精品解析：2024年山东省菏泽市成武县中考三模数学试题

二〇二四年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（三） 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 64的算术平方根是（ ） A B. C. 8 D. 32 2. 在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ） A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED 7. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 已知关于方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C D. 9. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若有意义，则的取值范围是__________． 12. 在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为_____． 13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___． 14. 若关于的分式方程无解，则______． 15. 已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______． 16. 如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点B、C、D的距离分别为、、4，则的度数为______ 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 18. 某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ （2）该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，总费用不超过2360元，则最多可以购买多少个A型放大镜？ 19. 如图．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一架长的梯子． （1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？ （2）当梯子底端距离墙面时，等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？ （参考数据：，，，，，） 20. 为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图： （1）求该班总人数； （2）根据计算，请你补全两个统计图； （3）已知该班甲同学四次训练成绩为85，95，85，95，乙同学四次成绩分别为85，90，95，90，现需从甲、乙两同学中选派一名同学参加校级比赛，你认为应该选派哪位同学并说明理由． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标. 22. 如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H． （1）求证：直线DH是的切线； （2）若，，求AD，BH的长． 23. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标； （3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标． 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二〇二四年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（三） 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 64的算术平方根是（ ） A. B. C. 8 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，据此解答即可. 【详解】解：∵ ∴， 即64的算术平方根是8， 故选：C 2. 在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称及中心对称的定义，结合选项即可作出判断． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 故选C． 【点睛】此题考查了轴对称图形及中心对称图形的判断，解答本题的关键是熟练掌握轴对称及中心对称的定义 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算、完全平方公式、合并同类项，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况， ∴两次都摸到白球的概率为． 故选A． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6. 如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ） A. AC＝DE B. ∠BAD＝∠CAE C. AB＝AE D. ∠ABC＝∠AED 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积． 【详解】过点A作AE⊥y轴于点E， ∵点A在双曲线上， ∴四边形AEOD的面积为4， ∵点B在双曲线上，且AB//x轴， ∴四边形BEOC的面积为12， ∴矩形ABCD的面积为12-4=8， 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟记k的几何意义并灵活运用其解题是关键． 8. 已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. ，且 B. ，且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，满足题意； 当时， ∵关于x方程有实数根， ∴， 解得：． 综上可知，． 故选C． 9. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，再根据菱形的性质、勾股定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质求出的长即可得． 详解】解：如图，连接， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 四边形是菱形，，， ， ， ， 是等边三角形， 点是的中点， ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 10. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意； C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意； D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若有意义，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为_____． 【答案】(2m，2n)或(﹣2m，﹣2n) 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍， 则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n）， 故答案为：(2m，2n)或(﹣2m，﹣2n)． 【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___． 【答案】6. 【解析】 【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】圆锥的底面周长cm， 设圆锥的母线长为，则： ， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ． 14. 若关于的分式方程无解，则______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解． 【详解】解： 当时，即时，原分式方程无解； 当时， ∵原分式方程无解 ∴ 解得 综上，或 故答案为：1或2． 15. 已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出代数式解答即可． 【详解】根据题意可得：， 故答案为 【点睛】此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答． 16. 如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点B、C、D的距离分别为、、4，则的度数为______ 【答案】##135度 【解析】 【分析】如图，将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM．首先证明∠PMD=90°，推出∠DMC=∠BPC=135°即可． 【详解】解：如图，将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM，如图所示： ∵CP=CM=，∠PCM=90°， ∴，， ∵PB=DM=2， ∴， ∵,， ∴， ∴∠PMD=90°， ∴∠DMC=∠PMD+∠CPM=90°+45°=135°， ∴∠BPC=∠DMC=135°． 故答案为：135°． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、二次跟根式的运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）计算绝对值、特殊角三角函数值、化简二次根式、负整数指数幂后，进行加减运算即可． （2）先计算括号内加法、再计算除法后得到化简结果，再利用整体代入即可得到答案． 【详解】（1） （2） ∵ ∴， ∴原式 18. 某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ （2）该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，总费用不超过2360元，则最多可以购买多少个A型放大镜？ 【答案】（1）每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元；（2）最多可以买35个A型放大镜． 【解析】 【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题； （2）由题意列出不等式求出即可解决问题． 【详解】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元； （2）设购买A型放大镜a个， 根据题意可得：40a+24×（75﹣a）≤2360， 解得：a≤35． 答：最多可以买35个A型放大镜． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答． 19. 如图．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一架长的梯子． （1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？ （2）当梯子底端距离墙面时，等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？ （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)5.3m；（2）66.4°，能 【解析】 【分析】（1）若使AC最长，且在安全使用的范围内，则∠ABC的度数最大，即∠ABC=75°；可通过解直角三角形求出此时AC的长． （2）当BC=2.2m时，可在Rt△BAC中，求出∠ABC的余弦值，进而可得出∠ABC的度数，然后判断这个角度是否在安全使用的范围内即可． 【详解】解：（1）当∠ABC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高； 在Rt△ABC中，有sin∠ABC= ∴AC=AB•sin∠ABC=5.5×sin75°≈5.3； 答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度AC约为5.3m （2）在Rt△ABC中，有cos∠ABC===0.4 由题目给的参考数据，可知∠ABC=66.4° ∵66.4°＞60°，在安全角度内； ∴这时人能安全使用这个梯子， 答：人能够安全使用这个梯子． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的关键． 20. 为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图： （1）求该班总人数； （2）根据计算，请你补全两个统计图； （3）已知该班甲同学四次训练成绩为85，95，85，95，乙同学四次成绩分别为85，90，95，90，现需从甲、乙两同学中选派一名同学参加校级比赛，你认为应该选派哪位同学并说明理由． 【答案】（1）40；(2)见解析;(3)见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）利用折线统计图结合条形统计图，利用优秀人数÷优秀率=总人数求出即可； （2）分别求出第四次模拟考试的优秀人数以及第三次的优秀率即可得出答案； （3）答案不唯一．回答合理即可． 详解：（1）由题意可得：该班总人数是：22÷55%=40（人）； （2）由（1）得：第四次优秀的人数为：40×85%=34（人），第三次优秀率为：×100%=80%； 如图所示： ； （3）答案不唯一．如：选乙，理由甲乙平均分相同都是90分，但，乙成绩稳（选甲，理由甲乙平均分相同都是90分，但甲的众数是85，95，更易冲击高分）回答合理即可． 点睛：本题主要考查了条形统计图以及折线统计图，利用图形获取正确信息是解题的关键． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且. （1）求反比例函数与一次函数表达式； （2）若点为x轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标. 【答案】（l） ， ；（2）、 ， ， 【解析】 【分析】（1）根据可计算出A点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式. （2）根据题意可得有三种情况，一种是AB为底，一种是AB为腰，以A为顶点，一种是AB为腰，以B为顶点. 详解】（l）过点作轴于点 ∵ ∴ ∴ ∵∴ 在中， ∴∴ ∵经过点∴∴ ∴反比例函数表达式为 ∵经过点，点 ∴解得 ∴一次函数表达式为 （2）本题分三种情况 ①当以为腰，且点为顶角顶点时，可得点的坐标为、 ②当以为腰，且以点为顶角顶点时，点关于的对称点即为所求的点 ③当以为底时，作线段的中垂线交轴于点，交于点，则点即为所求 由（1）得， 在中， ∵ ∴∴∴∴ ∴ 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB为腰和底，为腰又要分顶点是A还是B. 22. 如图，点C在以AB为直径的上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD，过点D作交CB的延长线于点H． （1）求证：直线DH是的切线； （2）若，，求AD，BH的长． 【答案】（1）见解析；（2）， 【解析】 【分析】（1）连接，先根据是的直径，D是半圆的中点，得出，再根据，得出，即可证明； （2）连接，先证明是等腰直角三角形，求出AD的长，再根据AB，BC的长求出AC，根据四边形是圆内接四边形，推出，证明，得出，即可求出答案． 详解】证明：（1）连接， ∵是的直径，D是半圆的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）连接， ∵是的直径， ∴， 又D是半圆的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴在中， ∵四边形是圆内接四边形， ∵， ∵， ∴， 由（1）知∠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，灵活运用知识点是解题关键． 23. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的，求点R的坐标； （3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）；（3）点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点A坐标可得抛物线的对称轴为直线x=1，可得﹣＝1，把点A坐标代入抛物线不等式可得0＝4a﹣2b+，解方程组求出a、b的值即可得答案； （2）根据抛物线对称轴方程及点A坐标可得点D坐标，根据△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的可得出点R的纵坐标，代入抛物线解析式可求出点R横坐标，即可得答案； （3）作△PEQ的外接圆R，根据圆周角定理可得∠PRE=90°，可得△PRE为等腰直角三角形，由在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°可得⊙R与直线MD相切，可得RQ⊥MD，根据对称轴可得点M坐标，即可得出DE、DE的长，根据勾股定理可求出DM的长，设点P（1，2m），根据等腰直角三角形的性质可得PH＝HE＝HR＝m，即可得出R（1+m，m），利用S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE可求出m的值，即可得点P坐标；根据DE=ME可得∠MDE=45°，可得点M符合题意，过点D作DF⊥DM交对称轴于F，可得∠FDE=45°，可得点F符合题意，根据DE=EF可求出点F坐标，综上即可得答案． 【详解】（1）∵A（-2，0），四边形OABC是平行四边形， ∴BC//OA，BC=OA=2， ∵抛物线与y轴交于点B， ∴抛物线的对称轴为直线x＝=1，则x＝﹣＝1①， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②， 联立①②得， 解得， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+； （2）∵A（-2，0），抛物线对称轴为直线x＝1， ∴点D（4，0）； ∵△ADR的面积是▱OABC的面积的， ∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×， 解得：yR＝±， 当y=时，， 解得：，， ∴R1（，）或R2（，）， 当y=-时，， 解得：x3=，x2=， ∴R3（，）或R4（，） 综上所述：点R的坐标为（，）或（，）或（1+，）或（1﹣，）． （3）作△PEQ的外接圆R，过点R作RH⊥ME于点H， ∵∠PQE＝45°， ∴∠PRE＝90°， ∵RP=RE， ∴△PRE为等腰直角三角形， ∵直线MD上存在唯一的点Q， ∴⊙R与直线MD相切， ∴RQ⊥MD， ∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴当x=1时y==3， ∴点M坐标为（1，3）， ∵D（4，0）， ∴ME＝3，ED＝4﹣1＝3， ∴MD＝=， 设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m）， ∵S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×ME•ED＝×MD×RQ+×ED•yR+×ME•RH， ∴×3×3＝××m+×4×m+×3×m， 解得m＝， ∴点P坐标为（1，）， ∵ME=MD=3， ∴∠MDE=45°， ∴点P与点M重合时，符合题意，即P（1，3）， 过点D作DF⊥MD，交对称轴于F，则∠FDE=45°，符合题意， ∴EF=DE=3， ∴点F坐标为（1，-3）， ∴点P坐标为（1，-3）， 综上所述：点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，-3）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线，交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结，，．已知，，求的长． 【答案】（1）四边形是垂美四边形，理由见解析；（2），证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据线段垂直平分线的判定定理可证直线是线段的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可得证； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）设分别交于点，交于点，连接，先证明，得到，再根据角的和差可证，即，从而可得四边形是垂美四边形，然后结合（2）的结论、利用勾股定理进行计算即可得． 【详解】证明：（1）四边形是垂美四边形，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，即， ∴四边形是垂美四边形； （2）猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∴； （3）如图，设分别交于点，交于点，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得：， ∵是的斜边，且，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$