不等式的求解讲义-2025年沪教版暑假高三数学讲义

不等式的求解 类型一：解复合型不等式 方法：换元思想，将原不等式拆成两个不等式，先解外层，再解内层，对于幂、指、对、三角不等式需要借助函数的单调性辅助，换元时注意定义域，对于解对、指不等式时常会将常数化成对数式、指数式，如和 例1 不等式的解集是_______ 不等式的解集是________ 例2已知，则不等式的解为__________ 例3不等式的解集为________ 【练习】已知集合，，则__________ 类型二：掌握和理解解一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的思想和方法 方法：一元二次不等式：结合二次函数图像，看开口方向和根的分布 分式不等式：移项，转化，注意分母 绝对值不等式：分类讨论去绝对值 例1不等式的解集为，则不等式的解集为_________ 例2已知函数，(其中且)，若集合为函数的定义域，集合为不等式的解集． （1）求和； （2）如果，求实数的取值范围. 例3不等式的解集中的整数有且仅有，，，则的取值范围是_______ 【练习】1.已知，（），若是成立的必要非充分条件，则实数的取值范围是_________ 2.关于的不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围为________ 类型三：双绝对值型不等式 解双绝对值型不等式零点分段法，去绝对值思想，关于双绝对值型的最值可以利用三角不等式，或者画双绝对值函数图像，有最小值，有最大值 例1不等式的解集为________ 例2已知不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 例3已知不等式有解，则实数的取值范围是_________ 【练习】1.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_________ 2.设函数（），若不等式的解集为，则的值为________ 类型四：一元二次不等式恒成立 ①在上恒成立或(可以等价于二次函数在上的最小值大于) ②在上恒成立，思路1：等价于二次函数在上的最小值大于； 思路2：参变分离，转化成求新函数在上的最值问题 例1若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围为_________ 例2已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______ 例3已知不等式在上恒成立，则的取值范围为________ 【练习】1.的解集为，则的取值范围为 2.已知当，不等式恒成立，则的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 不等式 不等式的解集为________ 【答案】 类型一：解复合型不等式 方法：换元思想，将原不等式拆成两个不等式，先解外层，再解内层，对于幂、指、对、三角不等式需要借助函数的单调性辅助，换元时注意定义域，对于解对、指不等式时常会将常数化成对数式、指数式，如和 例1 不等式的解集是_______ 【答案】换元令，，所以 不等式的解集是________ 【答案】换元令，或，故或 例2已知，则不等式的解为__________ 【答案】换元令，则或，故或 例3不等式的解集为________ 【答案】因为，换元令，有 即，故 【练习】已知集合，，则__________ 【答案】，或，故 类型二：掌握和理解解一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的思想和方法 方法：一元二次不等式：结合二次函数图像，看开口方向和根的分布 分式不等式：移项，转化，注意分母 绝对值不等式：分类讨论去绝对值 例1不等式的解集为，则不等式的解集为_________ 【答案】由解集为判断知：，并且，故，所以解集为例2已知函数，(其中且)，若集合为函数的定义域，集合为不等式的解集． （1）求和； （2）如果，求实数的取值范围. 【答案】（1）；，分类讨论： 若，； 若， （2）当时，或，故； 当时，或，故；综上所述，实数的取值范围为 例3不等式的解集中的整数有且仅有，，，则的取值范围是_______ 【答案】，解集中的整数有且仅有，，，故要满足 ，则的取值范围是 【练习】1.已知，（），若是成立的必要非充分条件，则实数的取值范围是_________ 【答案】绝对值不等式， 一元二次不等式 是成立的必要非充分条件，则而，即，故有，得 2.关于的不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围为________ 【答案】； 解集为或；要想整数解的集合为，则 ，故 类型三：双绝对值型不等式 解双绝对值型不等式零点分段法，去绝对值思想，关于双绝对值型的最值可以利用三角不等式，或者画双绝对值函数图像，有最小值，有最大值 例1不等式的解集为________ 【答案】当时，不等式； 当时，不等式，故； 当时，不等式，故 综上：或 例2已知不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】，故 例3已知不等式有解，则实数的取值范围是_________ 【答案】方法一：，故 方法二：当时，； 当，； 当时，，分段函数图像如下： 由图像知：有解，则 【练习】1.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_________ 【练习】令，则，得或 2.设函数（），若不等式的解集为，则的值为________ 【答案】由图像特点知： 类型四：一元二次不等式恒成立 ①在上恒成立或(可以等价于二次函数在上的最小值大于) ②在上恒成立，思路1：等价于二次函数在上的最小值大于； 思路2：参变分离，转化成求新函数在上的最值问题 例1若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围为_________ 【答案】①若，满足题意；②，综上： 例2已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______ 【答案】只要二次函数在上的最大值即可，的最大值必然在和处取，故或 例3已知不等式在上恒成立，则的取值范围为________ 【答案】①若，满足题意；②时，参变分离 故；综上： 【练习】1.的解集为，则的取值范围为 【答案】时，不符合题意；时， 2.已知当，不等式恒成立，则的取值范围为 【答案】①当时，不符合题意；②当时，，得 或者， 故 学科网（北京）股份有限公司 $$