精品解析：2024年浙江省杭州市滨江区中考二模数学试题

2024年初中毕业升学模拟检测（二） 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸指定位置写上学校、班级、姓名、座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 如果小滨向东走记作，那么他向西走可记作（　　） A. B. C. D. 2. 2023年第十九届亚洲运动会在杭州举行，运动员们赛出了风格，赛出了水平，取得了优异成绩．运动会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 计算：（　　） A. B. C. D. 5. 如图， 是 对角线 上一点，满足，连接并延长交于点，则（　　） A. B. C. D. 6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7. 如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度 是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线 ， 的交点 ，且点 的坐标为，则（　　） A. 3 B. C. 6 D. 9. 如图，在中，，，，点 为 的中点，线段 的垂直平分线交边于点 ．设，，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A. 有最大值 B. 无最大值 C. 有最小值 D. 无最小值 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：=_____． 12. 将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为___________． 13. 某校901班共有50名学生，平均身高为厘米，其中30名男生的平均身高为厘米，则20名女生的平均身高为___________厘米． 14. 如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是___________米． 15. 如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则 的内切圆半径长为___________． 16. 勾股定理的证明方法多样．如图正方形 是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长交以 为直径的圆于点I（点l在 的上侧），连结．分别以为边向外作正方形．已知的面积为2，正方形的面积为1，则正方形的面积为 ______ ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程： （2）解不等式：． 18. 如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门为米，车门打开最大角度 为．当两辆小汽车水平距离为米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．（结果精确到米，参数考据：，，） 19. 化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 （1）小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． （2）已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 20. 某学校给初一全体学生开设了 ， ， ， 四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． （2）依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ （3）现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 21. 设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． （1）求点 ， 的坐标． （2）求函数，的表达式． （3）当时，直接写出 的取值范围． 22. 如图1，矩形是矩形 以点 为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形，其中．连接 ，，．已知 ，． （1）求的度数（用含 的代数式表示）． （2）如图2，当经过点 时，求的值． （3）如图3，当平分时，求的长． 23. 如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板 直线运动，其中．从黑球运动到 点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间 （单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离 （单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于 ， 关于 的函数图象，并分别求出关于 ， 关于 的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板 上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到 点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点 处，两球会在水平木板 的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点 到 点的距离；若不能相遇，请说明理由． 24. （1）如图1， 是 的直径，直线是 的切线，为切点． ， 是直线上两点（不与点重合，且在直径 的两侧），连结 ， 分别交于 点 ，点 ．连结．求证：． （2）将图1中的直线沿着方向平移，与交于点，如图2．结论否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由． （3）在（1）的条件下，连结，得如图3，当，时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中毕业升学模拟检测（二） 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸指定位置写上学校、班级、姓名、座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 如果小滨向东走记作，那么他向西走可记作（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果小滨向东走记作，那么他向西走可记作，   故选：A ． 2. 2023年第十九届亚洲运动会在杭州举行，运动员们赛出了风格，赛出了水平，取得了优异成绩．运动会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： ， 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、积的乘方法则进行解题即可． 【详解】A． ，故该选项不正确，不符合题意； B．与不是同类项，不能进行合并，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选D． 4. 计算：（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，   故选：B ． 5. 如图， 是 对角线 上一点，满足，连接并延长交于点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/ 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量双 1 2 5 11 7 3 1 若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 【详解】因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数． 7. 如图，折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度 是折扇骨柄长的，折扇张开的角度为，则这把折扇扇面面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，先求出 的长，再根据折扇的扇面面积是两个扇形面积的差计算即可得出答案． 【详解】解：∵折扇的骨柄长为7，折扇扇面宽度 是折扇骨柄长的， ∴， ∴， ∴这把折扇扇面面积为， 故选：C． 8. 如图，已知反比例函数图象的一支曲线经过对角线 ， 的交点 ，且点 的坐标为，则（　　） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点D是的中点， ∵点 的坐标为， ∴点 的坐标为， ∴， 故选B． 9. 如图，在中，，，，点 为 的中点，线段 的垂直平分线交边于点 ．设，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜中线定理，中垂线定理，连接 ，先证明，得出，再根据，求得 与 的关系式，运用这些性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接 ， ∵，点 为 的中点， ∴ ， ∴， ∵是 的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： ． 10. 已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A. 有最大值 B. 无最大值 C. 有最小值 D. 无最小值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为 轴是解题的关键． 由题意可知对称轴为 轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的， 得到的最小值为，无最大值． 【详解】 二次函数的图象经过点，，， 对称轴为直线， ，， ， 把，代入得， 解得：． 当时，该函数有最大值和最小值， 时，取最大值， 时，取最小值， ， 又 ， 的最小值为，无最大值． 故选B． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 12. 将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 某校901班共有50名学生，平均身高为厘米，其中30名男生的平均身高为厘米，则20名女生的平均身高为___________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，根据平均数的计算方法计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：20名女生的平均身高为：， 故答案为： ． 14. 如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是___________米． 【答案】2.2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得，令，则，求出，从而得出，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 令，则， ∴， 解得：或 （不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴水池宽至少是米， 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则 的内切圆半径长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、三角形内切圆的定义和性质，设 的内切圆与 、、 分别相切于点、、 ，连接、、、 ，由勾股定理得出，由三角形内切圆的性质得出平分 ，从而得出在 的垂直平分线上，证明出 、 、 在同一直线上，得出，推出，连接、、，设 的内切圆的半径长为，根据列式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，设 的内切圆与 、、 分别相切于点、、 ，连接、、、 ， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点 为 的内切圆的圆心， ∴平分 ， ∵， ∴在 的垂直平分线上， ∵， ∴ 、 、 在同一直线上， ∴， ∴， 连接、、，设 的内切圆的半径长为， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 勾股定理的证明方法多样．如图正方形 是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长交以 为直径的圆于点I（点l在 的上侧），连结．分别以为边向外作正方形．已知的面积为2，正方形的面积为1，则正方形的面积为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用及全等三角形的判定与性质，过点C作交的延长线于P，由正方形的面积为1得，证明和全等得，，由的面积为2得，则，则，由勾股定理得， ，再根据得，则，依题意得，则，据此可得正方形的面积． 【详解】解：过点C作，交的延长线于P，如图所示： 则， 依题意得：， ∴， ∴， ∵正方形的面积为1， ∴， ∵四边形 为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵正方形 是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成， ∴， ∴， ∴正方形的面积为：． 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程： （2）解不等式：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用配方法求出解即可； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把 系数化为1，即可求出解集． 【详解】（1）解: 两边同时加1得 配方得（或代入求根公式） 直接开平方法得 ， （2）解: 因为， 两边同乘以6得：， 移项、合并同类项得：， 得． 18. 如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门为米，车门打开最大角度 为．当两辆小汽车水平距离为米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．（结果精确到米，参数考据：，，） 【答案】 会，理由如下： 过点 作，垂足为点 ， 在中，∵，米， 米， ∵两辆小汽车水平距离为米大于米， ∴右边小汽车在打开车门时会碰到左边小汽车． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点 作，解求出 ，与米比较即可判断求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】略 19. 化简．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程． 小滨：原式 小江：原式 （1）小滨解法的依据是___________（填序号）；小江解法的依据是___________（填序号）． ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律． （2）已知，先化简题中代数式，再求代数式的值． 【答案】（1）②；④ （2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察两位同学的解题过程，确定出各自的依据即可； （2）先化简题中的代数式，再将 的值代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 小滨解法的依据是②分式的基本性质，小江解法的依据是④乘法对加法的分配律； 故答案为：②，④； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 20. 某学校给初一全体学生开设了 ， ， ， 四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小． （2）依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D课程的人数为多少？ （3）现从“最喜爱A课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率． 【答案】（1） （2）48人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用列表或树状图法求概率，解题的关键是数形结合，熟练掌握统计图的特点，根据题意画出树状图． （1）先求出喜欢A的人数，然后求出喜欢C的人数，再用乘以C所占的百分比即可求解； （2）用总人数乘以D所占的百分比估计总体即可； （3）先画出树状图，然后再利用概率的公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：喜欢 课程的人数为（人）， 喜欢C课程的人数为（人）， ∴． 【小问2详解】 解：（人）， ∴最喜欢D课程的人数约为48人． 【小问3详解】 解：画树状图如图， ∵共有12种等可能的结果，其中甲、乙被选到的结果有2种， ∴甲、乙被选到的概率为． 21. 设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． （1）求点 ， 的坐标． （2）求函数，的表达式． （3）当时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，以及待定系数法求函数解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，算出n的值，即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）作出图象，根据图象直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：点，点在反比例函数的图形上， ∴， 解得：， ∴点，点； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 将点，点代入中，可得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 当时，x的取值范围为或． 22. 如图1，矩形是矩形 以点 为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形，其中．连接 ，，．已知 ，． （1）求的度数（用含 的代数式表示）． （2）如图2，当经过点 时，求的值． （3）如图3，当平分时，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质并结合三角形内角和定理求解即可； （2）由矩形的性质得出，，，由勾股定理结合旋转的性质得出，求出，即可得解； （3）过点 作，解直角三角形得出，由等腰三角形的性质得出平分，，进而可得，再解直角三角形得出的长，即可得解． 【小问1详解】 解：∵矩形是矩形 以点 为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为所得的图形， ∴，， ∴为等腰三角形， 【小问2详解】 解：∵ ，，四边形 为矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∵经过点 ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点 作， ， 由旋转的性质可得：，，，， 在中，， 由（1）知，为等腰三角形， ∵， ∴平分，， ∵平分，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的行驶在、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板 直线运动，其中．从黑球运动到 点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间 （单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离 （单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于 ， 关于 的函数图象，并分别求出关于 ， 关于 的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板 上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到 点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点 处，两球会在水平木板 的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点 到 点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】（1）图像如图： ； ；； （2）①；②能相遇，相遇点 到 点． 【解析】 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是 的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知 是 的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得 的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出 ，代入即可得到相遇点离 点距离． 【小问1详解】 由图像猜测是 的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与 的函数表达式为； 由图像猜测 是 的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与 的函数表达式为； 【小问2详解】 ①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时， 取最大值为：， 黑球在水平木板 上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从 处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点 到 点的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. （1）如图1， 是 的直径，直线是 的切线，为切点． ， 是直线上两点（不与点重合，且在直径 的两侧），连结 ， 分别交于 点 ，点 ．连结．求证：． （2）将图1中的直线沿着方向平移，与交于点，如图2．结论否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由． （3）在（1）的条件下，连结，得如图3，当，时，求的值． 【答案】（1）证明：∵ 是直径，∴． ∵直线切 于点，∴，． ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）结论仍然成立，理由如下： 设交于点． ∵直线向左平移时始终垂直于 ， 是直径， ∴，又， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再利用同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论； （2）平移前后的始终垂直于 ，证明，再利用同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论； （3）作于，延长、 交于点，设为单位1，证明，，利用三角函数表示出，证明．在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，作于，延长、 交于点， ， ， 设为单位1， ，， 由（1）可知， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． ， ， 为直径， ， ， ． ． ， ， ， ． 在中，，即 ． ． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，掌握切线的性质、图形的相似和全等的应用以及勾股定理的应用，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 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