2022-2023学年四川省攀枝花市高一（下）期末数学试卷及答案

2022-2023学年四川省攀枝花市高一（下）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 2．　　 A． B． C． D． 3．已知一组数据，，，，的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是　　 A． B． C．1 D．3 4．在中，为上一点，且，则　　 A． B． C． D． 5．在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 6．在正方体中，与直线不垂直的直线是　　 A． B． C． D． 7．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．已知平面向量，，．则下列结论正确的是　　 A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于复数，下列说法正确的是　　 A．若，则为实数 B．若，则为纯虚数 C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限 D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4 10．甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图），则以下说法正确的是　　 A．甲投篮命中次数的众数比乙的大 B．甲投篮命中的成绩比乙的稳定 C．甲投篮命中次数的平均数为7 D．甲投篮命中次数的第40百分位数是6 11．的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是　　 A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则是等腰三角形 12．如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下说法正确的是　　 A．存在某一位置，使得 B．异面直线，所成的角为定值 C．四面体的表面积的最大值为 D．当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数为虚数单位），则　　． 14．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 　　． 15．口味鲜美的甜筒冰淇淋是人们在炎炎夏日中消暑解渴的必备佳品．如图，甜筒冰淇淋形状为旋转体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的体积为 　　． 16．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则　　；的中线的最大值为 　　． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量与的夹角为，，． （1）求及； （2）求向量与向量的夹角． 18．（12分）如图，正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 19．（12分）某校对高一下学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）求的值，并计算样本学生的数学考试成绩的平均分； （2）估计该校高一下学期期中数学考试成绩的第80百分位数； （3）为了进一步了解学生数学成绩与学习习惯等方面的关系，按数学考试成绩再从这100人中用分层抽样的方法抽出20人进行分析，则数学考试成绩在，内的应抽多少人？ 20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．的内角，，所对的边分别为，，，已知_____（只需填序号）． （1）求角； （2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 21．（12分）2023年4月20日，今年第1号台风“珊瑚”在西北太平洋洋面上生成，其中心附近最大风力8级．台风中心位于某海岛正东方向处，且它正向西北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，请解答以下问题： （1）海岛所在地是否会受到台风的影响？请说明理由； （2）若海岛所在地受到台风的影响，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？（参考数据： 22．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 2022-2023学年四川省攀枝花市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则　　 A． B． C． D．2 【解析】：由题意知向量，， 故由，得，． 故选：． 2．　　 A． B． C． D． 【解析】：化简可得 故选：． 3．已知一组数据，，，，的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是　　 A． B． C．1 D．3 【解析】：根据题意，数据，，，，的方差是， 则另一组数据，，，，的方差为． 故选：． 4．在中，为上一点，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】：由题意知，，因为，且， 所以． 故选：． 5．在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】：在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点， ，， 将角的终边按逆时针方向旋转，此时角为， 则点的横坐标为； 点的纵坐标， 则点的坐标为，． 故选：． 6．在正方体中，与直线不垂直的直线是　　 A． B． C． D． 【解析】：如图所示， 在正方形中，； 因为平面，故； 连接、，因为，所以与所成的角为，不垂直； 易得平面，所以，所以正确． 故选：． 7．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】：若，，由直线与平面垂直的性质可得，故正确； 若，则垂直平面内的所有直线，而，则，故正确； 若，则垂直平行于的所有直线，而，则，故正确； 若，，则或，故错误． 故选：． 8．已知平面向量，，．则下列结论正确的是　　 A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为图象的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称 【解析】：平面向量，， ， 故的最下正周期为，故错误． 在区间上，，，函数不单调，故错误． 令，求得，为最大值，可得它的图象关于直线对称，故错误． 将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数的图象， 再根据为偶函数，可得它的图象关于轴对称，故正确． 故选：． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于复数，下列说法正确的是　　 A．若，则为实数 B．若，则为纯虚数 C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限 D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4 【解析】：对于，由，，则，故正确； 对于，当时，，故错误； 对于，由，则其在复平面上对应的点为，由，，则该点在第四象限，故正确； 对于，，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形为以原点为圆心，以1为半径的圆，则其面积，故错误． 故选：． 10．甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图），则以下说法正确的是　　 A．甲投篮命中次数的众数比乙的大 B．甲投篮命中的成绩比乙的稳定 C．甲投篮命中次数的平均数为7 D．甲投篮命中次数的第40百分位数是6 【解析】：由折线图可知，甲投篮5轮，命中的次数分别为5，8，6，8，8， 乙投篮5轮，命中的次数分别为3，7，9，5，9， 对，甲投篮命中次数的众数为8，乙投篮命中的众数为9，故错误， 对，甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中的次数数据比较分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，故正确， 对，甲投篮命中次数的平均数为，故正确， 对，甲投篮5轮，命中的次数从小到大为5，6，8，8，8，故第40百分位数是，故错误． 故选：． 11．的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是　　 A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则是等腰三角形 【解析】：选项，由正弦定理知，， 若，则，所以，即选项正确； 选项，由正弦定理及，知， 所以，所以角为钝角，即选项正确； 选项，因为锐角，所以，，且，即， 因为函数在上单调递增， 所以，即选项正确； 选项，由正弦定理及知，， 所以，所以或， 所以或，即为等腰或直角三角形，故选项错误． 故选：． 12．如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下说法正确的是　　 A．存在某一位置，使得 B．异面直线，所成的角为定值 C．四面体的表面积的最大值为 D．当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为 【解析】：对于，不妨假设存在某一位置，使得， 连接交于点，连接，取的中点为，连接，， 为线段的中点，故； 由于在菱形中，，， 而为线段的中点，故， 由于，，平面，故平面， 平面，故， 而，故，即为正三角形，则， 故， 又，且，故， 由于，故，， 因为，满足， 即当时，使得，正确； 对于，因为，故异面直线，所成的角即为或其补角， 而， 由于长不是定值，故不是定值， 即异面直线，所成的角不为定值，错误； 对于，由题意可知， 因为，故， 当且仅当时取得等号， 故，的最大值为2，而， 则四面体的表面积的最大值为，正确； 对于，因为，，故为二面角的平面角， 即，所以， 即，而， 则四面体为正四面体，故将其补成如图所示正方体，且正方体棱长为， 则该正方体的外接球即为四面体的外接球， 正方体的体对角线长即为外接球直径，则外接球半径为， 即四面体的外接球半径为，正确． 故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数为虚数单位），则　　． 【解析】：由，得． 故答案为：． 14．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 　　． 【解析】：由题意得，， 故向量在向量上的投影向量是． 故答案为：． 15．口味鲜美的甜筒冰淇淋是人们在炎炎夏日中消暑解渴的必备佳品．如图，甜筒冰淇淋形状为旋转体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的体积为 　　． 【解析】：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 圆锥的底面圆半径，高为， 半球的半径为， 则该组合体的体积为． 故答案为：． 16．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，，则　　；的中线的最大值为 　　． 【解析】：由正弦定理及知，， 因为，所以， 由余弦定理知，， 因为，所以； 因为，且， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 因为点为的中点， 所以， 所以， 所以，即的中线的最大值为． 故答案为：；． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量与的夹角为，，． （1）求及； （2）求向量与向量的夹角． 【解析】：（1）由题意， ． （2）由题意得， 所以， 又因为， 所以． 18．（12分）如图，正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【解答】（1）证明：连接，交于，连接， 由于是△的中位线，则， 又平面，平面， 则有平面； （2）解：因为是的中点，为等边三角形， 所以，因为平面，平面， 所以，， 所以平面，又平面， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积可得， 即， 即， 解得． 19．（12分）某校对高一下学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）求的值，并计算样本学生的数学考试成绩的平均分； （2）估计该校高一下学期期中数学考试成绩的第80百分位数； （3）为了进一步了解学生数学成绩与学习习惯等方面的关系，按数学考试成绩再从这100人中用分层抽样的方法抽出20人进行分析，则数学考试成绩在，内的应抽多少人？ 【解析】：（1）由频率分布直方图的性质可知，所有小长方形面积之和为1， 故，解得， 样本学生的数学考试成绩的平均分为： ； （2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，130分以下所占比例为， 因此，分位数一定位于，内，由，可以估计样本数据的第80百分位数约为115分， 据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分． （3）由题意，从这100人中用分层抽样的方法抽出20人， 考试成绩在，内的学生应抽人． 20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．的内角，，所对的边分别为，，，已知_____（只需填序号）． （1）求角； （2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】：（1）若选①：因为，由正弦定理可得， 且，可得，整理得， 注意到，则，可得，所以； 若选②：因为，由正弦定理可得， 注意到，，则，， 可得，即，所以； 若选③：因为，由余弦定理可得， 整理得，则， 注意到，所以． （2）因为是锐角三角形，， 则，解得， 由正弦定理可得，则， 可得，则，所以， 故面积， 所以面积的取值范围为． 21．（12分）2023年4月20日，今年第1号台风“珊瑚”在西北太平洋洋面上生成，其中心附近最大风力8级．台风中心位于某海岛正东方向处，且它正向西北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，请解答以下问题： （1）海岛所在地是否会受到台风的影响？请说明理由； （2）若海岛所在地受到台风的影响，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？（参考数据： 【解析】：（1）如图，以某海岛为坐标原点，正东方向为轴，过点的垂直方向为轴， 建立平面直角坐标系， 则，设台风中心沿着移动（西北方向）， 作，垂足为，则， 由于，故海岛所在地会受到台风的影响； （2）设小时后台风中心的位置为， 即， 由于距台风中心以内的地区都将受到影响， 故令，解得， 即约为， 即海岛所在地受到台风的影响，大约4.57小时后受到影响，持续时间大约5小时． 22．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 【解答】（1）证明：过作于，平面平面，平面平面， 平面，又平面，，又平面， 且平面，，又，平面， 平面，． （2）解：由（1）知平面，过作，垂足为连， 由三垂线定理知，即为二面角的平面角， ，，， 由， 二面角的正切值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$