精品解析：上海市进才中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

进才中学高一月考数学试卷 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的最小正周期为________ 【答案】 【解析】 【分析】由的最小正周期为，根据图象变换的原则，即可得到函数的最小正周期. 【详解】函数的最小正周期即函数的最小正周期， 所以所求最小正周期为． 故答案为：. 2. 若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的几何意义求得，从而得到，然后运用复数四则运算法则即可解得，最后求得. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 3. 若角满足，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及即可求解. 【详解】 故答案为： 4. 已知数列是等差数列，其公差为d，前n项和为，若，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式及下标和性质可求得，进而根据等差数列定义求公差. 【详解】∵，即， ，，， 又，则， 故答案为：. 5. 若向量、满足，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据模长结合数量积的运算律可得，即可得结果. 【详解】因为，即，解得， 所以，. 故答案为：. 6. 设，若与的等差中项是2，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为与的等差中项是2，可得， 即，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 7. 一个弹性小球从30米高处自由落下，每次着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，若这个小球能无限次反弹，则这个小球经过的总路程为________米 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知小球经过的总路程，利用等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由题意可知这个小球经过的总路程为 ， 因为这个小球能无限次反弹， 所以当趋于正无穷时，趋近于， 所以趋近于. 故答案为：. 8. 若角满足，且，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角恒等变换的公式，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由， ， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为： 9. 已知在中，点O是的外心，若，，，则的面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】取的中点分别为，得到和，根据题意，求得，再由，求得，得到，利用面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点分别为，连接， 因为为的外心，可得， 则，可得，同理可得 又由，可得，即 又因为，所以，可得， 因为，可得，解得，所以， 所以的面积为. 故答案为：. 10. 设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】化简函数，根据题意得到不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为，可得， 又因为的最小值为0，即的最小值为， 所以，解得，即实数的最大值为. 故答案为：. 11. 设向量集合．若对于任意、以及任意，都有，则称集合S是“凸集”．现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②集合是“凸集”； ③若集合、都“凸集”，则也是“凸集”； ④若集合、都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确命题的序号是________ 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据题目中“凸集”的定义，结合元素与集合关系及集合的运算，证明命题的正确性；利用举反例的方法，证明命题的错误，可得答案. 【详解】对于① 令，易知， ，所以①正确； 对于② 令，易知， 所以，②错误； 对于③ 可举反例，若，， 易得、都是“凸集”，而不是“凸集”，所以③错误； 对于④，若、都是“凸集”，则对于任意、，任意， 则，且， 故，故也是“凸集”，故④正确； 故答案为：①④ 12. 设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为________ 【答案】 【解析】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 且，则，，， 记的两零点为、， 因为，不妨设， 当时，则，解得，， 可知在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为， 因为，则； 当，则，， 可知在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知为复数，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则为实数 D. 若，则为纯虚数 【答案】D 【解析】 【分析】设复数，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】设复数，可得， 对于A中，由，可得，即且， 可得，所以复数为纯虚数，所以A正确； 对于B中，由，可得，则，且， 所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，可得，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得， 即且，可得且， 当时，可得，所以D不正确. 故选：D. 14. 已知数列是等比数列，其公比为q，前n项和为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前n项和公式即可得出选项. 【详解】充分性：当时，，所以“”是“”的充分条件； 必要性：当时，若，成立； 若，，解得， 所以，当时，或，因此“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 15. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 16. 已知单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造向量并作出图形，利用向量的相等的坐标关系及夹角的定义，结合锐角三角函数的定义及基本不等式，最后利用向量的减法的坐标表示及向量的模公式即可求解. 【详解】依题意，设，，， 因为，所以，则，故， 因为， 所以，即，所以， 不妨设，则向量如图所示， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 易知，在上单调递增， 所以当取到最大值时，取得最大值，此时， 所以, 故此时. 故选：A. 三．解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 设，关于x的一元二次方程的两根为、． （1）若、为虚数，满足且，求和m的值； （2）若，求m的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设两虚根分别为，其中，因为，求得，得到，进而求得的值； （2）根据题意，分两个实根和两个虚根，两种情况讨论，利用韦达定理和虚根的性质，结合，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：关于的实系数一元二次方程的两个虚根为､，可得，解得， 因为，可设两虚根分别为，其中， 又因为，可得，解得， 即，， 所以. 【小问2详解】 由关于的实系数一元二次方程的两根为､， （ⅰ）若方程有两个实根､，则，可得，且， ①若，可知，则，不合题意； ②若，则异号，则，解得； （ⅱ）若方程有两个虚根，则，可得， 设为，不妨设，则，可得，解得， 即，所以； 综上可得，实数的值为或. 18. 已知公比大于1等比数列满足，且、、成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记为在区间（m为正整数）中的项的个数，求数列的前30项和． 【答案】（1） （2）94 【解析】 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式. （2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前30项和. 【小问1详解】 令公比大于1的等比数列的公比为q，由题意得 解得，所以； 【小问2详解】 由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 19. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中点G、M分别在AB和AD上，点H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，． （1）当时，求健身室的面积；（精确到0.1平方米） （2）求健身室的面积的最大值，并指出此时点H的位置． 【答案】（1） （2），点或点 【解析】 【分析】（1）延长交于，通过解直角三角形，就可以求出矩形的面积； （2）通过令，则，，再化简面积关于的函数，就可以得到二次函数求出最大值． 【小问1详解】 延长交于，当时，则，， ， ， ∴. 【小问2详解】 又由，， ， 其中； 令，因为，所以， 则， ， 根据二次函数的性质可知：当，即时，取得最大值500， 此时有，又，或， 即， ∴当点在的端点或处时，该健身室的面积最大，最大面积为． 20. 如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． （1）设，将用、、表示； （2）设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】（1） （2）是定值， （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可； （2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）可知，又，， 所以， 因为点是重心， 所以， 而，不共线，所以，解得， 所以； 【小问3详解】 ， 由（2）知， 所以， 由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线， 所以，，则， 设，则，， 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 当时，即，，有最小值，最小值为， 时，即，，，当时，即，，， 所以的最大值为， 所以. 21. 若定义在的函数满足：对于给定的，存在，使得成立，则称具有性质． （1）函数，是否具有性质，请说明理由； （2）已知函数具有性质，求T的最大值； （3）已知函数的定义域为，满足，且的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数具有性质?若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不具有，理由见详解 （2） （3）存在正整数n，n的取值集合是 【解析】 【分析】（1）根据题意结合正弦函数单调性分析判断； （2）先根据题意可知可取到，再证明当时不成立； （3）构建函数设，分析可知，分析讨论中是否有一个为0，结合题意分析说明. 【小问1详解】 函数，不具有性质，证明如下： 对任何，均有， 因为函数在上单调递增， 则， 所以函数函数，不具有性质. 【小问2详解】 最大值为．求解如下： 因为， 可知在上有解， 所以具有性质，从而可取到； 下证：不可能出现． 当时，；当时，； 可知对任意恒成立， 同理可得：对任意恒成立， 假设，当时， ①若，则，且， 所以，即； ②若，则， 又因为，且，则 ， 可得； 若，当时，均有，即恒不成立， 综上所述：的最大值为. 【小问3详解】 任取，设，则有： ， 以上各式相加得， 即， 若中有一个为0， 不妨设为，即， 可得， 故函数具有性质； 若均不为0，因为其和为0，所以必然存在正数与负数， 不妨设， 由于的图象也是连续不断的曲线，可知至少存在一个，使得， 即，即， 所以函数具有性质； 综上所述：存在正整数n，且n的取值集合是． 【点睛】方法点睛：做这类信息迁移题，一是要按照给定的定义，把已知的函数代入进去进行尝试，二是要注意函数的值域和定义域要满足条件，三是要考虑函数的性质（特别是单调性奇偶性等），四是合理构造新函数或者新等量关系转化问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 进才中学高一月考数学试卷 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数的最小正周期为________ 2. 若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为________ 3. 若角满足，则________ 4. 已知数列是等差数列，其公差为d，前n项和为，若，，则________ 5. 若向量、满足，，，则________ 6. 设，若与的等差中项是2，则的最小值为________ 7. 一个弹性小球从30米高处自由落下，每次着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，若这个小球能无限次反弹，则这个小球经过的总路程为________米 8. 若角满足，且，则________ 9. 已知在中，点O是的外心，若，，，则的面积为________ 10. 设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为________ 11. 设向量集合．若对于任意、以及任意，都有，则称集合S是“凸集”．现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②集合是“凸集”； ③若集合、都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若集合、都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确命题的序号是________ 12. 设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为________ 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知为复数，则下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则 C. 若，则为实数 D. 若，则为纯虚数 14. 已知数列是等比数列，其公比为q，前n项和为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（ ） A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 非直角三角形，也非等腰三角形 16. 已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 设，关于x的一元二次方程的两根为、． （1）若、为虚数，满足且，求和m值； （2）若，求m值． 18. 已知公比大于1的等比数列满足，且、、成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记为在区间（m为正整数）中的项的个数，求数列的前30项和． 19. 某体育馆拟用运动场边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中点G、M分别在AB和AD上，点H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，． （1）当时，求健身室的面积；（精确到0.1平方米） （2）求健身室的面积的最大值，并指出此时点H的位置． 20. 如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． （1）设，将用、、表示； （2）设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围． 21. 若定义在的函数满足：对于给定的，存在，使得成立，则称具有性质． （1）函数，否具有性质，请说明理由； （2）已知函数具有性质，求T最大值； （3）已知函数的定义域为，满足，且的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数具有性质?若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$