专题01 分式（思维导图+5重点+17题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题01 分式 知识点1 ：分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点2： 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 【注意】①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点3： 分式的运算 知识点4： 解分式方程 基本思路 将分式方程化为整式方程，再求解 常用方法 1）去分母法；2）换元法 步骤 去分母法 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 3）解整式方程； 4）验根，把整式方程的根代入最简公分母 换元法 1）设辅助未知数； 2）得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 3）把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值； 4）检验作答． 【补充】1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点5：利用分式方程解决实际问题 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 题型归纳 【题型1 分式的判断】 满分技法：判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：就是分式，而不是整式. 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）在式子、、、、、、、中，分式的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型2 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围】 满分技法：1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 4．（2024·广西桂林·一模）对于代数式，的取值范围是 ． 【题型3 根据分式值的情况，求未知数的值或取值范围】 满分技法： 1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号. 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号. 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 6．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知分式的值为正整数，求整数的值． 7．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【题型4 约分与通分】 满分技法：约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【题型5 判断最简分式与最简公分母】 10．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【题型6 利用分式的基本性质判断式子变形正误】 满分技法：分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（  ） A． B． C． D． 15．（2024七年级下·浙江·专题练习）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型7 根据分式的基本性质判断分式值的变化】 16．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如果把下列各分式中的a和b都扩大为原来的2倍，那么分式的值变为原来的2倍的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【题型8 利用分式的符号法则，将分式恒等变形】 18．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024八年级下·全国·专题练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 分式的混合运算】 满分技法：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 21．（2024·广东揭阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是________； (2)上面的运算过程中第________步出现了错误； (3)请你从出错的那一步开始把解题过程补充完整． 22．（2024·陕西商洛·三模）化简：． 23．（2024·江西·二模）下面是数学老师在批改作业时看到的甲、乙两位同学对某分式进行的化简过程，请你认真观察并完成相应的填空． 甲同学：解：原式 第一步 第二步 第三步 …… 乙同学：解：原式 第一步 …… (1)甲同学的第 步是分式的通分，通分的依据是 ；乙同学用到的运算律是 ． (2)请你帮其中一位同学完成化简． 【题型10 分式的化简求值】 满分技法：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 24．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）化简求值：，其中． 25．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）【阅读材料】在解决分式问题时，例数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其例数形式，进行相应的化简计算，最后再将求得的值求倒数以达到解决问题目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ， ， ． 【尝试解决】已知． (1)求的值； (2)求的值． 26．（22-23八年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：，请在的范围内选择一个合适的整数代入求值． 27．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若a，b为实数，且 ，求的值． 【题型11 解分式方程】 满分技法：解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. 28．（23-24八年级上·山东烟台·期中）解分式方程： (1) (2) ． 29．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）解下列分式方程： (1)； (2)． 【题型12 根据分式方程解的情况求值】 满分技法：由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 30．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m的取值范围． 31．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【题型13 根据分式方程无解求参数】 满分技法：已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零. 32．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程无解，求的值． 33．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 34．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的方程，若该方程无解，试求m的值． 【题型14 已知分式方程有增根求参数】 满分技法：依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 35．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 36．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 【题型15 利用分式方程解决实际问题】 37．（22-23八年级下·吉林长春·期中）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 38．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 39．（23-24八年级上·天津红桥·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 40．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）春节吃汤圆和水饺是中华民族的传统习俗．某超市为了促进实体经济发展在春节前搞促销活动，在首次促销中水饺的销售额是10000元，汤圆的销售额是4000元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多500袋，售出的水饺的单价是汤圆单价的1.25倍． (1)求水饺、汤圆的单价分别是多少元？ (2)由于临近年关，超市再次加大让利幅度，相比第一次促销，该超市将水饺单价降低了，汤圆的单价减少了2元，两款产品销售火爆，第二次水饺的销量比第一次多了，汤圆的销量在第一次的基础上增加了袋，若第二次销售总金额不低于第一次销售总金额，求的最小值． 【题型16 零指数幂与负指数幂】 41．（23-24八年级上·吉林松原·阶段练习）计算的结果是 ． 42．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）式子有意义的条件是 ． 43．（22-23八年级上·浙江台州·期末） ． 44．（23-24八年级上·云南德宏·期末）计算： ． 【题型17 用科学记数法表示小于1的数】 满分技法：当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 45．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）华为搭载了最新一代处理器麒麟，这款芯片采用了最先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为： ． 46．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）人体红细胞的直径约为0.0000075米，用科学记数法表示为米，则 ． 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（18-19八年级上·四川南充·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·河北张家口·期中）分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 7．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东肇庆·二模）已知．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“荅花如米小，也学牡丹开”．其中荅花的花粉直径约为．则用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·山西朔州·期末）若关于x的分式方程无解，则（　　） A． B．0 C．1 D． 10．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）定义运算“★”：．若，则x的值为（   ） A．3 B．10 C．或10 D．或 二、填空题 11．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ． 12．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知是方程的解，则m的值为 ． 13．（2023·山西·模拟预测）化简： ． 14．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 15．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）小丽在化简分式时，部分不小心滴上了墨水，请你推测部分的式子应该是 ． 16．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ． 三、解答题 17．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）（1）计算：； （2）解方程：； 18．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）已知（，且）． (1)化简H； (2)若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且，求H的值． 19．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数） 20．（20-21八年级上·全国·课后作业）[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 21．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）阅读材料： ①方程的解为：；； ②方程的解为：；； ③方程的解为：；． 归纳解法：④方程的解为：__________；__________． 应用解决：⑤利用④中的结论，直接解关于的方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式 知识点1 ：分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点2： 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 【注意】①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点3： 分式的运算 知识点4： 解分式方程 基本思路 将分式方程化为整式方程，再求解 常用方法 1）去分母法；2）换元法 步骤 去分母法 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 3）解整式方程； 4）验根，把整式方程的根代入最简公分母 换元法 1）设辅助未知数； 2）得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 3）把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值； 4）检验作答． 【补充】1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点5：利用分式方程解决实际问题 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 题型归纳 【题型1 分式的判断】 满分技法：判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：就是分式，而不是整式. 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）在式子、、、、、、、中，分式的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在式子、、、、、、、中，分式源头、、、，共4个， 故选：B． 【题型2 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围】 满分技法：1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 4．（2024·广西桂林·一模）对于代数式，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式中未知量的取值范围．根据题意，被开方数为非负数，分母不为0即可． 【详解】解：根据题意得 解得． 故答案为：． 【题型3 根据分式值的情况，求未知数的值或取值范围】 满分技法 1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号. 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号. 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 6．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知分式的值为正整数，求整数的值． 【答案】1或0 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解题时要注意分式有意义的条件，即分式的分母不能为0．首先将分式进行约分化简，可得，要使分式的值为正整数，那么只能取4的正整数约数1，2，4，这样就可以求得相应a的值． 【详解】解：．要使分式的值为正整数，且为整数， 则或或． ∴或或． 又∵当时，原分式无意义， ∴舍去． 的值为1或0． 7．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 【题型4 约分与通分】 满分技法：约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， 【题型5 判断最简分式与最简公分母】 10．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）将化为最简分式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法主要包括以下几个步骤：取各分式的分母中系数的最小公倍数；各分式的分母中所有字母或因式都要取到；相同字母（或因式）的幂取指数最大的；所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母；由此即可得出答案． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 【题型6 利用分式的基本性质判断式子变形正误】 满分技法：分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的加减法和性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据分式的加减法运算法则和性质计算并判断即可． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 15．（2024七年级下·浙江·专题练习）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质分别计算判断即可． 【详解】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式值不一定相等，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意． C．∵，当，，当时，，∴不一定等于，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 【题型7 根据分式的基本性质判断分式值的变化】 16．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如果把下列各分式中的a和b都扩大为原来的2倍，那么分式的值变为原来的2倍的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 【详解】解：A．，分式的值变为原来的2倍，故选项符合题意； B．，分式的值变为原来的，故选项不符合题意； C．，分式的值不变，故选项不符合题意； D．，分式的值变为原来的，故选项不符合题意； 故选：A． 17．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分子分母同时乘上或除以一个不为0的数，分式的值不变，据此即可作答． 【详解】解：∵把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍 ∴ ∴把分式中的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值不变 故选：D 【题型8 利用分式的符号法则，将分式恒等变形】 18．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式的基本性质， 根据分式的基本性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：. 故选：D． 19．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 20．（2024八年级下·全国·专题练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，错误，不符合题意； 故选：A． 【题型9 分式的混合运算】 满分技法：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 21．（2024·广东揭阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)上面第二步计算中，中括号里的变形的依据是________； (2)上面的运算过程中第________步出现了错误； (3)请你从出错的那一步开始把解题过程补充完整． 【答案】(1)分式的基本性质 (2)三 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合计算： （1）根据分式的基本性质填写即可； （2）观察可知，上面的运算过程中第三步计算减法的时候第二个分式的分子中的符号没有变号； （3）根据分式的运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的． 【详解】（1）解：上面第二步计算中，中括号里的变形是通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：分式的基本性质； （2）解：观察可知，上面的运算过程中第三步出现错误，原因是计算减法的时候第二个分式的分子中的符号没有变号， 故答案为：三； （3）解：原式          22．（2024·陕西商洛·三模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算小括号内的减法，再计算除法．解题的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】解： ． 23．（2024·江西·二模）下面是数学老师在批改作业时看到的甲、乙两位同学对某分式进行的化简过程，请你认真观察并完成相应的填空． 甲同学：解：原式 第一步 第二步 第三步 …… 乙同学：解：原式 第一步 …… (1)甲同学的第 步是分式的通分，通分的依据是 ；乙同学用到的运算律是 ． (2)请你帮其中一位同学完成化简． 【答案】(1)一，分式的基本性质：乘法分配律 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据分式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据题意，完成分式的化简； 【详解】（1）甲同学的第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；乙同学用到的运算律是乘法分配律 （2）甲同学：解： 乙同学：解：原式 【题型10 分式的化简求值】 满分技法 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 24．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，直接将括号里面减法运算，再把除法转换为乘法，约分后化简结果，再代入计算即可得出答案． 【详解】解： 当时，原式． 25．（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）【阅读材料】在解决分式问题时，例数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其例数形式，进行相应的化简计算，最后再将求得的值求倒数以达到解决问题目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ， ， ． 【尝试解决】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查倒数法求解分式，掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据材料提示的倒数法进行计算即可求解； （2）运用倒数法，完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ． 26．（22-23八年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：，请在的范围内选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再代入一个使分式有意义的值，进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∵， ∴的整数解为：； ∴当时：原式；当时，原式； 27．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若a，b为实数，且 ，求的值． 【答案】 【详解】本题考查了求分式的值，先根据已知的等式关系求出与的值，再代入化简后的分式即可． 【解答】解：由题意可知，，且，解得， 原式． 【题型11 解分式方程】 满分技法：解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. 28．（23-24八年级上·山东烟台·期中）解分式方程： (1) (2) ． 【答案】(1)x＝3 (2)原方程无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）根据分式方程的解法可进行求解； （2）根据分式方程的解法可进行求解 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，应舍去，原方程无解 29．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ，解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （2）解： ， ， ， ，解得：， 当时，， ∴分式方程的解为：． 【题型12 根据分式方程解的情况求值】 满分技法 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 30．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的分式方程的解是非负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的范围，先解方程，根据方程有解，且解为非负数，得到关于的不等式，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程两边同乘以，得， 解得：． ∵方程的解是非负数， ∴， 解得； 又∵，即， ∴， 综上m的取值范围为且． 31．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 【题型13 根据分式方程无解求参数】 满分技法 已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零. 32．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0． 方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得或，分别求出a值即可． 【详解】解：方程两边同乘，得，即． ①当，即时，原方程无解，由，解得． ②当时，整式方程无解， ∴当时，原方程无解． 综上所述，当或时，原方程无解． 33．（21-22八年级上·河北唐山·期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1)； (2)3． 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解： ， 去分母得： 解得， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （2）设原题中“◆”是a， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 34．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于x的方程，若该方程无解，试求m的值． 【答案】的值可能为1或或6． 【分析】化原方程为整式方程，然后根据原方程无解，列出关于m的方程求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以，去分母并整理得：， 原分式方程有无解， 或， 当时，解得； 当时，解得：或， 当时，得； 当时，得， 的值可能为1或或6． 【点睛】本题考查分式方程无解问题，解题的关键是掌握解分式方程的方法． 【题型14 已知分式方程有增根求参数】 满分技法 依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 35．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 【答案】(1)或 (2)a的值为1或或8 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 整理可得：， ∵原方程有增根， ∴， 即， 当时，， 当时，， ∴或时，方程有增根； （2）解：由（1）知：a取或8时，原方程无解， 当，方程无解， ∴时，原方程无解； 综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解． 36．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解：去分母，整理得， 解得： ∵关于x的方程有增根， ∴ ∴， 解得. 【题型15 利用分式方程解决实际问题】 37．（22-23八年级下·吉林长春·期中）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 【答案】400千克 【分析】题目主要考查分式方程的应用，设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意； 答：乙班平均每小时挖400千克土豆． 38．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，从一开始就安排甲乙两工程队合作，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元，理由见解析． 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．根据题意，得  ． 解得． 经检验，是原方程的根． ． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天． （2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天， 则有． 解得． 需要施工费用：（万元）． ． 工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元． 39．（23-24八年级上·天津红桥·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电柱．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，找到题目中的数量关系是解本题关键． （1）设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元，根据“用15万元购买型充电桩与用20万元购买型充电桩的数量相等”列出方程，求解并检验方程的根即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据总费用型单价型数量型单价型数量，列出不等式组，求出的解集，取符合题意的整数解，即可得出各购买方案，再对方案分析即可得购买总费用最少的方案． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， 或15或16， ∴该停车场共有3种购买方案： 方案一：购买14个型充电桩、11个型充电桩； 方案二：购买15个型充电桩、10个型充电桩； 方案三：购买16个型充电桩、9个型充电桩； ∵型充电桩的单价低于型充电桩的单价， ∴购买A型充电桩越多总费用越低， ∴购买16个型充电桩、9个型充电桩总费用最少． 40．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）春节吃汤圆和水饺是中华民族的传统习俗．某超市为了促进实体经济发展在春节前搞促销活动，在首次促销中水饺的销售额是10000元，汤圆的销售额是4000元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多500袋，售出的水饺的单价是汤圆单价的1.25倍． (1)求水饺、汤圆的单价分别是多少元？ (2)由于临近年关，超市再次加大让利幅度，相比第一次促销，该超市将水饺单价降低了，汤圆的单价减少了2元，两款产品销售火爆，第二次水饺的销量比第一次多了，汤圆的销量在第一次的基础上增加了袋，若第二次销售总金额不低于第一次销售总金额，求的最小值． 【答案】(1)水饺的单价为10元，汤圆的单价为8元； (2)的最小值为15． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设汤圆的单价为元，则水饺的单价为元，由题意：在首次促销中水饺的销售额是10000元，汤圆的销售额是4000元，售出的水饺的数量比汤圆的数量多500袋，列出分式方程，解方程即可； （2）求出第一次水饺数量和汤圆的数量，再求出第二次销售水饺单价和汤圆的单价，然后由题意：第二次销售总金额不低于第一次销售总金额，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设汤圆的单价为元，则水饺的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：水饺的单价为10元，汤圆的单价为8元； （2）解：第一次水饺数量为（袋， 第一次汤圆数量为（袋， 第二次销售水饺单价为：（元，汤圆的单价为：（元， 由题意得：， 解得：， 答：的最小值为15． 【题型16 零指数幂与负指数幂】 41．（23-24八年级上·吉林松原·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】 本题考查了零指数幂，根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 42．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）式子有意义的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和零指数次方有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于，零指数次方的底数不为． 【详解】解：由题可知：， 解得：且， 故答案为：且． 43．（22-23八年级上·浙江台州·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂运算，根据负整数指数幂运算公式直接计算即可求解，熟记负整数指数幂运算公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 44．（23-24八年级上·云南德宏·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，根据负整数指数幂以及零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【题型17 用科学记数法表示小于1的数】 满分技法：当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 45．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）华为搭载了最新一代处理器麒麟，这款芯片采用了最先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 46．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）人体红细胞的直径约为0.0000075米，用科学记数法表示为米，则 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为为整数，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列各式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：，，，的分母中不含有字母，都不是分式， ，的分母中含有字母，都是分式，共2个． 故选：C． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：由分式的分母不能为0得：， 解得， 故选：B． 3．（18-19八年级上·四川南充·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】、不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 故选：． 4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：（吨）． 故选：D． 5．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 6．（23-24八年级下·河北张家口·期中）分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 7．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可． 【详解】解：分式方程的两侧同乘得：． 故选：B． 8．（2024·广东肇庆·二模）已知．清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“荅花如米小，也学牡丹开”．其中荅花的花粉直径约为．则用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：A． 9．（22-23八年级上·山西朔州·期末）若关于x的分式方程无解，则（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程无解问题，通过分析确定该分式方程的增根为是解题关键． 解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，求解即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，得， 合并同类项、系数化为1，得， 由题意可知，分式方程的增根为， 即有，解得． 故选：A． 10．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）定义运算“★”：．若，则x的值为（   ） A．3 B．10 C．或10 D．或 【答案】C 【分析】本题考查新定义的应用，以及解分式方程．分和两种情况根据新定义得出方程，求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 解得，， 经检验，是原方程的根； 综上，的值为：或10 故选：C． 二、填空题 11．（20-21八年级上·广东潮州·期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和新定义，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知是方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：将代入原方程得: ， 解得：． 故答案为：4． 13．（2023·山西·模拟预测）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同分母分式加减法，再结合平方差公式进行约分即可． 【详解】解：， 故答案为： 14．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为零的条件． 根据“分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，解得， 故答案为：1． 15．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）小丽在化简分式时，部分不小心滴上了墨水，请你推测部分的式子应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，分式的性质，直接利用分式的性质结合约分即可求解，正确掌握分式的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴部分的式子应该是， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）关于x的分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程已经解不等式的方法是本题的一个难点．首先要解关于的分式方程，求出方程的解，根据解满足不等式，可以得到一个关于的不等式，就可以求出的范围． 【详解】解：， ， ， 解不等式， 得． 关于的分式方程的解满足不等式， ， ， 的取值范围是且． 三、解答题 17．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）（1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查分式的运算以及分式方程的解法， （1）利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）先把分式方程化为整式方程，解整式方程得到，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：（1） ＝ ； （2） 方程两边都乘以得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18．（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）已知（，且）． (1)化简H； (2)若数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且，求H的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数与数轴： （1）先把括号内的分式通分，再根据分式的除法计算法则求解即可； （2）根据题意得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵数轴上点A、B表示的数分别为a，b，且， ∴， ∴． 19．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数） 【答案】(1)甲需25天，乙需50天 (2)甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元； (3)20天或21天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元一次方程和不等式组的应用，根据已知数量关系正确列式是解题关键． （1）设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设甲工程队施工天数为天，甲工程队完成了此工程的，则乙工程队完成了此工程的，所用时间为天，根据题意列一元一次不等式组求解即可 【详解】（1）解：设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天， 由题意得：，． 解得， 检验：当时，，原分式方程的解为， 故甲需25天，乙需50天； （2） 解：设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元， 由题意得：， 解得， ， 故甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元； （3） 解：设甲工程队施工天数为天，则甲工程队完成了此工程的，乙工程队完成了此工程的， 乙工程队所用时间为天， ， 解得：， 甲工程队施工天数为20天或21天． 20．（20-21八年级上·全国·课后作业）[核心素养] 阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为，可设（b为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴解得 ∴ ． 这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解决问题：将分式，分别拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式、同分母分式加减法，掌握同分母分式加减法是解题的关键． 根据所给的材料，将分式拆成，再运算化简即可作答．将分式拆成，再运算化简即可作答． 【详解】解：由的分母为， 可设（n为整数）， 则 ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴ 由的分母为， 可设（d为整数）， 则． ∵对于任意x，上述等式均成立， ∴ 解得 ∴． 21．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）阅读材料： ①方程的解为：；； ②方程的解为：；； ③方程的解为：；． 归纳解法：④方程的解为：__________；__________． 应用解决：⑤利用④中的结论，直接解关于的方程：． 【答案】④；；⑤； 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，观察方程可以得到方程左边的式子与右边的式子之间的关系，用代替方程左边式子中的，即得到右边的式子，方程的解中，第一个解是右边的式子的第一项，第二个解是右边式子的第二项，根据次规律即可求解，正确观察已知条件中的式子的特点，以及方程的解与式子之间的联系是解题的关键． 【详解】解：阅读： ①方程的解为：；， ②方程的解为：；， ③方程的解为：；， 归纳： ④方程的解为：；． 应用：⑤利用④中的结论，直接解关于的方程：， 解：方程可变为：， 利用④中的结论得：；， 解得；， 经检验，方程的解为：；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$