复数的概念计算和几何意义-2025年高考数学一轮复习

复数 一、复数的有关概念 1、虚数单位：四次一循环 2、复数的代数形式：形如的数叫做复数，记为：。 叫做复数的实部，记为：； 叫做复数的虚部，记为：，注意：复数的虚部是一个实数。 注：虚数不能比较大小；能比较大小的复数是实数 3、， ， 则称、为共轭复数，记为：，或。注：实数的共轭复数就是本身，即 4、； 是纯虚数 5、复数的模： 二、复数的有关运算及性质 1、复数的四则运算：设，则 ①加减：； ②乘法：； ③除法：. 2、共轭复数的运算：①； ② ；　③； ④；⑤； ⑥； ⑦若为纯虚数；⑧. 3、模的运算： ① ； ②； ③； ④ ⑤（当时，）； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 4、幂的运算法则： ①对复数和自然数有； ②，；③； 三、复数的几何意义 1、复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数 一一对应的点是； 非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离. 2、复平面上的轨迹问题： ①两点间的距离公式：； ②线段的中垂线：； 四、复数方程 1、实系数一元二次方程： ①当时有两个实数根：； ②当时有一对共轭虚根： ； 2、无论还是，韦达定理都成立： 注意：（1）实系数一二次方程中，以下公式和定理适用： 求根公式；利用判别式判断根的情况与个数；韦达定理；共轭虚根定理（即虚根成对出现） （2）已知是一元二次方程的两根，则 ①若，则或 ②若，则或 类型一：复数的概念和四则运算 例1复数满足，且，则复数_______ 【答案】设，由，， 故，则，复数 例2设复数满足，则_____ 【答案】因为为实数，设复数，，则，解得，所求复数 【练习】已知复数使得，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 类型二：复数模长的运算 例1已知复数()，且，则的值为_____ 【答案】，所以 例2已知复数,满足，，则_______ 【答案】 ， 故 【练习】若虚数满足，则的取值范围是_______ 类型三：复数的几何意义 例1 将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是________ 【答案】设，则，则； ，所以 例2已知复数满足，则在复平面上对应的点组成图形的面积是______ 【答案】令，则，所以，即，所以在复平面上对应的点在以为圆心，半径为3的圆内，所以组成的图形面积为 【练习】如果复数满足，那么的最大值是______ 类型四：复数范围内解一元二次方程与韦达定理 例1已知是实系数方程的两个根，且满足，求实数的值． 【答案】， （1）当时，即时，是实根，∴，即； （2）当时，即时，是共轭虚根，设，则， ∴，由，得．从而． 综上，或． 例2关于的方程的两根为，且，求实数的值． 【答案】 （1）当时，即或时，是实根， ∴，解得或(舍) （2）当时，即时，是共轭虚根，，从而， 解得或(舍) 【练习】在复数范围内解方程. 【组】基础巩固 1.设是复数，从,,,,,,中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有___个元素 2.若复数在复平面内所对应的点位于一、三象限的角平分线上，则实数______ 3.已知复数所对应的向量为，把顺时针旋转得到向量，若对应一个纯虚数，则当取最小正角时，这个纯虚数为_______ 4.在复数范围内分解因式：______ 5.设复数(其中)，，，其中 （1）设，若，求出实数的值； （2）若复数满足条件：存在实数，使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数的模的取值范围. 6.已知,是一个实系数一元二次方程的两个根. (1)若，求这个一元二次方程； (2)是否存在这样的实数，使等式总不能成立？若存在，找出所有这样的，若不存在，请说明理由. 【组】强化训练 1.设两个复数集， ，若，则实数的取值范围为_______ 2.设,是非零复数，满足，则与的关系是（ ） 不确定 3.设复平面上三点所对应的复数分别是，若，则______ 【组】思维点睛 1.已知复数,，满足，，设，则在复平面内对应的点集组成的图形面积为_______ 2.已知关于的实系数方程：和的四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则取值范围是_______ $$沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春 复数 一、复数的有关概念 1、虚数单位：四次一循环 2、复数的代数形式：形如的数叫做复数，记为：。 叫做复数的实部，记为：； 叫做复数的虚部，记为：，注意：复数的虚部是一个实数。 注：虚数不能比较大小；能比较大小的复数是实数 3、， ， 则称、为共轭复数，记为：，或。注：实数的共轭复数就是本身，即 4、； 是纯虚数 5、复数的模： 二、复数的有关运算及性质 1、复数的四则运算：设，则 ①加减：； ②乘法：； ③除法：. 2、共轭复数的运算：①； ② ；　③； ④；⑤； ⑥； ⑦若为纯虚数；⑧. 3、模的运算： ① ； ②； ③； ④ ⑤（当时，）； 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 4、幂的运算法则： ①对复数和自然数有； ②，；③； 三、复数的几何意义 1、复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数 一一对应的点是； 非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离. 2、复平面上的轨迹问题： ①两点间的距离公式：； ②线段的中垂线：； 四、复数方程 1、实系数一元二次方程： ①当时有两个实数根：； ②当时有一对共轭虚根： ； 2、无论还是，韦达定理都成立： 注意：（1）实系数一二次方程中，以下公式和定理适用： 求根公式；利用判别式判断根的情况与个数；韦达定理；共轭虚根定理（即虚根成对出现） （2）已知是一元二次方程的两根，则 ①若，则或 ②若，则或 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 类型一：复数的概念和四则运算 例1复数满足，且，则复数_______ 【答案】设，由，， 故，则，复数 例2设复数满足，则_____ 【答案】因为为实数，设复数，，则，解得，所求复数 【练习】已知复数使得，，其中是虚数单位. （1）求复数的共轭复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）设，则， ，，又， 综上有，所以 （2）为实数，且 由题意得，解得，故实数的取值范围是 类型二：复数模长的运算 例1已知复数()，且，则的值为_____ 【答案】，所以 例2已知复数,满足，，则_______ 【答案】 天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物 ， 故 【练习】若虚数满足，则的取值范围是_______ 【答案】设()，由为虚数，故，则，若，则 ，则()，又()，故 类型三：复数的几何意义 例1 将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是________ 【答案】设，则，则； ，所以 例2已知复数满足，则在复平面上对应的点组成图形的面积是______ 【答案】令，则，所以，即，所以在复平面上对应的点在以为圆心，半径为3的圆内，所以组成的图形面积为 【练习】如果复数满足，那么的最大值是______ 【答案】 类型四：复数范围内解一元二次方程与韦达定理 例1已知是实系数方程的两个根，且满足，求实数的值． 【答案】， （1）当时，即时，是实根，∴，即； 穷则独善其身，达则兼济天下 （2）当时，即时，是共轭虚根，设，则， ∴，由，得．从而． 综上，或． 例2关于的方程的两根为，且，求实数的值． 【答案】 （1）当时，即或时，是实根， ∴，解得或(舍) （2）当时，即时，是共轭虚根，，从而， 解得或(舍) 【练习】在复数范围内解方程. 【答案】为实数时，；为虚数时，为实数，所以为纯虚数，设，代入方程解得 【组】基础巩固 1.设是复数，从,,,,,,中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有___个元素 【答案】，，所以最多有三个不同元素 2.若复数在复平面内所对应的点位于一、三象限的角平分线上，则实数______ 【答案】，所以 3.已知复数所对应的向量为，把顺时针旋转得到向量，若对应一个纯虚数，则当取最小正角时，这个纯虚数为_______ 【答案】 4.在复数范围内分解因式：______ 锲而舍之,朽木不折；锲而不舍,金石可镂 【答案】 5.设复数(其中)，，，其中 （1）设，若，求出实数的值； （2）若复数满足条件：存在实数，使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数的模的取值范围. 【答案】（1），，，因为，则有 ，解得 （2），，因为与互为共轭复数，则，得 ，；若，则，（不符合题意）；若，则 ，此时，故 6.已知,是一个实系数一元二次方程的两个根. (1)若，求这个一元二次方程； (2)是否存在这样的实数，使等式总不能成立？若存在，找出所有这样的，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)设，，故 ，所以，，， ，所以该一元二次方程为 (2) ，所以，所以时方程无解 非淡泊无以明志，非宁静无以致远 【组】强化训练 1.设两个复数集， ，若，则实数的取值范围为_______ 【答案】若，则有，得 ，因为，， ，故 2.设,是非零复数，满足，则与的关系是（ ） 不确定 【答案】由得，解得，所以，所以 3.设复平面上三点所对应的复数分别是，若，则______ 【答案】，同理， 老当益壮，宁移白首之心？穷且益坚，不坠青云之志 故，所以，很显然为直角三角形，其中为直角， 【组】思维点睛 1.已知复数,，满足，，设，则在复平面内对应的点集组成的图形面积为_______ 【答案】，则，再结合得，所求的图形为以为圆心，以，为半径的圆环 2.已知关于的实系数方程：和的四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则取值范围是________ 【答案】设的解所对应的两点分别为，解得，，设的解所对应的两点分别为，记为， （1）当，即时，因为关于轴对称，根据四边形对角互补可判定四点共圆； （2）当，即或，此时圆心， 半径，又，则 ； 综上所述：取值范围是或 沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春 $$