精品解析：2024年北京市平谷区中考二模数学试题

2024北京平谷初三二模 数 学 一、选择题（共16分，每题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 据国家能源网消息，截至2023年12月31日，国家能源集团2023年度发电量首次突破1.2万亿千瓦时，其中1 200 000 000 000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果正多边形每个外角都等于，则它的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 布袋中有三个除颜色外其余均相同的小球，小球颜色两红一白，从中随机同时抽取两个小球，则抽到的两个小球颜色恰好相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 10. 分解因式：______． 11. 方程的解为________． 12. 如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则______（填、或）． 13. 某中学共有1000名学生，为了解这1000名学生参加志愿者服务的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，获得了他们的志愿者服务时长（单位：小时），数据整理如下： 志愿者服务时长 学生人数 10 20 23 20 15 12 根据以上数据，估计这1000名学生的志愿者服务时长不小于300小时的学生的人数为______名． 14. 如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为______． 15. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________° 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序． 各项工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要________名学生共同参与． 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式值． 20. 如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（） 21. 在平面直角坐标系中，一次函数图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 如图，平分，点A是射线上一点，过点A作交于点D，过A作，过点D作． （1）求证：四边形是矩形； （2）在上取点C使得，连接、．求证：． 23. 如图，点A、C是上两点，过点A作的切线与的延长线交于点B，过点C作的平行线与交于点D，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 为了了解本年级的学生的身高情况，数学小组的同学从校医务室随机调取了一个班39人的身高数据，（单位：），以下是甲、乙、丙三个小组对数据整理的结果： 甲：39名学生的身高频数分布图（数据分成4组：，，，）： 其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 乙：该班有20名女生和19名男生，女生和男生身高数据的折线图： 丙：39名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 167 （1）写出表中和的值； （2）在男女两组学生中，身高数据更均匀的是________（填“男生”或“女生”）； （3）现需要从该班男、女生中各抽调6名学生参加该校运动会开幕式仪仗队，已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173．男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，则选出的另外两名男生的身高分别为________和________． 25. 商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： （1）通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点； （2）据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） （3）结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； （3）若对于时，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 28. 平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． （1）若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． （2）半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； （3）半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京平谷初三二模 数 学 一、选择题（共16分，每题2分） 第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 据国家能源网消息，截至2023年12月31日，国家能源集团2023年度发电量首次突破1.2万亿千瓦时，其中1 200 000 000 000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可； 【详解】A、主视图为 ，是三角形，故此选项正确； B、主视图为 ，是矩形，故此选项错误； C、主视图为 ，是圆，故此选项错误； D、主视图为 ，是矩形，故此选项错误； 故选A． 【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别． 3. 一副三角板如图所示摆放，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”以及平角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义．熟练掌握有理数的大小比较，绝对值的意义是解题的关键． 由，可得，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求； 故选：B． 5. 如果正多边形的每个外角都等于，则它的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案． 【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于， ∴它的边数为， 故选：B． 6. 布袋中有三个除颜色外其余均相同的小球，小球颜色两红一白，从中随机同时抽取两个小球，则抽到的两个小球颜色恰好相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键．根据题意，运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：列表把所有等可能结果表示出来，两个红球分别表示为红1，红2， 红1 红2 白 红1 -------- 红1，红2 红1，白 红2 红2，红1 ---------- 红2，白 白 白，红1 白，红2 --------- 共有6种等可能结果，其中一个红球一个黄球的结果有2种， ∴抽到的两个小球颜色恰好相同的概率为，   故选：A ． 7. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知，然后解不等式即可． 【详解】关于的一元二次方程有两个实数根 ，， 故选：D． 8. 如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，如图，延长交于点H，得出，利用勾股定理即可得出，故③正确，再将进行恒等变形即可判断①正确，然后利用三角形三边关系即可判断②正确，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于点H， ∵点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形， ∴，B，C，G三点共线，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，故①正确，符合题意； 在中， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得：， 移项，得： 合并得，， 解得，， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 12. 如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则______（填、或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 某中学共有1000名学生，为了解这1000名学生参加志愿者服务的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，获得了他们的志愿者服务时长（单位：小时），数据整理如下： 志愿者服务时长 学生人数 10 20 23 20 15 12 根据以上数据，估计这1000名学生的志愿者服务时长不小于300小时的学生的人数为______名． 【答案】470 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，用学生总数乘以样本中志愿者服务时长不小于300小时的学生所占比例即可得出答案． 【详解】解：， 即这1000名学生的志愿者服务时长不小于300小时的学生的人数为470名， 故答案为：470． 14. 如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可求，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________° 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB 【详解】解：连接，如图， PA，PB分别与⊙O相切 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键． 16. 某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序． 各项工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要________名学生共同参与． 【答案】 ①. 21 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H；然后再合理安排其他时间即可． 【详解】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下 图： 故答案为：21，4． 三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22—23题，每题6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先将的余弦、负整数指数幂、绝对值、二次根式进行化简，再进行加减运算，即可求解；掌握、（）、、二次根式化简是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，灵活运用分式的运算法则化简分式成为解题的关键． 由可得，再运用分式的运算法则化简得到，做好将整体代入即可解答． 【详解】解：， ∴， ． 20. 如图，线段表示2米高的一扇窗户，要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳蓬，若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为，夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为，要让冬季太阳光线与水平线夹角的最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角的最大的时候遮阳蓬能完全遮挡炎热的阳光，设遮阳蓬的长度为x米，遮阳蓬的落空高度为y米，请你根据设计方案计算x与y的值约为多少．（） 【答案】遮阳蓬的长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形列出等式是解题的关键． 根据题意列出两个最大角度和最小角度对应的等式，解答即可求解； 【详解】解： 由图1可知，， 由图2可知， ， 解得：， 答：遮阳蓬长度约为米，遮阳蓬的落空高度约为米． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题 （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）画出图象，结合图象可知当时，两直线相交于点，当时，两直线平行，故可得出结论 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴把和代入得， 一次函数的解析式为 【小问2详解】 解：如图， 当时，两直线相交于点， 当时，两直线平行， 所以，m的取值范围为 22. 如图，平分，点A是射线上一点，过点A作交于点D，过A作，过点D作． （1）求证：四边形是矩形； （2）在上取点C使得，连接、．求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊四边形的判定和性质，角平线的性质等知识点， （1）先判定四边形是平行四边形，然后由即可得解； （2）先判定四边形是平行四边形，再由平分和得出，证出四边形是菱形，进而即可得证； 熟练掌握其判定和性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 如图， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． 23. 如图，点A、C是上两点，过点A作的切线与的延长线交于点B，过点C作的平行线与交于点D，连接、． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等； （1）连接交于E，由切线的性质得，由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由垂径定理得，由正切函数得，可求出，设，由勾股定理得可求出、，由平行线，由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握相关的判定方法及性质，能根据切线的性质作出圆中的常用辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接交于E， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， 解得． 24. 为了了解本年级的学生的身高情况，数学小组的同学从校医务室随机调取了一个班39人的身高数据，（单位：），以下是甲、乙、丙三个小组对数据整理的结果： 甲：39名学生的身高频数分布图（数据分成4组：，，，）： 其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 乙：该班有20名女生和19名男生，女生和男生的身高数据的折线图： 丙：39名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 167 （1）写出表中和的值； （2）在男女两组学生中，身高数据更均匀的是________（填“男生”或“女生”）； （3）现需要从该班男、女生中各抽调6名学生参加该校运动会开幕式仪仗队，已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173．男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，则选出的另外两名男生的身高分别为________和________． 【答案】（1），； （2）女生； （3）167，174． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）中位数是第20位学生的身高，根据甲的频数分布图，可以知道第20位学生位于的第14个，从而找到中位数；根据乙的统计数据，可以知道174出现的次数最多，所以众数为174； （2）根据乙的折线统计图，可以知道女生的数据波动小一些； （3）女生的平均身高为169.6，已选的4位男生的平均身高为170.5，为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀，从而判断出另2个男生的身高． 【小问1详解】 因为样本数量是39，将这39人身高从低到高排列，中位数是第20位学生的身高， 根据甲的统计数据，可以知道，第20位学生的身高落在组， 因为有6个人， 所以第20位学生位于的第14个， 其中，身高的数值在这一组的是： 161，161，162，162，162，163，163，163，163， 164，165，166，167，167，168，168，168，170． 所以中位数为167； 根据乙的统计数据，可以知道174出现的次数最多， 所以众数为174； 故答案为：， 【小问2详解】 根据乙的折线统计图，可知女生的数据波动小一些， 所以女生的数据更均匀一些； 故答案为：女生． 【小问3详解】 已知抽调的女生身高分别为166，168，168，171，172，173． 此时，女生的平均身高为： 男生已经确定的四名成员的身高数据为168，170，171，173， 那么这四个男生的平均身高为 为了使被抽调的男生身高比女生身高的平均值略大，且仪仗队身高整体比较均匀， 那么另外两个男生的身高应选择和； 故答案为：167，174． 25. 商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： （1）通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点； （2）据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） （3）结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 【答案】（1）画图见解析 （2） （3）六五折 【解析】 【分析】（）根据表格，描出其余各点，再用平滑曲线连接起来即可； （）根据（）中的图形即可判断求解； （）根据表格数据得出A商品八折时的销售涨幅，再根据这个数据对照表格即可求解； 本题考查了函数的图象及应用，正确画出函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：画图如下： 【小问2详解】 解：由图可知，随的增大涨幅变化很大，随的增大涨幅比较平缓， ∴商品是必需品， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图象可知商品八折时，即时的值约为，而当的值约为时，值约为，所以商品打六五折． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． （1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； （3）若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查抛物线图像和性质，化成顶点式、求与轴对称轴交点，采用数形结合的方式是解题关键． （1）将抛物线整理成顶点式，对称轴可求； （2）令，得到抛物线与轴的两个交点为，可求，要满足题意则； （3）结合抛物线的对称轴可知点一定位于对称轴的右侧，则对称点为，要保证对称点为，结合对于时，都有列方程组即可． 【小问1详解】 解：， 抛物线的对称轴为， 【小问2详解】 由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， 令，得到或， ∴抛物线与轴的两个交点为， ， 若点中至少有一个点位于轴的上方 只需； 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为， ∴点一定位于对称轴的右侧， 它的对称点为， 又∵对于时，都有， ∴， 解得． 27. 如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接． （1）依题意补全图形； （2）猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 【答案】（1）图见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形中位线定理及三角函数的应用， （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，过M作于点H，先证明，再证明得出，证明得出，通过三角函数证明． 【小问1详解】 补全图形如下： 【小问2详解】 ， 证明：连接， 过M作于点H， 在中，，F为中点， ∴， 在中，，G为中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为中点，M为中点， ， ∵点G为中点，M为中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 28. 平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． （1）若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． （2）半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； （3）半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①② （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由点P为线段的中点得,根据锐角三角函数可求出，从而，进而可得答案； （2）根据题意，点与点重合，，当点B在y轴的正半轴时和，当点B在y轴的负半轴时两种情况求解即可； （3）依题意当，则点就是线段的中点，但是点是在圆上运动的，点只能是从中点的右侧的范围满足题意的根据中位线的性质可得中点始终在以 为圆心半径为的上运动，始终在线段 扫得区域，进而上下平移，与相切，即可求解． 【小问1详解】 如图， 由新定义知与相切， ∴. ∵点P为线段的中点， ∴, ∴, ∴, ∵与相交， ∴, ∴①②符合题意. 故答案为：①②； 【小问2详解】 如图，当点在轴的正半轴时， 线段与关于点关联， ， 当与相切与点时，连接，则 ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 当点与点重合时，， ； 当点在轴的负半轴时，如图， 同理可求. 综上可知，或 【小问3详解】 在上任取一点，在上任取一点，以为圆心，为半径作，过点分别作的切线， ∵要使线段与关于点关联， ∴ 即 ∴ 取 中点则点在线段上不包括端点 、. 随着 在 上运动取 中点 , ∴中点始终在以 为圆心,半径为的上运动， ∴始终在线段 扫得区域, ∴当与相切时, 如图所示，取点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵b过点, 代入解得： 当过点时, ∴. 【点睛】本题考查含的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$