第05讲 解一元二次方程（12考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第05讲 解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.灵活运用合适的方法解一元二次方程； 2.运用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 一、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1. 形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2. 形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 二、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1. 对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 三、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 四、用因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 五.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 【考点一 用直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）已知关于一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．或 变式1-1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）将一元二次方程转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A． B． C． D． 变式1-2．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 变式1-3．（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【考点二 用配方法解一元二次方程】 例2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（2023·北京石景山·一模）用配方法解方程时，正确的是（　　） A． B．原方程无解 C． D．原方程无解 变式2-2．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 变式2-3．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 【考点三 用公式法解一元二次方程】 例3．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 变式3-1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 变式3-3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：．    解：方程化为． ，． ． 方程 实数根． ， 即 ，． 【考点四 用因式分解法解一元二次方程】 例4．（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式4-1．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式4-2．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）用因式分解法解下列方程，正确的是（    ） A．，所以或 B．，所以或 C．，所以或 D．，所以 变式4-3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ． 【考点五 用指定的方法解一元二次方程 】 例5．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 变式5-1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）按要求解下列方程 (1)；（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 【考点六 选用合适的方法解一元二次方程】 例6．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 变式6-1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 变式6-2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点七 用换元法解一元二次方程】 例7．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 变式7-1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 变式7-2．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【考点七 配方法的应用】 例8．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 变式8-1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【考点九 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 例9．（23-24九年级上·河南郑州·期末）方程解的情况为（      ） A．没有实数根 B．有两个相同的实数根 C．有两个不同的实数根 D．只有一个实数根 变式9-1．（23-24九年级上·河南商丘·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 变式9-2．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 变式9-3（2023·山东青岛·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 【考点十 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 例10．（2023·贵州·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 变式10-1．（2023·云南临沧·三模）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 变式10-2．（2023·山东滨州·模拟预测）关于的一元二次方程的实数根情况为 ． 变式10-3．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）试判断关于的方程根的情况． 【考点十一 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 例11．（23-24九年级上·云南保山·期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 变式11-1．（2023·河南三门峡·模拟预测）若关于x的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 变式11-2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 变式11-3．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【考点十二 应用根的判别式证明方程根的情况】 例12．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程， (1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式； (2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 变式12-1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程必有两个实数根； (2)若方程的一个根为，求的值及方程另一个根． 1．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·河南濮阳·模拟预测）已知关于的一元二次方程，有下列四个命题： 甲：； 乙：当时，该方程没有实数根； 丙：是该方程的一个根； 丁：当时，该方程有两个相等的实数根． 其中是假命题的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2023·河南平顶山·模拟预测）实数在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．（2023·辽宁大连·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．（2023·河南南阳·一模）定义运算：．例如，．若方程有两个不相等的实数根，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）关于一元二次方程中有两个相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（20-21九年级上·湖南岳阳·期末）配方正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·河南郑州·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·山东临沂·一模）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 二、填空题 10．（2023·四川巴中·模拟预测）关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 11．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 12．（17-18九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 13．（2023·云南昭通·二模）方程的解为 三、解答题 14．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 15．（2023·贵州遵义·三模）（1）计算：； （2）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 ①小颖解方程的方法为　 　；（填字母） A．直接开平方法  B．因式分解法   C．配方法   D．公式法 ②解方程过程中，第二步变形的依据是　 　； ③请你用“公式法”解该方程． 16．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程一个根为2，求k的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解一元二次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.灵活运用合适的方法解一元二次方程； 2.运用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 一、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1. 形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2. 形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 二、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1. 对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 三、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 四、用因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 五.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 【考点一 用直接开平方法解一元二次方程】 例1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）已知关于一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，运用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解： ∴或 故选：D 变式1-1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）将一元二次方程转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程之直接开平方法，根据解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 或， 故选：A． 变式1-2．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 变式1-3．（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点二 用配方法解一元二次方程】 例2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 变式2-1．（2023·北京石景山·一模）用配方法解方程时，正确的是（　　） A． B．原方程无解 C． D．原方程无解 【答案】B 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴原方程无解． 故选：B． 变式2-2．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 【答案】6 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】解： 移项，可得 配方，可得，即 ∴n的值是6， 故答案为：6． 变式2-3．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 开方，得 ， 解得，． 【考点三 用公式法解一元二次方程】 例3．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解． 【详解】解：，即 ∴， 故选：B． 变式3-1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，解决本题的关键是掌握公式． 【详解】解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 变式3-2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，牢记求根公式：，利用求根公式可直接求解c的值． 【详解】解：已知一元二次方程； 直接利用公式法可得：； 因为其中一个根为； 可得，，； 即，； ∴； 故选：B． 变式3-3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解一元二次方程：．    解：方程化为． ，． ． 方程 实数根． ， 即 ，． 【答案】 有两个不相等的 2 【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即． 【详解】解：方程化为． ，，． ． 方程有两个不相等的实数根． ， 即2，． 故答案为：；；有两个不相等的；；；2． 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键． 【考点四 用因式分解法解一元二次方程】 例4．（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 或， ，， 故选：B． 变式4-1．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，确定出矩形的长和宽，代入周长和面积公式计算即可求解，掌握了解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵矩形的长和宽恰好是方程的两个根， ∴矩形的长为，宽为， ∴矩形的周长为，面积为， 故选：． 变式4-2．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）用因式分解法解下列方程，正确的是（    ） A．，所以或 B．，所以或 C．，所以或 D．，所以 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. ，化为一般形式，， ∴ ∴ ∴ ∴或 不能得出或，故该选项不正确，不符合题意； B. ，所以或，故该选项正确，符合题意； C. ，化为一般形式，， ∴ ∴或， 不能得出或，故该选项不正确，不符合题意； D. ，所以或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 变式4-3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，先解方程得出，，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 菱形一条对角线长为6， 菱形的边长为， 菱形的另一条对角线为， 菱形的面积为， 故答案为：． 【考点五 用指定的方法解一元二次方程 】 例5．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）本题考查了解一元二次方程配方法，先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）本题考查了解一元二次方程公式法，先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）本题考查了解一元二次方程因式分解法，先移项得到，再化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ，； （3）解： 有，，， ， ， ，； （4）解：（）， 或， ，． 变式5-1．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）按要求解下列方程 (1)；（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程； （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴， 解得： （2）解：， ∵，， ∴ 解得： （3）解： ∴ ∴ 即或 解得： 【考点六 选用合适的方法解一元二次方程】 例6．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解； （3）用公式法求解； （4）用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ∴原方程的根为：； （2）解： 或 解得：或 ∴原方程的根为：； （3）解： ， 原方程的根为：； （4）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：． 变式6-1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）公式法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可； （3）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴； （3） ∴ ∴， ∴， ∴． 变式6-2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】（1） 利用公式法求解即可． （2）利用公式法求解即可． （3） 利用因式分解法法求解即可． （4） 利用因式分解法法求解即可．本题考查了因式分解法和公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）∵, 在这里， ∴， 解得，． （2）∵, ∴ 在这里， ∴， 解得，． （3）∵， ∴ ∴， 解得． （4）∵, ∴， ∴， 解得． 【考点七 用换元法解一元二次方程】 例7．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 变式7-1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 变式7-2．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法， （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， 解得：，（不合题意，舍去）， 则，． （2）设，则 ， ， 当时，，，， 当时，，无解． 故方程的解为，． 【考点七 配方法的应用】 例8．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)山羊活动范围面积S的最大值是平方米 【分析】此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）根据列出代数式即可； （3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）依题意得：， ∴， ∴； （3） 又因为，， ∴， ∴， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 变式8-1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 【考点九 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 例9．（23-24九年级上·河南郑州·期末）方程解的情况为（      ） A．没有实数根 B．有两个相同的实数根 C．有两个不同的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式的范围进行解答即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴方程没有实数根， 故选：A 变式9-1．（23-24九年级上·河南商丘·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，将方程化为一般形式，再根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解： 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 变式9-2．（23-24九年级上·天津宁河·期中）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，直接根的判别式对四个选项逐一进行判断． 【详解】解：A、中，，故方程有两个不相等的实数根； B、中，，故方程有两个不相等的实数根； C、变形为，则，故方程有两个不相等的实数根； D、中，，故方程无实数根． 故选：D． 变式9-3（2023·山东青岛·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“当，一元二次方程有两个不相等的实根，当，一元二次方程有两个相等的实根，当，一元二次方程没有实数根”是解本题的关键．利用根的判别式逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A．， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴方程没有实数根，选项B不符合题意； C．， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意； D．原方程化为一般形式为． ∵， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，选项D符合题意． 故选：D． 【考点十 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 例10．（2023·贵州·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此进行计算即可得出答案． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴，即， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 变式10-1．（2023·云南临沧·三模）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，三角形三边关系的应用，先求出，再由三角形三边的关系得到，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，则， ∵， ∴， ∴原方程没有实数根， 故选A． 变式10-2．（2023·山东滨州·模拟预测）关于的一元二次方程的实数根情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 变式10-3．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）试判断关于的方程根的情况． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵ ∴关于x的方程有两个不相等的实数根 【考点十一 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 例11．（23-24九年级上·云南保山·期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 变式11-1．（2023·河南三门峡·模拟预测）若关于x的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组是解题的关键． 利用二次项系数为非零数及根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：且． 故选：D． 变式11-2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，根据根的判别式即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式11-3．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根，得出，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【考点十二 应用根的判别式证明方程根的情况】 例12．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程， (1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式； (2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的判别式，正确求出一般形式和根的判别式是解题的关键． （1）把方程右边的项移项到左边，即可得到答案； （2）列出方程根的判别式，根据判别式的范围即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即关于x的一元二次方程的一般形式为； （2）对于来说， ， ∵， ∴， ∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根 变式12-1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程必有两个实数根； (2)若方程的一个根为，求的值及方程另一个根． 【答案】(1)见解析； (2)，另一个根． 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式： （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论k取何值，方程必有两个实数根； （2）将代入原方程可求出k值，再根据两根之和等于可求出方程另一个根． 【详解】（1）证明：． ∵， ∴， ∴不论k取何值，方程必有两个实数根； （2）解：将代入原方程得， 解得：， ∴方程的另一个根为． 答：k的值为2，方程的另一个根为． 1．（2023·吉林长春·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，且，解出a的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得，且， ∵， 故选：A． 2．（2023·河南濮阳·模拟预测）已知关于的一元二次方程，有下列四个命题： 甲：； 乙：当时，该方程没有实数根； 丙：是该方程的一个根； 丁：当时，该方程有两个相等的实数根． 其中是假命题的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的知识，解题的关键是了解有关的性质．利用一元二次方程的定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：∵，∴，故甲说法正确，是真命题，不符合题意； 当时，原方程为，，该方程没有实数根，乙说法正确，是真命题，不符合题意； 当时，原方程的左边，右边，所以不是原方程的根，故丙说法错误，是假命题，符合题意； 当时，原方程为，，该方程有两个相等的实数根，乙说法正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 3．（2023·河南平顶山·模拟预测）实数在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是根据数轴上m的值，来确定判别式的大；根据一元二次方程的根的判别式，并且结合数轴上m的大小，确定出判别式的大小，即可判断出方程的根的情况 ． 【详解】解：， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 4．（2023·辽宁大连·模拟预测）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先求出△的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：C 5．（2023·河南南阳·一模）定义运算：．例如，．若方程有两个不相等的实数根，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式的意义，根据新定义得出，根据方程有两个不相等的实数根，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 即 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得： 故选：A． 6．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）关于一元二次方程中有两个相等的实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式直接进行排除选项即可． 【详解】解：A、由可得：，所以方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； B、由可得：，所以方程有两个相等的实数根，故符合题意； C、由可得：，所以方程无实数根，故不符合题意； D、由可得：，所以方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选：B． 7．（20-21九年级上·湖南岳阳·期末）配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，再将二次项系数化为1，最后两边加上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解：方程移项得：， 方程两边除以3得： ， 配方得： ，即， 故选：D． 8．（2023·河南郑州·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，求出两不等式的公共部分得到的取值范围，然后确定满足条件的最大整数的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 即的取值范围为且． 所以满足条件的最大整数的值为． 故选：B． 9．（2023·山东临沂·一模）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 二、填空题 10．（2023·四川巴中·模拟预测）关于的方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式，解答即可． 【详解】解：方程没有实数根， ，即， 解得或； 故答案为：． 11．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得， ①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形， 所以该等腰三角形的周长为， 故答案为：16． 12．（17-18九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 13．（2023·云南昭通·二模）方程的解为 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 三、解答题 14．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项后直接开平方即可求解； （2）直接因式分解法即可求解； （3）直接因式分解法即可求解； （4）移项后，利用平方差公式进行分解因式即可求解； 【详解】（1）解： ， 移项得， 由此可得，． （2）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （3）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （4）解： 移项得 ， 分解因式得 ， 整理得 ， 由此可得 ，． 15．（2023·贵州遵义·三模）（1）计算：； （2）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 ①小颖解方程的方法为　 　；（填字母） A．直接开平方法  B．因式分解法   C．配方法   D．公式法 ②解方程过程中，第二步变形的依据是　 　； ③请你用“公式法”解该方程． 【答案】（1）1；（2）①C；②等式的基本性质；③ 【详解】解：（1）原式 ； （2）①小颖解方程的方法为配方法， 故选C； ②解方程过程中，第二步变形的依据是等式的基本性质； ③∵， ∴， 则， 即． 故答案为：C；等式的基本性质． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的意义，二次根式的加减，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 16．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程一个根为2，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)，或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式判定根的情况，一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一根为α，根据根与系数的关系列方程组，消去a，得到k的一元二次方程，解方程即得． 【详解】（1）解：∵， 故方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的另一根为a， 则， ∴， ∴， ∴，或， 解得，，或． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$