精品解析：2024年甘肃省武威市凉州区武南片中考模拟三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区和平中学联考 九年级数学三模试卷 一、选择题（共30分） 1. 已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可． 详解】由图可知，，且， A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键． 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则进行排除即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. , 故B选项错误；;； C. ，故C选项错误； D. ,正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算法则,掌握二次根式的相关知识是解答本题的关键． 3. 甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场? 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据调运后甲煤场存煤是乙煤场的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设从甲煤场运煤x吨到乙煤场， 依题意得， 故选：A． 4. 如图，函数和的图象交于点A，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象中直线y=ax+5在直线y=2x上方时的x的取值部分求解． 【详解】解：由图象可得x<时，直线y=ax+5直线y=2x上方， ∴不等式2x<ax+5的解集是x<， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解． 5. 将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，，则∠CGD＝（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形的性质得出∠A=30°，由平行线的性质得出∠FDA=∠F=45°，再由三角形外角和定理即可求出∠CGD的度数． 【详解】解：∵∠B=60°， ∴∠A=30°， ∵， ∴∠FDA=∠F=45°， ∴∠CGD=∠A+∠FDA=45°+30°=75°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角定理是解决问题的关键． 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理即可求出边长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算边长是解题的关键． 7. 如图，在矩形中，，点P是的中点，，点M、N在线段上，若是等腰三角形且底角与相等，则的值为（　　） A. 6或2 B. 3或 C. 2或3 D. 6或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握相关结论是解题关键．分类讨论①为等腰的底边②为等腰的腰两种情况即可求解. 【详解】解：分两种情况： ①为等腰的底边时，作于F 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形且底角与相等， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； ②为等腰的腰时，作于F 由①得：，， 设，则， 在中， 解得：，即； 综上所述，的长为或． 故选：D． 8. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键． 9. 如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念．连接，得到是直角，再利用两三角形相似面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：连接，由是直径得，． ∵的度数之和为120°， ∴， ∴， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴， 点在函数的图象上， ， 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于； 故选：C． 二、填空题（共24分） 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的性质和绝对值的定义，根据绝对值的定义和实数的大小比较即可得出答案，得出是解题关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】∵分式有意义， ∴，即. 故答案为. 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为______． 【答案】或或2 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当∠ABD=90°时，证得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=；②当∠ADB=90°时，作AF⊥CE于F，同理证得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=；③当∠DAB=90°时，作DF⊥OA于F，同理证得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2． 【详解】解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°， ∴∠DBC=∠BAO， 由直线交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=2b， ∵点C（0，4）， ∴OC=4， ∴BC=4-b， 在△DBC和△BAO中， ， ∴△DBC≌△BAO（AAS）， ∴BC=OA， 即4-b=2b， ∴b=， ②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F， 同理证得△BDC≌△DAF， ∴CD=AF=4，BC=DF， ∵OB=b，OA=2b， ∴BC=DF=2b-4， ∵BC=4-b， ∴2b-4=4-b， ∴b=； ③当∠DAB=90°时，如图3，作DF⊥OA于F， 同理证得△AOB≌△DFA， ∴OA=DF， ∴2b=4， ∴b=2； 综上，b的值为或或2， 故答案为：或或2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助性构建求得三角形上解题的关键． 15. 如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F．连接EC交BD于点G．取DF的中点H，并连接AH．若AH=，EG=，则四边形AEFH的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N．证明△ADH≌△CDH，得到AH=CH=，证明四边形AMND是矩形，得到AM=DN，进而得到EM=HN， 证明Rt△HME≌Rt△CNH，得到∠MHE=∠HCN，设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，根据EF∥HM，得到=，进而得到HM=7a，进而求出S四边形AEFH ，在Rt△BEC中，根据勾股定理得到16a2+100a2=4，即可求出的值，进而得到四边形AEFH的面积. 【详解】如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=DC，∠ADH=∠CDH=45°， ∵DH=DH， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴AH=CH=， ∵EF⊥AB，HM⊥AB，DA⊥AB， ∴EF∥HM∥AD， ∵HF=HD， ∴AM=EM， ∴HA=HE=HC， ∵∠AMN=∠DAM=∠ADN=90°， ∴四边形AMND是矩形， ∴AM=DN， 由题可证得DN=HN， 又∵AM=EM， ∴EM=HN， ∴Rt△HME≌Rt△CNH（HL）， ∴∠MHE=∠HCN， ∵∠HCN+∠CHN=90°， ∴∠MHE+∠CHN=90°， ∴∠EHC=90°， ∴EC=HE=2， ∵EG=， ∴GC=2–=， ∵EF∥BC， ∴==， 设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a， ∵EF∥HM， ∴=， ∴=， ∴HM=7a， ∴S四边形AEFH=S△AMH+S梯形EFHM=×3a×7a+（4a+7a）×3a=27a2， 在Rt△BEC中， ∵BE2+BC2=EC2， ∴16a2+100a2=4， ∴a2=， ∴S四边形AEFH=． 故答案为:． 【点睛】考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等，难度较大，对学生综合能力要求较高. 16. 如图，与分别相切于点A，B，，，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先判断出，进而判断出等边三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵与分别相切于点A，B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，判断出是等边三角形是解题的关键． 17. 如图，在边长为3的正方形中，点E是边上一点，点F是延长线上一点，，连接，交于点K，过点A作于H，延长交于点G，连接，若，则_______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】可证（），从而可得，再证（），可得为等腰直角三角形，从而可证，可得，可证，可得，可求，设，，则，可证（），可得，即可求解． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， 在和中 （）， ， ， 为等腰直角三角形， ， 点H是的中点， ， 如图，连接， 四边形为正方形， ， 点H是的中点，， ， ， 在和中 ， （）， ， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 在等腰直角三角形中， ， ， ， ， ， ，即， 设，， 则， 在和中 ， ∴（）， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，一般角的三角函数值等，找出，从而可得是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点F，首先根据题意可证得，，，根据勾股定理即可求得，，再由折叠的性质可知：，，即可求得，，再根据勾股定理即可求得，，由，可证得，，据此即可求得，，，再根据勾股定理即可求得，，据此根据勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图：过点D作于点F， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 解得， ， 由折叠的性质可知：，， ， 解得， ， 在中，， ， ， ， ， ， 解得，， ， 在中，， ， 解得， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键． 三、计算题（共8分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值解答即可； （2）先将分式方程化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程左右两边同时乘以得：， ∴． 检验：当时，， ∴原方程的解是x=18． 【点睛】本题考查了零指数幂、负指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，解分式方程，掌握以上知识点是解题的关键． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点， 得到A1B1C1即为所求； （2）如图所示，分别确定旋转后的对应点， 得到A2B2C2即为所求； （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 五、解答题（共52分） 21. 如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质证明，由垂径定理证明，则，，所以，则平分； （2）因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，则． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， 解得， ， ， ， 的长为10． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一辆车向左转的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有可能出现的情况即可； （2）由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种，再由概率公式进行计算即可． 小问1详解】 解：两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况， 车1 车2 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （左转，直行） （右转，直行） 左转 （直行，左转） （左转，左转） （右转，左转） 右转 （直行，右转） （左转，右转） （右转，右转） 【小问2详解】解：由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种， 所以（至少有一辆车向左转）． 23. 如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m） 【答案】乙楼CD的高度为53m． 【解析】 【分析】由题意易得∠AEC=∠AED=90°，AB=DE=40m，然后根据特殊三角函数值可求解AE，CE的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：∠AEC=∠AED=90°，AB=DE=40m，∠EAD=60°，∠CAE=30°， ∴， ∴， ∴， 即乙楼CD的高度为53m． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 24. 如图，内接于是⊙O的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点，，的延长线交于交于点，. （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为2 【解析】 【分析】本题考查的是圆的综合题 （1）由切线的性质可得，由，可证，可得； （2）由是的直径，可知，又因为，可知，为等边三角形，即可求出答案. 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径为2. 25. 如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证； （2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 又为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 连接，则：， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 26. 如图，已知是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）设的面积为，求S与t的函数关系式； （2）作交于点R，连接，当t为何值时，． 【答案】（1） （2）当时， 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神； （1）为特殊角，过作，垂足为，则、、高（含30度角的直角三角形的性质和勾股定理）的长可用表示，与的函数关系式也可求； （2）由题目线段的长度可证得为等边三角形，进而得出四边形是矩形，由，得出比例式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：过作，垂足为， 在中，，， ， 由，得 ； 【小问2详解】 解： ， 是等边三角形 ， 四边形是平行四边形 又， ， ， 解得 当时，． 27. 如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； （3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】（1），顶点坐标 （2）点横坐标为或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可； （3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求． 【小问1详解】 解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵， ∴顶点坐标； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； 【小问3详解】 解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威市凉州区和平中学联考 九年级数学三模试卷 一、选择题（共30分） 1. 已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A B. C. D. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C D. 3. 甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场? 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，函数和的图象交于点A，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，，则∠CGD＝（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 7. 如图，在矩形中，，点P是的中点，，点M、N在线段上，若是等腰三角形且底角与相等，则的值为（　　） A. 6或2 B. 3或 C. 2或3 D. 6或 8. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（共24分） 11. 化简的结果为______． 12. 如果分式有意义，那么x的取值范围是____________． 13. 若，则___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为______． 15. 如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F．连接EC交BD于点G．取DF的中点H，并连接AH．若AH=，EG=，则四边形AEFH的面积为___． 16. 如图，与分别相切于点A，B，，，则_____． 17. 如图，在边长为3的正方形中，点E是边上一点，点F是延长线上一点，，连接，交于点K，过点A作于H，延长交于点G，连接，若，则_______ ． 18. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为___________． 三、计算题（共8分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 五、解答题（共52分） 21. 如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22. 经过某十字路口汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一辆车向左转的概率． 23. 如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m） 24. 如图，内接于是⊙O的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点，，的延长线交于交于点，. （1）求证：； （2）若，求半径． 25. 如图，四边形内接于，为直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若． （1）求证：为的切线． （2）若，，求的半径． 26. 如图，已知是边长为的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： （1）设的面积为，求S与t的函数关系式； （2）作交于点R，连接，当t为何值时，． 27. 如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 （1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； （2）点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； （3）如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$