第04讲 一元二次方程 实践与探索-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第04讲 实践与探索 思维导图 知识点1 一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系。等量关系往往体现在关键词句中。 2.设未知数：设未知数，一种是直接设元法，另一种是间接设元法。有单位的要带单位。 3.列方程：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程。方程两边单位要统一。 4.解方程：根据方程的特点，选择适当的解法求出未知数的值。一般不必写出解方程的过程。 5.检验：检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。一般两个根中只有一个符合实际意义。 6.作答：写出实际问题的答案。注意带上单位且语句完整。 知识点2 一元二次方程解应用题的常见题型及等量关系 1.几何图形面积问题：涉及的常见计算有三角形的三边关系、勾股定理、各种规则图形的面积或周长等。 2.平均增长率（降低率）问题：需要掌握平均增长率公式和平均降低率公式。 3.商品销售问题：需要理解利润、售价、进价、利润率等概念，以及它们之间的关系，如利润等于售价减进价，利润率等于利润除以进价，总利润等于总售价减总成本或单件利润乘总销量。 4.数字问题：涉及两位数和三位数的表示方法，以及数字之间的运算关系。 5.传播问题、循环问题、存款利息问题等：这些问题也需要根据题意找出等量关系，并列出一元二次方程进行求解。 教材习题01 有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ （1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 教材习题02 小刘开了一家奶茶店，八月份盈利元，十月份盈利元，且从八月到十月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)按照这个增长率，请你预计这家奶茶店今年十一月的利润将达到多少元． （1）解：设每月盈利的平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：每月盈利的平均增长率为． （2）元． 答：预计今年十一月份的盈利将达到元． 教材习题03 要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）. (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为的长方形围栏?如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． （1）解：设与墙相垂直的一边长为米，则另一边的长为米， ， 解得：或 ∵当时， ，故舍去； ∴，即长为 ∴围栏的宽为 ∴围栏的宽为米，长为：米； （2）设与墙相垂直的一边长为米，则另一边的长为米， ， 解得： ∵当时，，故舍去； 则即长方形的长为 ∴长方形的宽为 围栏的宽为米，长为：米 教材习题04 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 解：设个位上的数为，则十位上的数为， 依题意，得 整理得： 解得：，（舍去） 所以，，． 答：这个两位数是81． 教材习题05 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ （1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 考点一、一元二次方程的应用——传播问题 1．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 2．若有一个人患了某传染病，经过两轮传染后共有25个人患了该传染病，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据一共有25人被传染得出方程，求出解即可. 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意，得 ， 解得. 所以每轮传染中平均一个人传染4个人. 故答案为：4. 3．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 考点二、一元二次方程的应用——循环问题 1．2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加比赛的队伍共有x支，则每支队伍都要与其他支队伍比赛一场，且相同两支队伍之间的比赛只算一场，据此建立方程求解即可． 【详解】解；设参加比赛的队伍共有x支， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴参加比赛的队伍共有12支， 故选：C． 2．某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球队要和除自己以外的个球队进行次比赛，所以个球队进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排 21场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得：， 解方程可得：（舍去）， 答：应邀请7个球队参加比赛． 故答案为：7． 3．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 考点三、一元二次方程的应用——数字问题 1．已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 2．已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据“一个数x与比它大2的数的积等于35”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 3．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是12或21 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是12或21， 答：原来的两位数是12或21． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点四、一元二次方程的应用——增长率问题 1．据国家文旅部统计，月日全国旅游收入为亿元，月日、月日和月日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据“月日、月日和月日的全国旅游收入之和为亿元”，列出一元二次方程即可． 【详解】解：解：设全国旅游收入日平均增长率为，由题意得： ， 故选：D． 2．目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均增长率为，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年全市机器人台数年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设这两年全市机器人台数年平均增长率为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 3．某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】(1)平均每次降价的百分率为 (2)售货员的方案对顾客更优惠，理由见解析 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设平均每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， ∴平均每次降价的百分率为； （2）解：售货员的方案对顾客更优惠，理由如下： ， ∴售货员的方案对顾客更优惠． 考点五、一元二次方程的应用——图形问题 1．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长为，则的长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设长为，则的长为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴长为， 故选：B． 2．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 故答案为： 3．现有一块长为30米，宽为20米的矩形空地，建成矩形花园，要求在花园内修建如图所示的小路，小路的宽度相同，剩余的部分种植花草．如图，要使小路的总面积为96平方米，设小路宽度为米． (1)所有路的总面积为___________（用含的代数式表示）； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形面积，因式分解法解一元二次方程，掌握以上知识是关键． （1）水平方向小路面积为，竖直方向小路面积为，由此即可求解； （2）根据题意列式得，用因式分解法求一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：水平方向小路面积为，竖直方向小路面积为， 故所有路的总面积为：． （2）解：由题意：， 化简得：， 解得：， 经检验：不符合题意，舍去． 故：． 考点六、一元二次方程的应用——销售问题 1．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元，依题意得：， 解得：． ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 2．个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 【答案】(1) (2)售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式． （1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可； （2）根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为斤， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 当时，售价为元，元，，符合题意； 当时，售价为元，元，，不符合题意； ∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元． 3．某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可； （2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：平均下降率为． （2）设单价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：单价应降低元． 考点七、一元二次方程的应用——几何动点问题 1．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 2．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 3．如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)当与的边平行时，或或或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据题意表示出，即可求解； （2）分当落在上时，当在上时，得出四边形是矩形，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）同（2）分两种情况讨论，根据题意得出或；或，建立方程解方程，即可求解； （4）根据题意，分四种情况讨论，找到等量关系，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∴ ∵在上的速度为每秒1个单位， ∴重合时， ∵在上的速度变为每秒个单位， ∴ 故答案为：． （2）解：如图所示，当落在上时， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴，则 ∴ 解得： 如图， 当在上时， 同理可得四边形是矩形，，则 ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，当点落在的边上时，或 （3）解：如图所示，当在上时，设，交于点，此时 在中，，，则 ∴ ∵，则 ∴ ∴， 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去） 如图，当在上时，设，交于点，此时 在中， ∴， 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 依题意或 ∴ 解得：或（舍去） 或 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 （4）解：如图所示，当在上时，设，交于点，交于点，连接，此时 当时， ∴ ∴，则 由（3）可得， ∴ ∵，则 在中，，则 ∴ ∴ ∴ 解得： 如图所示， 时，在上时，此时 延长交于点， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时 延长交于点， 同理可得，即 ∵， ∴ 解得： 如图，当时，在上时，此时，设交于点，交于点， ∵， ∴ 依题意，， ∴， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， 又∵ ∴ 解得： 综上所述，当与的边平行时，或或或． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 知识导图记忆 1．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为， 根据题意，得；， 故选：B． 2．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得 ， 故选：A． 3．在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：D． 4．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选：A． 5．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 6．青山村种的水稻2023年平均每公顷产，2025年水稻平均每公顷产的产量是，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据平均数增长率要求直接列式即可作答．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出2025年的产量是，然后得出方程． 【详解】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 根据题意，直接列方程为：， 故答案为：． 7．学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场．赛程计划安排4天，每天安排9场比赛，问共有多少个队参赛？设共有个队参赛，根据题意可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（其他问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 由题意可知，每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此即可列出方程． 【详解】解：设共有个队参赛， 参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 共进行比赛场， ， 故答案为：． 8．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：1． 9．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 10．定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元二次方程组. 先计算得到，，再分三种情况讨论即可. 【详解】解：，． ①如图1，设，则， 可得方程组， 解得（不成立）或（不成立）． ②如图2，设，则， ∵， ∴，即， 可得方程组， 无解； ③如图3，设，则， ∵， ∴，即. 可得方程组 解得或（不成立）． ， ∴； 综上所述，的长为． 故答案为：. 11．宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为． 12．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】(1)捐款增长率为 (2)第四天该单位能收到元捐款 【分析】（1）设捐款增长率为x，根据“第一天收到捐款元，第三天收到捐款元，第二天、第三天收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案； （2）用第三天收到的捐款乘以即可得到答案． 【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得， ， 解得，（不合题意，舍去）； 答：捐款增长率为. （2）第四天收到捐款为： （元）， 答：第四天该单位能收到元捐款． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 13．如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 【答案】应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形长为，宽为，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，设矩形长为，宽为． 根据题意得， 整理得， 解得：(舍去)，， ∴，． 答：应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 14．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元. （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， . 答：售价应降低20元. 15．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实践与探索 思维导图 知识点1 一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审题：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系。等量关系往往体现在关键词句中。 2.设未知数：设未知数，一种是直接设元法，另一种是间接设元法。有单位的要带单位。 3.列方程：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程。方程两边单位要统一。 4.解方程：根据方程的特点，选择适当的解法求出未知数的值。一般不必写出解方程的过程。 5.检验：检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。一般两个根中只有一个符合实际意义。 6.作答：写出实际问题的答案。注意带上单位且语句完整。 知识点2 一元二次方程解应用题的常见题型及等量关系 1.几何图形面积问题：涉及的常见计算有三角形的三边关系、勾股定理、各种规则图形的面积或周长等。 2.平均增长率（降低率）问题：需要掌握平均增长率公式和平均降低率公式。 3.商品销售问题：需要理解利润、售价、进价、利润率等概念，以及它们之间的关系，如利润等于售价减进价，利润率等于利润除以进价，总利润等于总售价减总成本或单件利润乘总销量。 4.数字问题：涉及两位数和三位数的表示方法，以及数字之间的运算关系。 5.传播问题、循环问题、存款利息问题等：这些问题也需要根据题意找出等量关系，并列出一元二次方程进行求解。 教材习题01 有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 教材习题02 小刘开了一家奶茶店，八月份盈利元，十月份盈利元，且从八月到十月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率； (2)按照这个增长率，请你预计这家奶茶店今年十一月的利润将达到多少元． 教材习题03 要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）. (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为的长方形围栏?如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． 教材习题04 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数． 教材习题05 第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 考点一、一元二次方程的应用——传播问题 1．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 2．若有一个人患了某传染病，经过两轮传染后共有25个人患了该传染病，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 3．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 考点二、一元二次方程的应用——循环问题 1．2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 2．某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请 个球队参赛． 3．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 考点三、一元二次方程的应用——数字问题 1．已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程 ． 3．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 考点四、一元二次方程的应用——增长率问题 1．据国家文旅部统计，月日全国旅游收入为亿元，月日、月日和月日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 2．目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均增长率为，则值为 ． 3．某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． (1)求平均每次降价的百分率； (2)售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 考点五、一元二次方程的应用——图形问题 1．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 3．现有一块长为30米，宽为20米的矩形空地，建成矩形花园，要求在花园内修建如图所示的小路，小路的宽度相同，剩余的部分种植花草．如图，要使小路的总面积为96平方米，设小路宽度为米． (1)所有路的总面积为___________（用含的代数式表示）； (2)求的值． 考点六、一元二次方程的应用——销售问题 1．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 2．个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的． (1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤； (2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元． 3．某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 考点七、一元二次方程的应用——几何动点问题 1．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 2．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 3．如图，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒1个单位，在上的速度变为每秒个单位，当点与点不重合时，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)点在上时_______（用含的代数式表示） (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当被的边分成面积为的两部分时，求的值． (4)连结，当与的边平行时，直接写出的值． 知识导图记忆 1．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 6．青山村种的水稻2023年平均每公顷产，2025年水稻平均每公顷产的产量是，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 7．学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场．赛程计划安排4天，每天安排9场比赛，问共有多少个队参赛？设共有个队参赛，根据题意可列出方程为 ． 8．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 9．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为 ． 10．定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为 ． 11．宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 12．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元． (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 13．如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 14．2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（sì）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若A款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售A款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出A款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则A款吉祥物售价应降低多少元？ 15．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$