精品解析：江西省九江市同文中学2023-2024学年高一下学期阶段Ⅱ考试（5月）数学试题

九江市同文中学2023-2024学年高一下学期阶段Ⅱ考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.测试范围：（北师大版2019必修第二册第一章——第五章）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知为纯虚数，则实数a值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知向量，，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 在中，内角，，对边分别为，，，且，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 的形状无法确定 6. 已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与的夹角为（　　） A B. C. D. 7. 设，，，则，，大小关系（ ） A. B. C. D. 8. 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图.成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的.利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为和.设表高为1米，则影差（ ）米（参考数据：，） A. 1.986 B. 2.126 C. 2.232 D. 2.346 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 11. 已知内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若为斜三角形，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，那么______. 13. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______． 14. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的横坐标为. （1）求的值； （2）若，求值. 16. 在中，角所对的边分别为． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在等边中，点满足，点是线段上一点 （1）若，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若，求的面积. 19. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，且，求的值； （3）设函数，记最大值为，最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九江市同文中学2023-2024学年高一下学期阶段Ⅱ考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.测试范围：（北师大版2019必修第二册第一章——第五章）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案. 【详解】， 故选：B 2. 已知为纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简，再利用复数的分类即可得解. 【详解】因为， 因为纯虚数，所以，则. 故选：A. 3. 已知向量，，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析】由，可得与共线，充分性成立；由，可得或，必要性不成立，可得结论. 【详解】由，得，，所以与共线， 所以“”是“是与共线”的充分条件； 由，可得，解得或， “”是“与共线”成立的不必要条件， 故“”是“与共线”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式和同角商的关系可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】由，得， 即，得，所以， 所以. 故选：D. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 的形状无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解. 【详解】由于, 故为钝角，进而三角形为钝角三角形 故选：C 6. 已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与的夹角为，根据，则有，利用向量的运算性质，即可求出值，结合向量夹角的取值范围，即可求得答案． 【详解】解：设与的夹角为， ，则， ，即， 又，， ，则， 又，， ， 故与的夹角为． 故选． 【点睛】本题考查了数量积求两个向量的夹角，利用数量积判断两个向量的垂直关系，属于基础题． 7 设，，，则，，大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用和角的正弦、正切公式化简，利用二倍角的余弦公式化简，再借助三角函数性质比较大小. 【详解】依题意，，， ，而， 所以. 故选：C 8. 圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图.成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的.利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为和.设表高为1米，则影差（ ）米（参考数据：，） A. 1.986 B. 2.126 C. 2.232 D. 2.346 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）. 【详解】在中，（米）， 在中，由正弦定理，得，即， 则（米）， 而， 且， 因此， 所以（米）． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出的代数形式，利用复数加法、乘法运算，结合共轭复数、复数模的意义计算判断AC；举例说明判断B；利用复数的几何意义计算判断D. 【详解】设，则, 对于A，，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，是复平面内表示复数的点的集合是以为圆心，为半径的圆及内部， 因此点的集合所构成的图形的面积为，D正确. 故选：ACD 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解. 【详解】依题意，由图象可知，，则，故A正确； 因为，所以，则，所以， 因为的图象过点，所以， 则，即， 又，则，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象， 纵坐标变为原来的2倍，得到的图象， 向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确； 因为，故C错误； 令，解得， 所以的单调递减区间是，，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，的三角形有两解，则的取值范围为 D. 若为斜三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，若，由正弦定理可得， 所以，所以或者， 所以为等腰三角形或者直角三角形，所以B不正确； 对于C，若，的三角形有两解， 则，即的取值范围为，所以C正确； 对于D，在斜三角形中，，所以， 所以，所以， 则，所以D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式计算即得. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 13. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】由题可得，利用向量的数量积的运算法则即得，然后利用数量积的定义和正六边形的性质解得 最大值为. 【详解】由题可知， ∴， ∴， 结合以及正六边形的几何特征可知为的中点， 所以 要使最大，可知当在处时，最大，此时最大， 即. 故答案为：； 14. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解. 详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 由图可知，，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，，已知点的横坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用二倍角公式及正余弦齐次式法计算即得. （2）由（1）求出，再利用差角的正弦公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，点在第二象限，其纵坐标为，因此， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，而， 所以. 16. 在中，角所对的边分别为． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角差的正弦公式可求得，由此可得. （2）由（1）及已知，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得：， 而，则， 于是，又，即，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由余弦定理， 得，解得， 所以的面积. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，公式法求最小正周期，整体代入法求单调递增区间； （2）求在上的值域，依题意有且，代入可求实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 时，，， 若在上恒成立，则在上恒成立， 有且，即，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 如图，在等边中，点满足，点是线段上一点 （1）若，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. （2）由（1）的结论，利用数量积的运算律求出正三角形边长，进而求出面积. 【小问1详解】 由，得，而，因此， 因为点共线，则，解得， 所以实数的值为. 【小问2详解】 由（1）知，，令等边为，则， ，解得， 所以的面积. 19. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，且，求的值； （3）设函数，记最大值为，最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）2； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出对称中心. （2）由（1）求出，再利用余弦定理求出的值. （3）利用（1）中函数求出，换元并结合单调性求出的最值，再结合对数函数性质及复合函数性质求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 由，及（1）知， ，解得， 在中，由余弦定理得，即，而，解得， 所以的值为2. 【小问3详解】 由（1）（2）知，，，， 则， 令，则， 于是，当时，，当时，， 因此，，由， 得，解得， 函数，即在定义域内不存在零点， 显然，即，， 函数的定义域为， 于是原问题转化为函数在上无零点， 又函数是上的增函数，函数的图象开口向下， 因此恒成立，而当时，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$