精品解析：2024年福建省厦门第一中学中考二模数学试题

福建省厦门第一中学2023－2024学年（下）6月中考二模试卷 初三年数学试卷 （满分为150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．答案一律写在答题卡上，否则不得分 2．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是( ) A. （2ab）2＝4a2b2 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. am•an＝amn D. a2+a2＝a4 5. 如图，在 中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知实数，则在数轴上对应的点可能是（ ） A. A B. B C. C D. D 7. 如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 为反比例函数的图象上两点，若，且则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，正方形中，点 是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时， 与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率______． 12. 计算：______． 13. 如图，在中，，点D，E，F分别是的中点，若，则的长为______． 14. 如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数_____． 15. 若，则的值为________． 16. 已知函数（为常数）的图象经过点．下列结论：①；②当时，；③若，则函数图象与轴有两个公共点；④若，则当时， 随的增大而增大，其中正确的结论是______（填写序号）． 三、解答题（共9题，满分86分） 17. 解不等式组： 18. 如图，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 21. 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 22. 如图，已知菱形 （1）求作点E，使得点E到三个顶点A，D，C的距离相等． （2）当时，求与的面积比． 23. 【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米． 任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与 轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作 轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， （1）求抛物线的函数解析式： （2）请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明． ①的横坐标为；②与相似；③ （3）若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 25. 在等腰中，，，点 ， 分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点 顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图，点 ， 分别与点，重合，直接写出与的位置关系： （2）再探讨一般情形，如图，证明（）中的结论仍然成立． 问题拓展 （3）如图，若 为的中点，点是点关于直线的对称点，若点， ， 在一条直线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2023－2024学年（下）6月中考二模试卷 初三年数学试卷 （满分为150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．答案一律写在答题卡上，否则不得分 2．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共32分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意得：几何体的俯视图是 ． 故选C． 3. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列运算正确的是( ) A. （2ab）2＝4a2b2 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. am•an＝amn D. a2+a2＝a4 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类选项法则依次计算各后即可解答. 【详解】A. ，故A选项正确； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类选项法则等知识点的理解和掌握，能根据这些性质正确进行计算是解此题的关键. 5. 如图，在 中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴； 故选B． 6. 已知实数，则在数轴上对应的点可能是（ ） A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，算术平方根，估算的大小，即可得的取值范围，从而得到答案．解题的关键是估算的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴在数轴上对应的点可能是B． 故选：B． 7. 如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，同弧所对圆周角和圆心角的关系，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答本题的关键．连接，根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，求出的度数，再根据为的切线，得到，再求出的大小即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵，是所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数，列出方程组即可． 【详解】∵根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确审题，列出符合题意的方程组是解题的关键． 9. 为反比例函数的图象上两点，若，且则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为反比例函数的图象上两点， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵的符号不定，无法确定的大小关系； 故选C． 10. 如图1，正方形中，点 是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时， 与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标． 【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9， ∵点E是BC的中点， ∴BC=6， 连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标， ∵四边形ABCD是正方形，AB=6， ∴CE∥AD，AC=，DE=， ∴△CGE∽△AGD， ∴， ∴， ∴AG=， 故点M的坐标为（，），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率； 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，计算零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 如图，在中，，点D，E，F分别是的中点，若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，三角形的中位线定理，根据斜边上的中线的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，点D，E，F分别是的中点，， ∴，是的中位线； ∴； 故答案为：2． 14. 如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数_____． 【答案】##72度 【解析】 【分析】此题考查的是多边形的内角和及平行线的性质，利用多边形的内角和定理和平行线的性质即可解决问题，掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键．由，可得，即，整体代入即可求解 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ 故答案为：． 16. 已知函数（为常数）的图象经过点．下列结论：①；②当时，；③若，则函数图象与轴有两个公共点；④若，则当时， 随的增大而增大，其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点得出、b的关系，进而得到，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】∵抛物线与x轴的交点为， ∴，000 ∴，故①正确， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确， 令，则， ， ∵ ∴， ∴若，则函数图象与轴有两个公共点，即选项③正确， 设，是方程的两个实数根，则， 当时，则， ∵点抛物线与x轴的一个交点， ∴令，则， ∵， ∴， ∵ ∴抛物线开口向下， ∴若，则当时， 随的增大而增大，即选项④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质．掌握二次函数图像上点的坐标特征以及对称轴方程求法是关键. 三、解答题（共9题，满分86分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； 故答案为：． 18. 如图，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，根据，可知，再根据“”得出，根据全等三角形的对应角相等得出，即可得出答案． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周（按周一至周五算）的消费金额（单位：元），并将数据进行收集、整理和分析．下面给出了部分信息． a．消费金额的频数分布表如下： 消费金额x/元 甲超市 0 0 12 6 2 乙超市 1 4 7 3 5 b．乙超市消费金额在这一组的是：70 70 70 71 71 73 75 c．甲、乙两个超市消费金额的平均数、中位数、众数如表： 超市 平均数 中位数 众数 甲 m 76 75 乙 76.85 n 70 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中m和n的值； （2）若甲超市该周的学生消费人数为500人，估计甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额． 【答案】（1）80，72 （2）160000元 【解析】 【分析】本题考查求平均数和总位数，利用样本平均数计算总体： （1）根据平均数和中位数的确定方法，进行求解即可； （2）利用样本估计总体，进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 中位数是第10，11两个数的平均数， 故； 【小问2详解】 （元）． 故甲超市一个月（按4周算）的学生消费总金额事160000元． 21. 如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，可证得，从而得到，即可求证； （2）先根据，求出，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形的相关计算，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 如图，已知菱形 （1）求作点E，使得点E到三个顶点A，D，C的距离相等． （2）当时，求与的面积比． 【答案】（1） 如图所示： （2）． 【解析】 【分析】（1）点 是的垂直平分线和的交点，易证，得到，结合是的垂直平分线，可以得到； （2）先证，通过对应边成比例，得到，设 ，，则有则 ，解方程求得的长度，最后通过求得面积比． 【小问1详解】 作法如下： ①连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径分别在的上方与下方作弧；上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点E． ③连接，，则． 理由如下： 在菱形中，， 垂直平分 ； 【小问2详解】 在菱形中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ，，， ， 设 ，（其中,），则 ， ， 解得 ， （舍去） 和中，边上的高和边上的高相等 ． 由（1）可知， ． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形判定与性质，三角形面积，菱形的性质及应用，相似三角形判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米． 任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间． 【答案】任务1：米；任务2：；任务3：；任务4：（秒） 【解析】 【分析】任务1：过点A作于点E，在中进行求解； 任务2：设，把，代入得，即可求解； 任务3：设，把，；，代入得，求解即可； 任务4：，当时，，求解即可解得． 【详解】解：任务1 高度测算 法一：如图1，过点A作于点E，由题意得，，， ∴，，， ∵，∴， ∴， ∴． 法二：如图1，过点A作于点E， 由题意得，，， ∴，，， ∵，∴， ∴． 任务2 初建模型 设，把，代入得， ∴． 任务3 数据分析 如图2，由图象可知，x与t大致满足二次函数关系 设，把，；，代入得 ，解得， 经检验，表中其他数据均满足， ∴． 任务4 推理计算 法一：，当时，，解得，（舍） 法二：当时，，解得， 当时，，解得，（舍）． 【点睛】本题考查了解直角三角形，一次函数，二次函数，二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求解出函数解析式． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与 轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作 轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， （1）求抛物线的函数解析式： （2）请你从以下三个选项中，任选一个为条件，另一个作结论，组成一个真命题，并证明． ①的横坐标为；②与相似；③ （3）若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 【答案】（1） （2）条件：的横坐标为，结论：与相似． 证明：∵过点作 轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，且点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∵点在抛物线上； ∴当时，得：， ∴， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，即与相似； （3）与的函数关系为，当时，有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）由已知对称轴可得，再将点，代入，即可求出二次函数的解析式； （2）条件：的横坐标为，结论：与相似．根据点的横坐标为，确定，得出轴，即可得证； （3）确定直线的解析式为，设点横坐标记为，得，，，继而得到，得到，，进一步可得，根据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将点，代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点横坐标记为， ∵过点作 轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点， ∴，，， ∴， 设，分别为点，的横坐标， ∴的面积：，的面积：， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴与的函数关系为，当时，有最大值，最大值为， 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定，三角形的面积等知识点．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 25. 在等腰中，，，点 ， 分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点 顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图，点 ， 分别与点，重合，直接写出与的位置关系： （2）再探讨一般情形，如图，证明（）中的结论仍然成立． 问题拓展 （3）如图，若 为的中点，点是点关于直线的对称点，若点， ， 在一条直线上，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图， 过 作交的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转的性质得： ， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）先证，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论； （）过 作交的延长线于点，证得 则，即可得出结论； （）连接，过 作于点，延长交于点，证四边形是正方形，得，，，再证 ，得，然后证是等腰直角三角形，得，进而得，即可解决问题． 【小问1详解】 ， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 连接，过作于点，延长交于点， 则， 由（）可知，， ∴，， ∵ 为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴平行四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $