专题04 矩形、菱形、正方形（思维导图+4重点+16题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题04 矩形、菱形、正方形 知识点 1 ： 矩形的性质与判定 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． 知识点2： 菱形的性质与判定 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 菱形的判定： 1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3）四条边相等的四边形是菱形. 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）. 菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）. 知识点3： 正方形的性质与判定 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 正方形的面积公式：＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB. 正方形的周长公式：周长= 4a 知识点4：特殊四边形的区别与联系 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2) 两组对边分别相等 3) 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 1）平行四边形+ 一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形 题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求解】 1．（2024年四川省南充市中考三模考试数学试题）如图，在矩形中，点E在边上，且，过点D作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得：． 2．（22-23八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据矩形的性质可得：，，，推出，根据平行线性质可得，推出，再根据三角形内角和定理和等腰三角形性质可得，再由，即可求得答案； （2）在上截取，连接，可证得，进而证得，得到 ，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．    (1)若，则______°； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据四边形是矩形得，，根据得，根据平行线的性质即可得； （2）根据四边形是矩形得，，根据可证明，得，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 【题型2 证明四边形是矩形】 4．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点是的中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 5．（2023·广西贵港·一模）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【题型3 利用矩形的性质与判定求解】 7．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据线段的和差关系可得，根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，可证明四边形为平行四边形，根据即可得结论； （2）根据矩形的性质可得，进而可得为直角三角形，利用“面积法”可求出的长，进而可得的长． 【详解】（1）证明：， ，即， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ∴平行四边形为矩形； （2）解：由(1)知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 8．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，E，F为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到，然后结合已知条件用边边边判定三角形全等； （2）根据全等三角形的性质得到，从而判定四边形为矩形； （3）根据矩形的性质和角平分线的定义以及矩形的面积公式即可计算出面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 在和中， (SSS) （2）证明： 在平行四边形中， 四边形是矩形； （3）解： 是的平分线 设， 在中，根据勾股定理可得 解得 四边形的面积 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义．熟练地掌握矩形的判定和性质是解题的关键，运用了数形结合的数学思维． 【题型4 利用菱形的性质求解】 9．（20-21八年级下·广西南宁·期末）如图所示，在菱形中，，，求： (1)对角线的长； (2)菱形的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查的是菱形的性质． （1）根据菱形的性质可得，然后再证明是等边三角形，从而可得； （2）根据菱形的性质得到，再利用勾股定理计算长，进而可得长，然后根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 10．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，． (1)求的长； (2)求菱形的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，再证明四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，可得，从而可得答案； （2）过作于，求解，可得，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2）解：过作于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的高是． 【点睛】本题考查的平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的利用菱形的性质解题是解本题的关键． 11．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的周长为，， (1)求对角线和的长； (2)求菱形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）由题意得是等边三角形，从而得到的长，再根据菱形的性质以及勾股定理求出的值，即可得到答案； （2）根据菱形面积的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：菱形的周长为， 是等边三角形， 互相垂直平分， 由勾股定理得 ； （2）解：菱形的面积． 【题型5 证明四边形是菱形】 12．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题． 【详解】（1）证明： ，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 13．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段、、上运动，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证，，得到四边形是平行四边形，再根据即可得证结论； （2）作N关于DC的对称点，过D作于H，由对称性可得，当P、M、共线时，，而的最小值为平行线间距离的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵E在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：作N关于DC的对称点，过D作于H， 由菱形的对称性知，点N关于的对称点在上， ∴， ∴当P、M、共线时，， ∵， ∴的最小值为平行线间距离的长， 即的最小值为的长， ∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理，平行线间的距离．综合运用相关知识，熟练运用化归思想是解题的关键． 【题型6 利用菱形的性质与判定求解】 14．（22-23八年级下·广西桂林·阶段练习）在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据E为的中点，且，得到，结合菱形性质得到，从而得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）根据是等边三角形结合勾股定理求出直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵E为的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到是等边三角形． 15．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)13 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，判定四边形是菱形是解答的关键． （1）先证明，，进而证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定可得结论； （2）先根据菱形和矩形的性质证得， ，，在中，由勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， ∴． 16．（22-23八年级下·广东中山·期中）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．    (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明得，再由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，设，则，然后在和中，由勾股定理得出方程，解得，即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在和中， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 17．（2020·河北·模拟预测）如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形， (3)若，，则菱形的面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的定义得到，由平行线的性质可得，，即可得证； （2）由全等三角形的性质得到，由垂直平分线的性质得到，，即可得证； （3）根据菱形的性质得到，根据勾股定理有，继而得到，，最后根据菱形的性质可求出其面积． 【详解】（1）证明：∵直线垂直平分， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，菱形的面积等知识点．掌握菱形的判定和性质、勾股定理和垂直平分线的性质是解题的关键． 【题型7 利用正方形的性质求解】 18．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，平分，平分的外角，垂足为F．    (1)求证：四边形是矩形． (2)当四边形是正方形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可证，由三线合一可证，由垂线的定义可得，从而可证四边形是矩形； （2）当四边形是正方形时，，由正方形的性质得，由角平分线的定义可求． 【详解】（1）平分，平分的外角， ． ， ，即． ，AD平分， ，即 ， ， ∴四边形是矩形． （2）当四边形是正方形时，． 正方形的对角线平分， ． 平分， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，矩形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握矩形的判定方法和正方形的性质是解答本题的关键． 19．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，正方形中，，动点，分别在边、上，且，连接．    (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）延长到点G，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）设，则，由勾股定理得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：延长到点G，使，连接，      ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 20．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图是一个机械零件示意图，在中，，以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查求解不规则图形面积，涉及勾股定理、正方形面积公式、三角形面积公式等，利用勾股定理求出的斜边长，即正方形边长，间接表示出阴影部分面积，代值求解即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，由勾股定理可得， ， ． 【题型8 证明四边形是正方形】 21．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知正方形的边长为6，菱形的顶点G、H分别在正方形的边上，顶点E在射线上，． (1)如图1，当时，求证；菱形是正方形； (2)如图2，连接，当的面积等于1时，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了正方形的性质和判定、菱形的性质、全等三角形的判定和性质： （1）由于四边形为正方形，四边形为菱形，那么，而，易证，从而有，等量代换可得，易证四边形为正方形； （2）分点在正方形的边上和在正方形外两种情况讨论，证明，求出运用面积公式求出即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴菱形为正方形； （2）解：当点在正方形的边上时，如图，过F作，交的延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 设则 ∴ 解得， ∴； 当点E在正方形外部时，如图， 同理可求出 ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或 22．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质和正方形的判定即可得证； （2）过点A作交于点M，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，设，根据勾股定理列方程，求出的长度，进一步可得的长度，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）过点A作交于点M，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握相关性质和定理． 【题型9 利用正方形的性质与判定求解】 23．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上． (1)如图1，若，，则的度数为________； (2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长； (3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度． 【答案】(1)67.5° (2)40 (3) 【分析】（1）证明△ADE≌△CDF，得∠ADE=∠CDF= ×45°=22.5°，在Rt△DCF中可求出∠DFC的度数； （2）延长BC到点K，使，连接DK，构造全等三角形，证明EF=AE+CF，即可求得△EBF的周长； （3）过点D作DL∥EH，交AB于点L，作DM∥FG，交BC于点M，连接LM，运用（2）中的结论和勾股定理求出BL的长，再用勾股定理求出DL的长即可． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°， ∵AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠EDF=45°， ∴∠ADE+∠CDF=90-45°=45°， ∴∠CDF+∠CDF=45°， ∴∠CDF=22.5°， ∴∠DFC=90°-22.5°=67.5°． （2）如图2，延长BC到点K，使，连接DK， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的周长为40； （3）如图3，作，交AB于点L，交FG于点P，作，交BC于点M，交EH于点Q，连接LM， ∵，， ∴四边形DLEH、四边形DGFM、四边形OPDQ都是平行四边形， ∴，，， ∴； 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是正确地作出辅助线构造全等三角形． 24．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线． (1)如图1，若为边的中点，，点与点重合，则　　，　　； (2)如图2，若为的中点，，，求的长． (3)，，若为的三等分点(图仅供参考)，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2) (3)2或 【分析】（1）证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，由勾股定理及折叠的性质可得出答案； （2）延长，交于点，连接，证明，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解． （3）分两种情况：①当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，证明（），由全等三角形的性质得出，设，，，得出，则可得出答案；②当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，，设，，，由勾股定理得出，求出则可得出答案． 【详解】（1）解：，四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 为的中点， ， 将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、， ，， ， ． 故答案为：45；2； （2）解：如图2，延长，交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵是的中点， ∴ ∵折叠， ∴ 在中， ∴ ∴ 设， 在中，，， 即 解得：, 即 ∵ ∴， 设，则， 在中，, ∴ 解得： 即； （3）2或． 分两种情况：①当时， 如图3，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，，， ， 解得， ． ②当时， 如图4，过点作，交的延长线于点，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，， ， ， ． 设，，， ， ， 解得， ． 综上可知，的长为2或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点D作，交的延长线于点M，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：过点D作，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴矩形是正方形 ∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定、矩形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型10 四边形的折叠问题】 26．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理等知识，会利用勾股定理列方程求解是解题的关键． （1）利用矩形内角是直角求出，再利用平行线和折叠的性质求出，最后利用三角形的外角的性质求解即可； （2）先利用矩形的性质，折叠的性质和勾股定理求出，继而求出，设，则，从而利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形沿对角线折叠， ∴， ∴； （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∵将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 27．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系与四边形的结合问题，熟练掌握图形翻折前后全等的性质是解题的关键； （1）由折叠可得，，可得，再根据勾股定理求出的长，即可得到点坐标； （2）同样利用折叠得到，四边形与四边形全等，设，则，利用勾股定理求出的长，进而得到，根据菱形的判定即可得到四边形的形状； （3）过点作轴于点，根据（2）的结论，利用求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点坐标为， ∴，， 由折叠可知，， ∴， 在中， ， ∴点的坐标为． （2）解：由题可得图如下：    由折叠知，四边形与四边形全等，点坐标为， ∴，，， 设， ∵点， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ∴四边形为菱形． （3）解：过点作轴于点，如图所示：    由（2）得：， ， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 28．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在正方形中，E是边上一点（不与B、C重合），将正方形沿折叠，使点B落在点F处，延长交于点G，连接．    (1)求证：； (2)若． ①求的周长： ②若点E是的中点，是的平分线，求的长 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得，，根据即可得证； （2）①根据全等三角形的性质可得，再根据的周长为求解即可； ②先证明，可得，设，在中，根据勾股定理列方程，求出的长，再设，在中，根据勾股定理列方程，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， 根据折叠，，， ，， 在和中， ， ； （2）解：①， ， ， ， 的周长为； ②过点作于点，如图所示：   是的平分线，， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 即点和点重合， 设， 则， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ． 【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 29．（22-23八年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ； (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长． 【答案】(1)或或或（任写一个即可）； (2)①；②，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，由，，可求，即可求解； （2）①由“”可证，可得； ②由“”可证，可得； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片， ∴，， ∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或或（任写一个即可）； （2）解：①由（1）可知， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 当点Q在线段上时，∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 当点Q在线段上时，∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【题型11 添加一个条件使四边形是矩形/菱形/正方形】 30．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． (1)求证：； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，再由角平分线的定义可证得，然后利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． （2）要使四边形是矩形，由（1）易证此四边形是平行四边形，因此只需证明有一个角是直角，添加条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证． 【详解】（1）证明：在中，，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ∴ （2）解：，四边形是矩形．理由如下： ， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ，平分， ， 平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 31．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边，分别相交于点，，（点不与点，重合）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当旋转角______时，平行四边形是菱形；满足______条件时，平行四边形是矩形； (3)当四边形是菱形，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)6 【分析】（1）由矩形性质和已知条件，可以证明：，则可得，再用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形即可求解； （3）由菱形的性质可得，在中，由勾股定理即可求出的长，再用三角形面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：矩形对角线的中点为， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 又∵， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知四边形是平行四边形， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得：当时，四边形是菱形，即；根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，当时，四边形是矩形， 故答案为：，； （3）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ， 在中，， ，， ， ， 解得， 的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定，勾股定理以及三角形面积公式，掌握平行四边形、矩形、菱形的性质和判定是解题的关键． 32．（2011·江西·中考模拟）如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点N． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正方形的判定等知识，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握相关性质定理，是解题关键． （1）根据等腰三角形性质得到，利用角平分线定义得到，再结合题意即可得出结论； （2）根据等腰三角形的三线合一可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出，结合为矩形即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 是外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形， 由（1）知四边形为矩形， 是等腰直角三角形，， ， ∴四边形是正方形． 【题型12 中点四边形】 33．（20-21八年级下·甘肃金昌·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【答案】(1)平行四边形．证明见解析 (2)； (3)矩形的中点四边形是菱形． 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； （2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形； （3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； （3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键． 34．（21-22八年级下·山东济宁·期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． (1)若点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFCH是平行四边形； (2)在（1）的条件下，四边形ABCD的对角线AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出四边形ABCD的对角线AC和BD再满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)AC=BD，理由见解析 (3)AC⊥BD且AC=BD，理由见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理得到相应条件，即可得出结论； （2）根据菱形的判定和性质进行判断即可； （3）根据正方形的判定进行判断即可． 【详解】（1）解：证明：连接BD、AC交于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，EF∥AC，GH∥AC， ∴EH∥FG，EF∥GH， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）当AC=BD时， 由（1）得：HG=AC，EH=BD， ∴EH=GH， ∴四边形EFGH是菱形； （3）当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH既是矩形又是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【题型13 正方形的十字架模型】 35．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接． (1)问题探究：如图1，作，交于点，求证：； (2)问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键． （1）过点作于，利用证明，得； （2）连接，，设正方形的边长为，由勾股定理得，，解方程可得的值，利用勾股定理求出，再根据（1）知，，从而解决问题． 【详解】（1）解：证明：过点作于， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）（2）连接，， 由折叠的性质得到：，， 设正方形的边长为， 由勾股定理得，， ， 解得：， ， ， 由勾股定理得， ， 是的垂直平分线， 由（1）知，， ． 36．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．    (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】(1)④ (2)①见解析；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“神奇四边形”， 故答案为：； （2）①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； 四边形是“神奇四边形”，理由如下： ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理：，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形， 四边形是“神奇四边形”； （3）如图，延长交于S，      由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 【题型14 特殊四边形有的动点问题】 37．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，在矩形中，，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发，动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，连结交对角线于点O．设点P的运动时间为t（s）．    (1)当四边形是矩形时，求t的值； (2)当四边形是菱形时，求t的值． 【答案】(1) (2)当时，四边形是菱形 【分析】（1）四边形是矩形时，根据对边相等列出方程，进而求解； （2）如图，当四边形是菱形时，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，， 四边形是矩形时，， 则， 解得； （2）解：如图，当四边形是菱形时，．    ． 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． ∴当时，四边形是菱形． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、勾股定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 38．（22-23八年级下·吉林·期中）如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒．    (1)求的长； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形是矩形时，求t的值； (4)当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 (4) 【分析】（1）利用平行四边形的面积公式进行计算即可； （2）由题意，可知：，进而得到，再根据，即可得证； （3）当，即点与点重合时，得到四边形是矩形，利用勾股定理进行求解即可； （4）由题意可知，只有四边形可能是菱形，利用菱形性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，是边上的高，且的面积为24， ∴， ∴； （2）证明：∵在中，动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：当，即点与点重合时，平行四边形为矩形，如图：    由（1）知：， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴不可能是菱形， 当四边形或 四边形为平行四边形时：    即：， ∵， ∴，即点为的中点， 此时， ∴四边形或 四边形不能为菱形； ∴只有平行四边形可能为菱形，此时， 由（3）知，， ∴为中点， ∴当时，有可能等于，如图：    由题意和（1）（3），可知：， ∴， ∴， 在中，，即：， 解得：． ∴当平行四边形为菱形时，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关判定方法和性质，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【题型15 特殊四边形有关的最值问题】 39．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称-最短路线问题，掌握菱形的判定方法，会用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可； （2）先求出的长，然后利用将军饮马模型求出的最小值，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分． ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，，如图：    由（1）知，四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形关于对角线所在直线对称， ， 周长， 周长的最小值为， 在中， ， 周长的最小值为． 40．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键． 作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，    ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，    ，且， 四边形为平行四边形， ，由对称得，， 为的最小值， 四边形周长的最小值为， 作于点， ，， ， ， ， 四边形周长的最小值为：． 故答案为：． 41．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】(1)为时，点E与点A重合 (2)当时，的面积最大值为10 【分析】（1）由折叠可知，当点E与点A重合时，即可求解； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，于是可得，，由，可知当最大时，的面积最大，而在中，只要当最大时，就最大，于是可得当最大时，最大，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，再求出此时，的面积即可． 【详解】（1）解：当点E与点A重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴为时，点E与点A重合； （2）解：如图， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，而的长度不变， ∴当最大时，的面积最大， 又∵， ∴最大时，的面积最大， 而在中，只要当最大时，就最大， ∴当最大时，最大， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大值为10． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【题型16 特殊四边形与函数综合】 42．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）利用“倒数点”的概念，可得，，即可解答； （2）设点，故可求得点的坐标，即可得到点Q满足的函数表达式； （3）分类讨论，即：①点在上时；②点在上时，利用矩形的性质，分别求出点的坐标，再分别求出的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， 在第一象限， ， 同理可得， 故平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设点， 根据题意可得点， 观察可得， 故点在反比例函数上，且， 点P的“倒数点”Q满足的函数表达式为； （3）解：设且， 根据题意可得， 观察可得， 结合（2）可得点在反比例函数上， 故点不能在和上， ①当点在上时， 四边形是矩形， ， 点B与点A的纵坐标相同，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ； ②当点在上时， 四边形是矩形， ， 可得的横坐标为4，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ， 综上所述，的面积为2或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征，新定义的阅读能力，三角形面积的求法，坐标与图形、矩形的性质，分式方程的应用，理解题意是解题的关键． 43．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．    (1)求线段的长度； (2)试判断点是否在函数的图像上，并说明理由； (3)已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点在函数的图像上．理由见解析 (3)点坐标为 【分析】（1）先求得C的坐标可得，然后再说明四边形为矩形即可解答； （2）由题意可得点坐标为，设直线的函数表达式为，进而得到；再确定点的横坐标为，然后代入即可解答； （3）如图：过点作于点，先根据坐标求得，设点坐标为，则，由平行四边形的性质可得，进而证明≌可得，最后结合即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 坐标为，即， 轴，轴， ， ， 四边形为矩形， ． （2）解：点在函数的图像上．理由如下： 点在函数的图像上， 点坐标为， ， 可设直线的函数表达式为， ， 点A坐标为 点的横坐标为， 当时，，即 ， 点在函数的图像上． （3）解：如图：过点作于点，    由（2）得， ， ， ，即 设点坐标为，则 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ≌ ，即， ，即点坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数图像的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 44．（22-23八年级下·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线． (1)求两点的坐标． (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求直线的函数解析式． (3)若点在直线上，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直线的解析式为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质即可求解及； （2）根据折叠，可知直线是的垂直平分线，利用待定系数法，垂直平分线的性质即可求解； （3）分类讨论，①如图所示，为边；②如图所示，以为边，为对角线；③如图所示，以为边，为对角线；图形结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：矩形的对角线， ∴，， ∴在中，，， ∴，． （2）解：根据折叠的性质得，如图所示， ∴，设，则， 在中，，即，解得，， ∴， 同理得，，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为． （3）解：①如图所示，为边， ∵是的中点， ∴， ∵直线的解析式为，存在菱形， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∴，解得，， ∴或； ②如图所示，以为边，为对角线， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与重合，即，设， ∵与互相平分， ∴，， ∴， ∴； ③如图所示，以为边，为对角线， ∵直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， ∵， ∴， 存在菱形， ∴， ∴是直线与轴的交点， ∴； 综上所示，存在以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的变换的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形的特点，勾股定理，垂直平分线的性质，中点坐标等知识是解题的关键． 45．（22-23八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数的图象与边相交于点M（点M不与点B重合），与边相交于点N．    (1)如图①，若点B的坐标为，M为中点，求k的值和点N的坐标． (2)如图②，连接，过点M作，垂足为Q．若，时，设长为m，长为n，求m与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到M，然后利用待定系数法即可求得k，进一步求得点N的坐标； （2）连接，设M的坐标为，B的坐标为，利用，进一步得到m与n的函数关系式． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，M为中点，矩形， ∴M的坐标为， 将M点的坐标代入得，， ∴， ∴当时，， ∴N的坐标为； （2）由题意可得反比例函数为：， 连接，设M的坐标为，    ∵， ∴B的坐标为 ， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的性质，求解反比例函数的解析式，熟练的利用图形面积公式建立关系式是解本题的关键． 过关检测 1．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故③错误； ∵， ∴， 延长交的延长线于，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边的中线， ∴．故④正确； 故选：C． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，由菱形的性质可得通过证明四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴是直角三角形， ∴， ∴，故选项A、B、C都正确， 故选：D． 3．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】过点E作于点P，证明四边形和四边形为矩形，得出，，根据证明，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点E作于点P， 在矩形中 ，， ∴四边形和四边形为矩形， 又，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 令，则， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴ 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长． 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）矩形中，平分，，则下列结论错误的是（   ） A．° B．是等腰三角形 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对选项进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对选项进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对，选项进行判断；由可对选项进行判断，综上所述可得出答案．此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ， 故选项A正确，不符合题意； ∵为等边三角形， ， 又，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰三角形， 故选项B正确，不符合题意； ，， ， ，， ， ， 故选项C错误，符合题意； ， ， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 5．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，根据矩形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出②④正确，①③不正确，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点P分别作于点F，于点E，    ∵以为底边，以为底边， ∴此时两三角形的高的和为，即可得出矩形面积； 同理可得出矩形面积； ∴②正确； 当点P在矩形的两条对角线的交点时，． 但P是矩形内的任意一点，所以该等式不一定成立． 故①不一定正确； ③若，只能得出与高度之比，不一定等于； 故此选项错误； ∵；若，则， ∴④正确． 故选：B． 6．（12-13九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（     ）    A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定等知识点，根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键． 【详解】A、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形不一定是正方形，故本选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以直角的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为，则③、⑤两部分的面积和为（    ）． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】设序号为①，②，③，④，⑤图形的面积分别为，，，，，利用正方形性质，三角形全等证明即可，本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】如图所示， 设序号为①，②，③，④，⑤图形的面积分别为，，，，，， 根据题意，得， 四边形是正方形，， ， ，， ， ， ． ∴ ∵②、④两部分的面积和为， ∴， 四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ． ∴， 根据题意，得 ， 故选B． 9．（17-18八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形中，，，为矩形边上的一个动点，运动路线是，设点经过的路程为，以，，为顶点的三角形面积为，则选项图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：由题意可得： 点到的过程中，、、三点不能够组成三角形，所以； 点到的过程中，； 点到的过程中，； 点到的过程中，， 由以上各段函数解析式可知，选项D正确， 故选：D． 10．（2023·江苏苏州·一模）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，重合于折痕上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上．已知，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，，以此得出，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得，进而得到，则，于是，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， 由第一步折叠可得，，， 由第一步折叠可得，，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴平行四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， 根据第三步折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 二、填空题 11．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 由已知条件得到，，根据勾股定理得到，再根据的长度进而即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵，， ， 故答案为：． 12．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，点，之间的距离为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，证得四边形是菱形是解题的关键．先证四边形是菱形，可得，，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，作于，于，连接，交于点， 由题意知，，， 四边形是平行四边形． 两张纸条等宽， ． ， ， 平行四边形是菱形， ，， ，之间的距离为，点，之间的距离为， ，， ， ， 四边形面积． 故答案为：． 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】如图1中，求出等边的高即可．如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．证明，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图1中， 四边形是菱形， ，， ∴，都是等边三角形， 当点与重合时，是等边的高， ∴ ∴． 如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接． ，， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 的最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 14．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为 ．    【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决． 【详解】解：设与交于点E，与交于点F，如图所示，    四边形是正方形， 所以，，． ． 又， ． ． ． 正方形边长为2， 正方形面积， ． 所以阴影部分面积为1． 故答案为1． 15．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，交于点E，若的面积为2，的面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．设，可得点，从而得到，再由四边形是矩形，，，从而得到，然后根据反比例函数比系数的几何意义，可得，再由，列出方程，即可求解． 【详解】解：设，由函数图象得：， 轴，轴，交于点E， 点， ， ， 四边形是矩形， 的面积为3， ，， ， 双曲线图象上有A，B两点， ， 的面积为2，的面积为3，， ，整理得：， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据四边形，均为正方形，可得，，，进而可得，即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等可得，等量代换可得． 【详解】（1）证明：四边形，均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ． 17．（2020·云南昆明·三模）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处 (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，过点D作，交于点G， ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求的长为 _________． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析② 【分析】（1）证明是等腰三角形，可证明，可通过证明实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决． （2）①先判断四边形是平行四边形，再由（1）得到结论； ②要求的长，可先求出的长，在中，可由的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出的长．在中，知，可求出的长，问题得以解决． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）①四边形是菱形．理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形 又∵， ∴四边形是菱形 ②设，则， ∴ 在中，，解得：， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、矩形的性质、菱形的性质及判定、勾股定理等知识，学会分析、把各个知识点有机的联系在一起是解决本题的关键． 18．（18-19八年级下·河北石家庄·期末）如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． (1)在运动过程中，四边形的形状是___________； (2)___________时，四边形是矩形； (3)求当等于多少时，四边形是菱形． 【答案】(1)平行四边形 (2)1 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，则，得出，由平行四边形的面积得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当时，四边形是菱形．过作于，则，由勾股定理求出，得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）时，四边形是矩形；理由如下： 若四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得：，或（舍去）， ． 故答案为：1； （3）依题意得：平行且等于， 四边形是平行四边形， 故时，四边形是菱形． 又， ， 过作于，如图所示： 则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 19．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．    (1)求点坐标． (2)试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离． 【答案】(1)； (2)的长度的最短距离为． 【分析】（1）由点坐标，求得矩形的边长，连接，与交于点，过作于点，由三角形的面积公式求得，设，由勾股定理列出的方程求得，再求得，便可得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，根据两点距离公式求出便可． 【详解】（1）点的坐标为， ，， 连接，与交于点，过作于点，    由折叠知，，，， ， ， ， 设，则， ， 即， 解得，，即， ， ； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，   ， ， 故的长度的最短距离为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，第（1）题关键在于构造直角三角形，利用勾股定理列出方程，第（2）题关键在于确定点的位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 矩形、菱形、正方形 知识点 1 ： 矩形的性质与判定 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. 2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． 知识点2： 菱形的性质与判定 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 菱形的判定： 1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3）四条边相等的四边形是菱形. 【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）. 菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）. 知识点3： 正方形的性质与判定 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 【补充】正方形对角线与边的夹角为45°. 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 正方形的面积公式：＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB. 正方形的周长公式：周长= 4a 知识点4：特殊四边形的区别与联系 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称、中心对称 3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 平行四边形 1）两组对边分别平行 2) 两组对边分别相等 3) 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 1）平行四边形+ 一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形 题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求解】 1．（2024年四川省南充市中考三模考试数学试题）如图，在矩形中，点E在边上，且，过点D作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（22-23八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与交于点O，F是经过点B且与平行的直线上一点，且，点E在线段上，且满足，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 3．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．    (1)若，则______°； (2)求证：． 【题型2 证明四边形是矩形】 4．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点是的中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形是什么特殊的平行四边形，请说明理由． 5．（2023·广西贵港·一模）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【题型3 利用矩形的性质与判定求解】 7．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 8．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）在中，E，F为上的两点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是矩形； (3)连接，若是的平分线，，，求四边形的面积． 【题型4 利用菱形的性质求解】 9．（20-21八年级下·广西南宁·期末）如图所示，在菱形中，，，求： (1)对角线的长； (2)菱形的面积． 10．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，． (1)求的长； (2)求菱形的高． 11．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的周长为，， (1)求对角线和的长； (2)求菱形的面积． 【题型5 证明四边形是菱形】 12．（21-22八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 13．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段、、上运动，求的最小值． 【题型6 利用菱形的性质与判定求解】 14．（22-23八年级下·广西桂林·阶段练习）在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，．    (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 15．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，求的长． 16．（22-23八年级下·广东中山·期中）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且．    (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，，求的长． 17．（2020·河北·模拟预测）如图，已知，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形， (3)若，，则菱形的面积是多少？ 【题型7 利用正方形的性质求解】 18．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，平分，平分的外角，垂足为F．    (1)求证：四边形是矩形． (2)当四边形是正方形时，求的度数． 19．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，正方形中，，动点，分别在边、上，且，连接．    (1)求证：； (2)若，求线段的长． 20．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图是一个机械零件示意图，在中，，以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【题型8 证明四边形是正方形】 21．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知正方形的边长为6，菱形的顶点G、H分别在正方形的边上，顶点E在射线上，． (1)如图1，当时，求证；菱形是正方形； (2)如图2，连接，当的面积等于1时，则的长为 ． 22．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 【题型9 利用正方形的性质与判定求解】 23．（20-21八年级下·广东广州·期末）已知：四边形ABCD是正方形，，点E，F，G，H分别在边AB，BC，AD，DC上． (1)如图1，若，，则的度数为________； (2)如图2，若，点E，F分别是AB，BC上的动点，求的周长； (3)如图3，若，GF和EH交于点O，且，求EH的长度． 24．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线． (1)如图1，若为边的中点，，点与点重合，则　　，　　； (2)如图2，若为的中点，，，求的长． (3)，，若为的三等分点(图仅供参考)，请直接写出的长． 25．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知，如图，在四边形中，，，，垂足为点E． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【题型10 四边形的折叠问题】 26．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，将矩形沿对角线折叠，点C落在点E处，已知．求的度数． （2）如图②，将矩形沿折叠，点B落在点边上的F处．已知，，求线段的长． 27．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 28．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在正方形中，E是边上一点（不与B、C重合），将正方形沿折叠，使点B落在点F处，延长交于点G，连接．    (1)求证：； (2)若． ①求的周长： ②若点E是的中点，是的平分线，求的长 29．（22-23八年级下·山东临沂·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ； (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长． 【题型11 添加一个条件使四边形是矩形/菱形/正方形】 30．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F． (1)求证：； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 31．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边，分别相交于点，，（点不与点，重合）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当旋转角______时，平行四边形是菱形；满足______条件时，平行四边形是矩形； (3)当四边形是菱形，连接，若，，求的面积． 32．（2011·江西·中考模拟）如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点N． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【题型12 中点四边形】 33．（20-21八年级下·甘肃金昌·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 34．（21-22八年级下·山东济宁·期中）如图，已知在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． (1)若点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFCH是平行四边形； (2)在（1）的条件下，四边形ABCD的对角线AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，请说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出四边形ABCD的对角线AC和BD再满足什么条件时，四边形EFGH是正方形． 【题型13 正方形的十字架模型】 35．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接． (1)问题探究：如图1，作，交于点，求证：； (2)问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长． 36．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．    (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【题型14 特殊四边形有的动点问题】 37．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，在矩形中，，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发，动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，连结交对角线于点O．设点P的运动时间为t（s）．    (1)当四边形是矩形时，求t的值； (2)当四边形是菱形时，求t的值． 38．（22-23八年级下·吉林·期中）如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒．    (1)求的长； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形是矩形时，求t的值； (4)当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值． 【题型15 特殊四边形有关的最值问题】 39．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．   40．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 41．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【题型16 特殊四边形与函数综合】 42．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      43．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．    (1)求线段的长度； (2)试判断点是否在函数的图像上，并说明理由； (3)已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 44．（22-23八年级下·广东中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线． (1)求两点的坐标． (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求直线的函数解析式． (3)若点在直线上，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（22-23八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数的图象与边相交于点M（点M不与点B重合），与边相交于点N．    (1)如图①，若点B的坐标为，M为中点，求k的值和点N的坐标． (2)如图②，连接，过点M作，垂足为Q．若，时，设长为m，长为n，求m与n的函数关系式． 过关检测 1．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C． D． 3．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）矩形中，平分，，则下列结论错误的是（   ） A．° B．是等腰三角形 C． D． 5．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，P是矩形内的任意一点，连接，得到，，设它们的面积分别是，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个   6．（12-13九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（     ）    A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形 7．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，以直角的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为，则③、⑤两部分的面积和为（    ）． A．8 B．9 C．10 D．11 9．（17-18八年级下·山东临沂·期末）如图，矩形中，，，为矩形边上的一个动点，运动路线是，设点经过的路程为，以，，为顶点的三角形面积为，则选项图象能大致反映与的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 10．（2023·江苏苏州·一模）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，重合于折痕上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上．已知，，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为 ． 12．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，点，之间的距离为，则四边形的面积为 ． 13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 14．（21-22八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为 ．    15．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，交于点E，若的面积为2，的面积为3，则k的值为 ． 三、解答题 16．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接． 求证： (1)； (2)． 17．（2020·云南昆明·三模）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处 (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，过点D作，交于点G， ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求的长为 _________． 18．如图，中，，，，点从点出发，以每秒的速度，在延长线上向右运动，同时，点从点出发，以同样的速度在延长线上向左运动，运动时间为秒． (1)在运动过程中，四边形的形状是___________； (2)___________时，四边形是矩形； (3)求当等于多少时，四边形是菱形． 19．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D、B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．    (1)求点坐标． (2)试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$