，连接，过作于 ，连接交于 ， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴在以 为圆心，为半径是圆弧上， ∴当三点共线时， 最短， 过 作于，交于 ，则，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即 的最小值为：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题难度大，确定点的运动轨迹是解本题的关键． 19. 在腰长为 的等腰三角形纸片中， ，，点 为上一动点，将纸片沿 对折，使点 落在点处，当中有一条边垂直于时， 的长为_______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】分种情况考虑，利用对称的性质及解直角三角形等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当，在 下方时，过点 作于点，则，如图， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； 当，在 上方时，过点 作于点，则，如图， 由 得 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴； 当于点时， 由 得 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上， 的长为或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，勾股定理，度直角三角形的性质及解直角三角性质，注意分类讨论是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在 轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴点与点的横坐标相同，，，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形，，，，…都是平行四边形， ∴，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，，，， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共60分，答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据特殊角锐角三角函数值可得x的值，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22. 如图，平面直角坐标系内， 的顶点A的坐标为． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）画出将 绕原点O逆时针旋转 得到的； （3）求出（2）中点A所经过的路径长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求， （3）； 【解析】 【分析】（1）画出各点的对称点，连接即可； （2）求出各点旋转后的坐标，连接即可； （3）根据弧长公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵绕O点逆时针旋转后的， 同理可知：，， 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：根据弧长公式可知：点A所经过的路径长为， 【点睛】本题考查轴对称图形，旋转，弧长公式．解题的关键是掌握弧长公式；理解：绕原点旋转 的后点的坐标为，根据点所在的象限确定符号． 23. 如图，已知抛物线与 轴交于，两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）将线段绕点旋转，得到线段，点 的对应点为点，当点在抛物线上时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为和 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分点在直线的左侧和右侧，构造全等三角形即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与 轴交于，两点， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：， ． 如图 ，当点在直线左侧时， 抛物线与 轴交于，两点， 对称轴为直线， 将线段绕点旋转 ，得到线段， ，， 与关于直线对称， ， ， ， ； 如图 ，当点在直线的右侧时， 过点作于 ，于 ， 由旋转知，，， ， ， ， ， ，， 设，则， 点的坐标为， 代入中， 解得，或舍， 的坐标为， 综上，点的坐标为和． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形的判定和性质，分类讨论是解本题的关键． 24. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息． 信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：． 信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图 信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为： D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分； （2）若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩； （3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数． 【答案】（1）20；C；86 （2）83.75 （3）估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据八年级D组有7人，占总人数的，即可求出总人数，从而求出七年级B组人数和中位数； （2）根据平均数的计算公式求解即可； （3）用600×七年级和八年级成绩不低于95分人数所占比例即可． 【小问1详解】 八年级D组有7人，占总人数的， ∴； 总人数是20人， ∴B组人数有 ∴中位数是第10，11人 ∴七年级竞赛成绩的中位数落在C组； ∵八年级竞赛成绩的众数落在D组， ∴众数是86； 【小问2详解】 由题意得： 【小问3详解】 由题意得：人 ∴估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人 25. 甲、乙两车从地到千米的 地，甲车比乙车晚出发 小时，乙车途中因故停车检修，图中线段、折线分别表示甲、乙两车所行路程 （千米）与时间 （小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）甲车的速度是 千米/小时，乙车停车检修后再出发的速度是 米/小时， （2）求出乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式． （3）在乙车出发小时至到达目的地这段时间内， 为何值时两车相距千米？请直接写出答案． 【答案】（1）；； （2）乙车停车检修后再出发后（线段 ）的函数关系式为：； （3） 为 、 时，两车相距千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，熟练掌握用待定系数法求相关函数的关系式是解答本题的关键． （1）设甲车所行驶路程 与时间 的函数关系式为，求出对应的函数解析式，然后再求出 点坐标即可正确解答； （2）乙车停车检修后再出发的对应的路程 与时间 的函数关系式为，求出对应的函数关系式即可正确解答； （3）由（1）和（2）求出的函数解析式分类讨论：①甲车在前，乙车在后，两车相距千米；②乙车在前，甲车在后，两车相距千米． 【小问1详解】 设甲车所行驶路程 与时间 的函数关系式为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴甲车的速度是千米/小时， 当时，， ∴， ∴乙车停车检修后再出发的速度是千米/小时， 故答案为：； 【小问2详解】 乙车停车检修后再出发的对应的路程 与时间 的函数关系式为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴乙车停车检修后再出发后（线段 ）的函数关系式为： 【小问3详解】 ∵，，则： 甲车在前，乙车在后，两车相距千米， ， 解得：， ∴当时，两车相距千米． 乙车在前，甲车在后，两车相距千米， ， 解得：， ∴当时，两车相距千米． ∴ 为 、 时，两车相距千米 26. 已知，如图，在矩形 中，，点 是线段的中点，连接 ，直线上有一点 ，连接，线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在直线 上时，的值为______； （2）如图2、3，当点不在直线 上时，请写出的值，并证明图 结论； 【答案】（1） （2） 解：，理由如下， 如图 ，∵，点 是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， 由转转可得，，， ∴ ， ∴ ，， ∴， ∴ ， ∴， 如图 ， ∵，点 是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， 由转转可得，，， ∴ ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 综上． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理可得答案； （2）由等腰三角形的性质得，，由转转可得，，，从而 ，进而证明 ，利用相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 ∵四边形 是矩形， ∴ ， 由转转可得，，， ∴为等腰直角三角形， ∵ ， ∴ 为中点， ∴ ， ∵，点 是线段的中点， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质及等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 27. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红围巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物，身穿中国民间传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个元，售价每个元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个 元，售价每个元． （1）该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件 个和“妮妮”造型钥匙扣挂件 个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件 个和“妮妮”造型钥匙扣挂件 个共需要 元，求， 的值． （2）该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件 个，求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出 元给当地福利院，用捐款后的利润再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最多的方案． 【答案】（1）的值是 ， 的值是； （2） 解：根据题意得：， 解得， 为整数， 可取，，， 有 种购买方案： ①购买”滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买”妮妮”造型钥匙扣挂个， ②购买”滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买”妮妮”造型钥匙扣挂个， ③购买”滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买”妮妮”造型钥匙扣挂个； （3）购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买““妮妮”造型钥匙扣挂件 个． 【解析】 【分析】（1）由购进”滨滨”造型钥匙扣挂件 个和”妮妮”造型钥匙扣挂件 个需要共元；购进”滨滨”造型钥匙扣挂件 个和”妮妮”造型钥匙扣挂件 个共需要 元，得，即可解得的值是 ， 的值是； （2）根据题意得，可解得有 种方案； （3）设在（2）的条件下，将售出的钥匙扣挂件每个捐出 元当地福利院，所剩利润为元，购买“滨滨”造型钥匙扣挂件 个，根据一次函数的性质得时，，令用元购进了购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买“妮妮”造型钥匙扣挂件个，则，再根据一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：购进”滨滨”造型钥匙扣挂件 个和”妮妮”造型钥匙扣挂件 个需要共元；购进”滨滨”造型钥匙扣挂件 个和”妮妮”造型钥匙扣挂件 个共需要 元， ， 解得， 答：的值是 ， 的值是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设在（ ）的条件下，将售出的钥匙扣挂件每个捐出 元当地福利院，所剩利润为元，购买“滨滨”造型钥匙扣挂件 个，， ， 随 增大而增大， 时，（元）， 令用元购进了购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买“妮妮”造型钥匙扣挂件个，则 ， ∴， ∴， ∴随的增大而减小， ∵b，c均为非负整数， ∴当时，最大，此时 ∴再次购进两种钥匙扣挂件最多的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，购买““妮妮”造型钥匙扣挂件 个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题目意思，列出方程组，不等式组及函数关系式． 28. 平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点 与点 重合．折痕交 于点 ，交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）若动点，同时从点 出发，点以每秒 个单位长度的速度向点 运动，点以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向运动，当点运动到点 时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为 ，点，的运动时间为秒，求 与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下， 是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，， ，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在或或时，，，， ，为顶点的四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点 的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点 右侧和点在点 左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若以，， ，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【小问1详解】 解：由折叠可得， ∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点 的坐标为； 【小问2详解】 ①如下图，当点在点 右侧时， 根据题意，，， ∴， ∴； ②如下图，当点在点 左侧时， 根据题意，，， ∴， ∴． 综上所述，； 【小问3详解】 解：若以，， ，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴即； ②如下图，过点 作于点，则四边形、均为矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴即，， ∴即， ∵四边形是正方形， ∴即； ③如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∵四边形是正方形， ∴即． 综上所述，存在或或时，，， ，为顶点的四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，综合性强，难度较大，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初三中考复习第三次综合训练卷数学 （考试时间：120分 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡并交回， 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，请迭出并在答题卡上将选项涂黑） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设计师石昌鸿耗时两年，将34个省市的风土人情、历史典故转化为形象生动的符号，别具一格．石昌鸿设计的以下省市的简称标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，组成这个几何体的小正方体的个数最少是（　　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 4. 2024年“五四”青年节到来之际，为鼓励学生“牢记使命，努力学习”，某校举办了演讲比赛，根据七位评委给小明的打分绘制了如下统计表： 平均数 中位数 众数 方差 9.3 9.2 9.2 0.2 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中的数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 5. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 6. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 以上都不是 7. 小明准备用25元钱去文教用品商店购买价格分别为2元和3元的两种型号的考试中性笔，则小明选择的购买方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且， 的面积为18，则k的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 9. 如图，在四边形 中，，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝AO， ④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 5月16日至21日在哈尔滨举办的第八届中国—罗斯博览会落下帷幕．博览会自2014年举办首届以来，累计签约4468亿元人民币．数据4468亿用科学记数法表示为______． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 13. 已知菱形 中对角线 、 相交于点 ，添加条件________可使菱形 成为正方形． 14. 如图，电路图上有3个开关，，和2个小灯泡，，任意闭合其中的2个开关可以使小灯泡发亮的概率是____． 15. 若关于 的一元一次不等式组有 个整数解，则 的取值范围是______． 16. 常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，， 的半径，则圆盘离桌面 最近的距离是_______． 17. 用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 _____． 18. 在矩形 中，，，，，连接 ，则 的最小值是_______． 19. 在腰长为 的等腰三角形纸片中， ，，点 为上一动点，将纸片沿 对折，使点 落在点处，当中有一条边垂直于时， 的长为_______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在 轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为______________． 三、解答题（本大题共8个小题，共60分，答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，平面直角坐标系内， 的顶点A的坐标为． （1）画出关于y轴的对称图形； （2）画出将 绕原点O逆时针旋转 得到的； （3）求出（2）中点A所经过的路径长． 23. 如图，已知抛物线与 轴交于，两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）将线段绕点旋转，得到线段，点 的对应点为点，当点在抛物线上时，直接写出点的坐标． 24. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息． 信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：． 信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图 信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为： D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分； （2）若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩； （3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数． 25. 甲、乙两车从地到千米的 地，甲车比乙车晚出发 小时，乙车途中因故停车检修，图中线段、折线分别表示甲、乙两车所行路程 （千米）与时间 （小时）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）甲车的速度是 千米/小时，乙车停车检修后再出发的速度是 米/小时， （2）求出乙车停车检修后再出发后（线段）的函数关系式． （3）在乙车出发小时至到达目的地这段时间内， 为何值时两车相距千米？请直接写出答案． 26. 已知，如图，在矩形 中，，点 是线段的中点，连接 ，直线上有一点 ，连接，线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在直线 上时，的值为______； （2）如图2、3，当点不在直线 上时，请写出的值，并证明图 结论； 27. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红围巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物，身穿中国民间传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个元，售价每个元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个 元，售价每个元． （1）该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件 个和“妮妮”造型钥匙扣挂件 个需要共元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件 个和“妮妮”造型钥匙扣挂件 个共需要 元，求， 的值． （2）该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共个，且投入资金不少于元又不多于元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件 个，求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出 元给当地福利院，用捐款后的利润再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最多的方案． 28. 平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点 与点 重合．折痕交 于点 ，交于点 ． （1）求点 的坐标； （2）若动点，同时从点 出发，点以每秒 个单位长度的速度向点 运动，点以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向运动，当点运动到点 时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为 ，点，的运动时间为秒，求 与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $