精品解析：2024届浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷（一）数学试题

数学（一） 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解两个集合，再求两个集合的交集. 【详解】，得，即， ，即，得，即， 所以. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 4或2 B. C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】由，则，得. 故选：C 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 4. 如图，一个底面半径为，母线长为的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为2，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即. 此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D 5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n，再求出数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可. 【详解】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数， 数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件个数， 则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为． 故选：D． 6. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离. 【详解】由图可知，，， 则四点共圆，圆的直径是，点，， ，的中点坐标为， 所以四边形的外接圆的方程为， 即，圆， 两式相减得直线的方程， 则原点到直线的距离. 故选：A 7. 已知，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 8. 函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次导数研究的单调性，并通过观察得其零点，进而判断的单调性，然后可得极小值. 【详解】， 记，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以，当时，， 因为，且当时，， 所以，当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，上单调递增. 所以，当时，取得极小值. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次导数研究导函数的单调性，需要结合变化趋势，并观察出导函数零点，进而可知的单调性，然后可解. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知复数，，且在复平面内对应的点在第一象限，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的模长和加法运算可得，进而逐项分析判断. 【详解】设， 因为，可知，即， 又因为，则， 可知，解得，则或， 且在复平面内对应的点在第一象限，则，可知，即. 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：可知，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数，则以下结论正确的为（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 将图象向左平移个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A；代入验证可判断B；取可判断函数图象关于对称，可判断C；利用平移变换求出平移后的解析式，即可判断D. 【详解】 ， 对于A，，A正确； 对于B，因为， 所以点是函数的对称中心，B正确； 对于C，因为， 所以函数的图象关于对称， 又，所以在上不单调，C错误； 对于D，将图象向左平移个单位后，得 ， 显然为偶函数，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断D. 【详解】由题意可知，，即函数关于对称， 所以， 中，令，得， 又，所以，故A正确； 令，得，即，得， 而，故B错误； 由已知得，则， 得，那么， 所以函数是周期为6的函数，故，故C正确； 函数关于对称，所以，函数周期为6，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的对称性，以及利用赋值法判断函数值，以及周期性. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】代入全概率公式，即可求解. 【详解】, ，， 即，则. 故答案为： 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，得到，利用直角三角形斜边中线性质以及，表示出和的各边，再依据，在两个三角形中分别用余弦定理，进而列出等量关系式并求解. 【详解】不妨取M为渐近线上一点， 因为，所以， 又为的中点，所以， 因为，设，则， 因为，所以， 在和中分别用余弦定理， 则，， 所以，所以，， 则为锐角，，即， 则，，，. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为________. 【答案】15 【解析】 【分析】利用裂项相消法求出，代入已知整理得，然后取对数，利用裂项相消法可得，解不等式即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以， 所以， 令，解得. 所以正整数的最小值为15. 故答案为：15 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于通过分母有理化裂项求，取对数，利用对数运算裂项求，然后可解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，. （1）求面积的取值范围； （2）若四边形存在外接圆，求外接圆面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的性质，求的范围，再根据余弦定理求的范围，以及的范围，最后代入面积公式，即可求解； （2）由余弦定理和有外接圆的四边形的性质，求和，最后代入外接圆面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由三角形的性质可知，，即， 且，即，所以， 中，， 所以，则， ， 所以面积的取值范围是； 【小问2详解】 中，， 中，， 即 因为四边形存在外接圆，所以，即， 即，得，， 此时，即， 由， 四边形外接圆面积. 16. 如图，在三棱柱中，，，，平面平面，，分别为和的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，根据已知得出，证明它们的数量积为0即可得证； （2）求出两个平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 取中点，因为在三棱柱中，，， 所以三角形是等边三角形，从而， 而平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因平面， 所以， 因为分别是的中点， 所以， 因为， 所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， ， 所以， 所以， 所以，即； 【小问2详解】 由（1）可知，， 设平面与平面的法向量分别为， 则有，， 令，解得， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，判断的零点个数. 【答案】（1）减区间为，增区间为； （2）2个. 【解析】 【分析】（1）求导，当时，利用指数函数性质和余弦函数有界性可判断导数符号，当时，利用二次导数判断导函数单调性，然后可得导函数符号； （2）当时，利用二次导数判断的单调性，当时，利用指数函数性质和正弦函数有界性可判断函数值符号，当时，记，利用导数研究其图象，根据与的图象交点个数判断即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，，所以，则， 所以，在上单调递减. 当时，记，则， 因为，所以，在单调递增， 所以，即，所以在上单调递增. 综上，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 当时，，则， 记，则， 当时，，所以，单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，在上无零点. 当时，因为， 所以，此时无零点. 当时，记，则， 因为当趋近于0时，趋近于0，所以的变化越来越慢，图象下凹， 当时，，当时，， 作出函数和的图象如图， 由图可知，当时，两个函数图象有一个交点，即有一个零点. 易知是的一个零点. 综上，函数共有2个零点. 18. 已知椭圆：与直线相切于点. （1）求椭圆的方程； （2）设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点. 【答案】（1） （2）直线过定点 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用，以及点在椭圆上，即可解决； （2）利用齐次化方程的思想设直线和椭圆方程，并转化为关于斜率的一元二次方程，利用韦达定理，即可求解. 【小问1详解】 联立，可得， 可得， 化简可得，， 又点在椭圆上，因此，解得：，， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 设点，， 由可得， 又， 则， ， 故， 由， 即有，因此有， 则直线的方程为， 当时，恒成立， 因此直线过定点. 【点睛】思路点睛：本题第二问利用齐次化方程的思想解决问题. 19. 某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. （1）经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； （2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】（1） （2）100 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的区间的概率，以及对称性，即可求解； （2）首先分析得是等比数列，再利用累加法求，由此估计获得一等奖的人数. 【小问1详解】 由题意可知，， ， 所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为； 【小问2详解】 每一次摸到红球和白球的概率都是， 设积分为，则,， ， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， 则， 所以估计获得一等奖的顾客人数为100人. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断数列是等比数列，从而利用累加法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学（一） 考生须知： 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，，若，则（ ） A. 4或2 B. C. 2 D. 2或 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个底面半径为，母线长为圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的极小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知复数，，且在复平面内对应点在第一象限，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则以下结论正确的为（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 将图象向左平移个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数 11. 已知函数为偶函数，对，，且，若，则以下结论正确为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，，则________. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率________. 14. 已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平面内的四个动点，，，构成的四边形中，，，，. （1）求面积的取值范围； （2）若四边形存在外接圆，求外接圆面积. 16. 如图，在三棱柱中，，，，平面平面，，分别为和的中点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，判断的零点个数. 18. 已知椭圆：与直线相切于点. （1）求椭圆的方程； （2）设，为椭圆上异于点的点，直线，与轴分别交于点，，若，证明：直线恒过定点. 19. 某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. （1）经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； （2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$