指数函数和对数函数-2025年高考数学一轮复习

对数函数 对数函数(,)图像和性质 底数 图象 性质 定义域：，值域： 图象过定点 底数互为倒数的对数函数图像关于轴对称 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在上是增函数 在上是减函数 越大，函数的图像越靠近轴 越小，函数的图像越靠近轴 对数及运算公式 概念 如果(,)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作．其中a叫做对数的底数，N叫做真数， 对数式与指数式的互化：，对指恒等式： 1的对数是零： 底数的对数是1： 运算性质 ,且,, 换底公式 公式： 推广：；； 特殊 ； 类型一：对数与对数运算 例1已知，试用表示和. 例2设,,均为大于0的实数，且. (1)求证：； (2)比较,,的大小 【练习】设，，试用,表示出. 类型二：对数函数的定义与简单应用 例1 函数的定义域为____________ 例2已知函数的定义域为，则实数的取值范围为________ 已知函数的值域为，则实数的取值范围为________ 【练习】函数的值域为_________ 类型三：对数不等式 例1 函数的定义域为，则函数的定义域为______ 例2 若，则的取值范围是_________ 【练习】不等式的解集是________ 类型四：对数函数图像性质及应用 例1 使不等式，当时恒成立，则实数的取值范围为_____ 例2 关于的方程的两个根为,，则的最小值为_______ 【练习】若，则（ ） 类型五：对数型复合函数的单调性 例1 函数 的单调递增区间是 例2已知在上是严格减函数，则的取值范围为______ 【练习】设，且，函数在上单调递减，则（ ） 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递增，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 【组】基础巩固 1.设，若，则实数的取值范围是_______ 2.使成立的的取值范围是 3.关于的方程有正根，实数的取值范围是 4.若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是_______ 5.函数在区间上的最小值为 【组】强化训练 1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是 2.如图，已知函数图像上的两点,和函数上的点，线段平行于轴，三角形为正三角形时，点的坐标为，则________ 3.已知，且，函数在上是增函数，则的取值范围是( ) 或 或 【组】思维点睛 1.若函数，没有最小值，则的取值范围是______ 2.已知为常数，且，关于的方程的两个根为和，则 _______ 指数函数 指数函数(,)图像和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 底数互为倒数的指数函数图像关于轴对称 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 越大，函数的图像越靠近轴 越小，函数的图像越靠近轴 类型一：指数型函数的值域 例1 求函数，的值域 例2当时，不等式恒成立，则的取值范围是_______ 【练习】函数的值域为__________ 类型二：指数函数图像性质及应用 例1若且，函数与的图像有两个交点，则的取值范围是_________ 例2若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是 【练习】函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示形可以是（ ） a b O -4 4 a b O 4 -4 a b O 4 -4 a b O -4 4 A． B． C． D． 【组】基础巩固 1.函数图像必经过点________ 2.已知常数，函数的图像经过点、，若，则 3.已知，函数的最大值与最小值之差为_____ 4.若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是_____ 5.已知函数的定义域和值域都是，则 【组】强化训练 1.方程在区间上有解，则实数的取值范围是______ 2.若函数有最大值3，则________ 3.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【组】思维点睛 1.已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是 2.已知，若对任意实数均有，则的最小值为______ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 对数函数 对数函数(,)图像和性质 底数 图象 性质 定义域：，值域： 图象过定点 底数互为倒数的对数函数图像关于轴对称 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在上是增函数 在上是减函数 越大，函数的图像越靠近轴 越小，函数的图像越靠近轴 对数及运算公式 概念 如果(,)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作．其中a叫做对数的底数，N叫做真数， 对数式与指数式的互化：，对指恒等式： 1的对数是零： 底数的对数是1： 运算性质 ,且,, 换底公式 公式： 推广：；； 特殊 ； 类型一：对数与对数运算 例1已知，试用表示和. 【答案】 例2设,,均为大于0的实数，且. (1)求证：； (2)比较,,的大小 【答案】（1）令，则，，，则 ， ，所以 （2）， ，故，同理 【练习】设，，试用,表示出. 【答案】 类型二：对数函数的定义与简单应用 例1 函数的定义域为____________ 【答案】对数函数要同时考虑底数和真数，故，解得 例2已知函数的定义域为，则实数的取值范围为________ 已知函数的值域为，则实数的取值范围为________ 【答案】定义域为，即在上恒成立，故 值域为，即要保证能取到所有大于0的实数，故 或 【练习】函数的值域为_________ 【答案】，定义域为，故值域为 类型三：对数不等式 例1 函数的定义域为，则函数的定义域为______ 【答案】，，则函数的定义域为，所以令，解得 例2 若，则的取值范围是_________ 【答案】，①若，则；②若，则；综上所述： 【练习】不等式的解集是________ 【答案】等价为，换元令，得，解得或，又，故，即 类型四：对数函数图像性质及应用 例1 使不等式，当时恒成立，则实数的取值范围为_____ 【答案】从图像上看函数的图像在函数上方，若交点横坐标为时， ，故 例2 关于的方程的两个根为,，则的最小值为_______ 【答案】由图像知：，，故 所以，又，基本不等式可得，当且仅当 即，时取最小值 【练习】若，则（ ） 【答案】 类型五：对数型复合函数的单调性 例1 函数 的单调递增区间是 【答案】先考虑定义域，或，再根据复合函数“同增异减”原则，故单调递增区间是 例2已知在上是严格减函数，则的取值范围为______ 【答案】令，要满足在上是减函数，同时还要恒大于零 故，解得 【练习】设，且，函数在上单调递减，则（ ） 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递增，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 【答案】在上是单调递增，根据同增异减原则判断知：，故选 【组】基础巩固 1.设，若，则实数的取值范围是_______ 【答案】 2.使成立的的取值范围是 【答案】 3.关于的方程有正根，实数的取值范围是 【答案】当时，，令，， 4.若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是_______ 【答案】原问题等价于求在区间上的值域，令，耐克函数在上的值域为，然后函数在区间上的值域为 所以实数的取值范围是 5.函数在区间上的最小值为 【答案】由对数的换底公式可得：，此时 换元，令，，则，当时 取最小值 【组】强化训练 1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】值域为，即要保证能取到所有大于4的实数，故最低点，又 且，故实数的取值范围是 2.如图，已知函数图像上的两点,和函数上的点，线段平行于轴，三角形为正三角形时，点的坐标为，则________ 【答案】，则点的坐标为，代入解析式得：，解得，，则 3.已知，且，函数在上是增函数，则的取值范围是( ) 或 或 【答案】设，①若，图像如下：很显然满足上是增函数； ②若，则需满足 【组】思维点睛 1.若函数，没有最小值，则的取值范围是______ 【答案】若，二次函数没有最大值，故没有最小值；若，则二次函数的判别式需满足，解得，综上所述：的取值范围是或 2.已知为常数，且，关于的方程的两个根为和，则 _______ 【答案】， 由韦达定理，，所以， 指数函数 指数函数(,)图像和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 底数互为倒数的指数函数图像关于轴对称 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 越大，函数的图像越靠近轴 越小，函数的图像越靠近轴 类型一：指数型函数的值域 例1 求函数，的值域 【答案】换元法，令，，， 画分式函数图像，值域为 例2当时，不等式恒成立，则的取值范围是_______ 【答案】，原问题转化为 设，换元令，故，，所以，得 【练习】函数的值域为__________ 【答案】换元法，令，，函数，故，所以 类型二：指数函数图像性质及应用 例1若且，函数与的图像有两个交点，则的取值范围是_________ 【答案】若，图像如下，则，故；若，显然不满足 例2若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是 【答案】原问题等价为的图像与有交点，故 【练习】函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示形可以是（ ） a b O -4 4 a b O 4 -4 a b O 4 -4 a b O -4 4 A． B． C． D． 【答案】 【组】基础巩固 1.函数图像必经过点________ 【答案】 2.已知常数，函数的图像经过点、，若，则 【答案】6 3.已知，函数的最大值与最小值之差为_____ 【答案】换元令，，，则，，所以 4.若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是_____ 【答案】由指数函数图像性质知：，解得或 5.已知函数的定义域和值域都是，则 【答案】①若，则，无解；②若，则， 解得，故 【组】强化训练 1.方程在区间上有解，则实数的取值范围是______ 【答案】，原方程有解问题等价为求函数在的值域，因为单调递减，故，故 实数的取值范围是 2.若函数有最大值3，则________ 【答案】二次函数有最小值，当时， ，得 3.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】由图像知，且 故基本不等式，，但，所以 ，选 【组】思维点睛 1.已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是 【答案】由分析知：，①若，则，即，但其解集不可能为，排除，②若，则，即，根据韦达定理可得，因为，故可得 2.已知，若对任意实数均有，则的最小值为______ 【答案】由判断知：，且函数过点，故有，由基本不等式，当且仅当，即时取最小值 学科网（北京）股份有限公司 $$