精品解析：2024年山西省晋城市沁水县多校中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 12 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2. 年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】根据轴对称图形的概念，D选项所示的图形左右两边对折能够重合， 因此是轴对称图形， 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B． 4. 如图，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，交边于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，三角形的内角和，根据旋转的性质，则，根据，求出，即可． 【详解】∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选：C． 6. 下列调查中，最适合采用普查（全面调查）方式的是（ ） A. 调查某市中学生每天学习所用的时间 B. 调查全国人口的平均寿命 C. 调查某班学生数学期末考试成绩的及格率 D. 调查某批次医用外科口罩的合格率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，调查对象较少的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A．调查某市中学生每天学习所用的时间，最适合采用抽样调查，不符合题意； B．调查全国人口的平均寿命，最适合采用抽样调查，不符合题意； C．调查某班学生数学期末考试成绩的及格率，最适合采用全面调查，符合题意； D．调查某批次医用外科口罩的合格率，最适合采用抽样调查，不符合题意． 故选：． 7. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到，平分，从而，求出，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】由作法得，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 8. 如图，内接于，为的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是连接，根据直径所对的圆周角是直角，求得，根据同弧或者等弧所对的圆周角相等，则，即可求出． 【详解】连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知传送带上的物品平移的距离是圆心角是的扇形的弧长加上两个圆周长．主要考查了扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵转动轮转动了两周后又转过且根据弧长公式可知， 传送带上的物品被传送的距离为 故选：D 10. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 【详解】∵且，，且关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算的结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法；根据二次根式的乘法法则，把被开方数相乘再化简即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 12. 2024年3月22日，我国自主研制的全球最大、吊装能力最强，全球首款1桥轮式起重机，在河北衡水将单机容量的风机顺利吊装到位，完成首吊．本次吊装需要将120t的风力发电机组机舱，以及长、重28t的扇叶吊至的高空，相当于50多层楼高．数据“”用科学记数法表示为______kg． 【答案】 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：依题意， ， ∴将数据用科学记数法表示为 故答案为：． 13. 我国人工智能行业可按照应用领域分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音及语义人工智能、视觉人工智能四大类别，某班要求班级中每位同学都从中随机选择一种类别进行调查，并制作相关的手抄报在“人工智能”的班会上展示．若王老师将四大类别的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，一位同学随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，下一位同学再随机抽取一张，如此重复，则小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能分别用，，，表示， 根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中小兵和小强抽取卡片的类别相同的结果数为4， 所以小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为． 故答案为：． 14. 如图是一支温度计的示意图，图中左边的刻度表示的是摄氏温度（℃），右边的刻度表示的是华氏温度（°F），某兴趣小组通过温度计的读数，得到下表中的数据： 摄氏温度/℃ 0 20 40 华氏温度/°F 32 68 104 请根据数据计算当摄氏温度为5℃时，对应的华氏温度为______°F． 【答案】41 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式及求函数值；由表知，摄氏温度每升高20度，华氏温度都升高36度，即华氏温度（用字母y）与摄氏温度（用字母x）是一次函数关系，求出一次函数关系式，即可求得当时对应的函数值． 【详解】解：由表知，摄氏温度每升高20度，华氏温度都升高36度，即华氏温度（用字母y）是摄氏温度（用字母x）的一次函数关系， 设，由表知，当时，；当时，； 故有：， 解得：， 即； 当时，； 即当摄氏温度为5℃时，对应的华氏温度为． 故答案为：41． 15. 如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解 【详解】过点作的垂线，交于点 是矩形 在与中， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于画出辅助线 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）16；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及乘方、负整数指数幂、绝对值运算．熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先根据乘方的意义、负整数指数幂、绝对值运算，然后合并即可； （2）利用加减消元法解方程组． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 17. 如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交边于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，求证：． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 证明：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，熟悉线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的基本作法作图； （2）由等腰三角形性质可得，由线段垂直平分线性质可得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召，为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格． 【答案】每个甲种书柜的价格是192元，每个乙种书柜的价格是160元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设每个乙种书柜的价格是元，则购进每个甲种书柜的价格是元，根据“每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个”，列出分式方程，进行求解即可．读懂题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 【详解】解：设每个乙种书柜的价格是元，则购进每个甲种书柜的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：每个甲种书柜的价格是192元，每个乙种书柜的价格是160元． 19. 国际上将每年的4月8日定为国际珍稀动物保护日．为促进大家对保护珍稀动物知识的了解，某校从七、八年级中各随机抽取50名学生进行保护珍稀动物知识测试，并将测试成绩x（单位：分）分为五组：A．，B．，C．，D．，E．，整理、分析过程如下： 【收集数据】七年级50名学生中，测试成绩在D组的具体数据如下： 84，86，82，83，84，85，86，85，85，86，86，87，88，80，81． 【整理数据】七、八年级测试成绩的频数分布表如下： 组别 年级 A B C D E 七年级 4 8 m 15 12 八年级 5 10 12 13 10 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如下： 平均数/分 众数/分 中位数/分 七年级 78 86 n 八年级 78 85 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，______，______． （2）已知该校八年级有600名学生，若规定80分及以上为优秀，试估计八年级测试成绩达到优秀的学生人数． （3）结合以上信息，请判断哪个年级的学生对保护珍稀动物知识的了解情况较好，并说明理由． 【答案】（1）11， （2）估计八年级测试成绩达到优秀的学生人数为276 （3） 因为两个年级50名学生的平均成绩相同，七年级学生成绩的中位数和众数都比八年级大，所以七年级的学生对保护珍稀动物知识的了解情况较好． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，求中位数，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）用总数减去其他4项的人数，即可求出m的值，根据中位数的定义求出结果即可； （2）用样本所占的百分比估计总体即可； （3）根据平均数，中位线和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知：， ∵将七年级50名学生的成绩进行排序，排在中间的2个数为86，87， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计八年级测试成绩达到优秀的学生人数为276． 【小问3详解】 略 20. 材料阅读： 光从空气针射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，勾股定理是解题的关键． 由题意得，由题意知．则．由P，O，C三点在同一条直线上，可得．则．设，则，由勾股定理得，，可求，则．根据，计算求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． 由题意，可得． ∴． ∵P，O，C三点在同一条直线上， ∴． ∴． 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴． ∴． 答：的长约为． 21. 请仔细阅读，并完成相应的任务． 2022版课标新增了“会过圆外的一个点作圆的切线”，小颖同学对此展开积极探索，在查阅资料时下面的这道题目引起了她的兴趣． 如图，已知及外一点M，求作直线，使与相切于点N． 小颖同学经过思考，得到一种作图方法，步骤如下： 如图，①连接，分别以点O，M为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点A，B；②作直线，交于点C；③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点N；④作直线，则直线即为所求． 证明：如图，连接． …… ∴． 又∵为上的一点． ∴是的切线． 任务： （1）请补全证明过程． （2）将与的交点记为点E，若，且的半径为5．求的长． 【答案】（1） 证明：由作图痕迹，知是线段的垂直平分线，， ∴， ∴，， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，切线的判定，垂直平分线的性质和勾股定理， （1）根据作图的痕迹得到是线段的垂直平分线，，再根据三角形内角和推算出即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵E为线段垂直平分线上的一点， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ∴， ∴． 解得． 22. 综合与实践 问题情境： 四边形是边长为的正方形，分别以为边向正方形外侧构造两个等边三角形和．将沿射线平移得到，点A、B、E的对应点分别为、、，连接，． 数学思考： （1）如图1，当点位于边上时，试判断四边形的形状，并证明． （2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离． （3）拓展创新：在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1） 四边形为平行四边形，证明如下； 由题意得，，，． 由平移的性质，得，，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形； （2）平移的距离为 （3）1或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，等边三角形的性质，平移的性质可得，证明，则，进而可得四边形为平行四边形； （2）如图1，过点D作于点K，由题意知，，，．则．由平移的性质，得，，．由．可得．．由．可求．根据求解作答即可． （3）由题意知，分两种情况求解；①如图2，连接．证明四边形为平行四边形，由（2），得．则；②如图3，当点在的延长线上时，，记与交于点P，点，，在同一条直线上，点与点重合，证明四边形为菱形．如图3，连接，，，与交于点O，则点F在上，，，．则．．由①知．则．证明为等边三角形，则，．． 在中，由勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，过点D作于点K． ∵四边形为矩形， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 由平移的性质，得，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴平移的距离为． 【小问3详解】 解：由题意知，分两种情况求解； ①如图2，连接． 由题意，得． 由旋转的性质，得． ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， 由（2），得． ∴． ②如图3，当点在的延长线上时，，记与交于点P，点，，在同一条直线上， ∵，， ∴． ∵，， ∴点与点重合， ∵， ∴四边形为菱形． 如图3，连接，，，与交于点O，则点F在上，，，． ∵， ∴． ∴． 由①知． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∴． 在中，． 综上所述的长为1或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，余弦，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，平移的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，余弦，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，过点C的直线交于点E，交抛物线于点P． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． （2）如图1，当点P位于第二象限的抛物线上时，过点P作轴，交直线于点D，求线段的最大值． （3）如图2，当E为的中点时，过点B作直线，M为直线上一点，在直线l上是否存在点N，使以B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，， （2）当时，线段的最大值为1 （3）存在，点N的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）当时，即．当时，．可求，．待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）如图1，过点P作轴，交于点F，则．设，则．．由轴，可得．则，，即，，然后求解作答即可； （3）由，，E为的中点，可得，．待定系数法求直线的函数表达式为．设．①当为菱形的边时，，如图2．则．即．求解作答即可；②当为菱形的对角线时，，如图3．则．即．求解作答即可． 【小问1详解】 解：当时，即． 当时，． 解得，． ∵点A在点C的左侧， ∴，． 设直线的函数表达式， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图1，过点P作轴，交于点F，则． 设，则． ∴． ∵轴， ∴． ∴， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴当时，线段的最大值为1． 【小问3详解】 解：∵，，E为的中点， ∴，． 设直线的函数表达式为． 把，代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为． 设． ①当为菱形的边时，，如图2． ∴． ∴． 解得或． ∴点M的坐标为或． ∴点N的坐标为或． ②当为菱形的对角线时，，如图3． ∴． ∴．解得． ∴点M的坐标为． ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，二次函数与线段综合，正切等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，二次函数与线段综合，正切是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 12 B. 3 C. D. 2. 年是甲辰龙年，龙常用来象征祥瑞，是中华民族最具代表性的传统文化之一．下面龙的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，交边于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，最适合采用普查（全面调查）方式的是（ ） A. 调查某市中学生每天学习所用的时间 B. 调查全国人口的平均寿命 C. 调查某班学生数学期末考试成绩的及格率 D. 调查某批次医用外科口罩的合格率 7. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，内接于，为的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为，如果该转动轮转动了两周后又转过，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（ ） A. B. C. D. 10. 一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于y轴对称，如图所示（对应一个单位长度），轴，，最低点C在x轴上，且．则轮廓线所在抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算的结果为______． 12. 2024年3月22日，我国自主研制的全球最大、吊装能力最强，全球首款1桥轮式起重机，在河北衡水将单机容量的风机顺利吊装到位，完成首吊．本次吊装需要将120t的风力发电机组机舱，以及长、重28t的扇叶吊至的高空，相当于50多层楼高．数据“”用科学记数法表示为______kg． 13. 我国人工智能行业可按照应用领域分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音及语义人工智能、视觉人工智能四大类别，某班要求班级中每位同学都从中随机选择一种类别进行调查，并制作相关的手抄报在“人工智能”的班会上展示．若王老师将四大类别的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，一位同学随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，下一位同学再随机抽取一张，如此重复，则小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为______． 14. 如图是一支温度计的示意图，图中左边的刻度表示的是摄氏温度（℃），右边的刻度表示的是华氏温度（°F），某兴趣小组通过温度计的读数，得到下表中的数据： 摄氏温度/℃ 0 20 40 华氏温度/°F 32 68 104 请根据数据计算当摄氏温度为5℃时，对应的华氏温度为______°F． 15. 如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 如图，在中，，于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交边于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）连接，求证：． 18. 习近平总书记在谈到基层教育时指出，我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西，同时也不摒弃西方文明成果，真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子．某校响应号召，为满足学生的阅读需求新购买了一批图书，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书，已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格． 19. 国际上将每年的4月8日定为国际珍稀动物保护日．为促进大家对保护珍稀动物知识的了解，某校从七、八年级中各随机抽取50名学生进行保护珍稀动物知识测试，并将测试成绩x（单位：分）分为五组：A．，B．，C．，D．，E．，整理、分析过程如下： 【收集数据】七年级50名学生中，测试成绩在D组的具体数据如下： 84，86，82，83，84，85，86，85，85，86，86，87，88，80，81． 【整理数据】七、八年级测试成绩的频数分布表如下： 组别 年级 A B C D E 七年级 4 8 m 15 12 八年级 5 10 12 13 10 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数如下： 平均数/分 众数/分 中位数/分 七年级 78 86 n 八年级 78 85 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中，______，______． （2）已知该校八年级有600名学生，若规定80分及以上为优秀，试估计八年级测试成绩达到优秀的学生人数． （3）结合以上信息，请判断哪个年级的学生对保护珍稀动物知识的了解情况较好，并说明理由． 20. 材料阅读： 光从空气针射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 21. 请仔细阅读，并完成相应的任务． 2022版课标新增了“会过圆外的一个点作圆的切线”，小颖同学对此展开积极探索，在查阅资料时下面的这道题目引起了她的兴趣． 如图，已知及外一点M，求作直线，使与相切于点N． 小颖同学经过思考，得到一种作图方法，步骤如下： 如图，①连接，分别以点O，M为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点A，B；②作直线，交于点C；③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点N；④作直线，则直线即为所求． 证明：如图，连接． …… ∴． 又∵为上的一点． ∴是的切线． 任务： （1）请补全证明过程． （2）将与的交点记为点E，若，且的半径为5．求的长． 22. 综合与实践 问题情境： 四边形是边长为的正方形，分别以为边向正方形外侧构造两个等边三角形和．将沿射线平移得到，点A、B、E的对应点分别为、、，连接，． 数学思考： （1）如图1，当点位于边上时，试判断四边形的形状，并证明． （2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离． （3）拓展创新：在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，连接．当时，请直接写出的长． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，过点C的直线交于点E，交抛物线于点P． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． （2）如图1，当点P位于第二象限的抛物线上时，过点P作轴，交直线于点D，求线段的最大值． （3）如图2，当E为的中点时，过点B作直线，M为直线上一点，在直线l上是否存在点N，使以B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $