精品解析：2024年江苏省南通市海安市十三校联考中考二模数学试题

2023−2024第二学期第三次月考九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是（ ） A. 3 B. 22 C. 25 D. 28 2. 下图所示的零件的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年春节假期我市旅游总收入31.63亿元，同比增长．将数据3163000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题（第11、12题，每题3分，第13−18题，每题4分，共30分） 11. 因式分解______． 12. 为了调查某品牌护眼灯使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）． 13. 如图，点C在线段上，且表示一个无理数c，则c可以是 _____.（写出一个即可） 14. 某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_____． 15. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则______． 16. 如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________． 17. 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB=4，BC=3，则tan的值为 ________． 18. 如图，已知正方形的对角线交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简代数式，并请你取一个合适的值，代入化简后的代数式求值． 20. 如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 （1）小星的解答从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 21. 在“双减”背景下，我区教育部门想了解A、B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业完成时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业完成时长数据（单位：分钟，保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业完成时长在组具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75， 75，75，76，76，76，77，77，78，80． 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 组别 A学校 B学校 5 7 15 10 m 12 8 17 4 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 n 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，并补全频数分布直方图； （2）在这次调查中，课后书面作业完成时长波动较小的是______学校（选填“A”或“B”）； （3）按规定，九年级学生每天课后书面完成作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人？ 22. “风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下： 活动目的 测量风力发电机的塔杆高度 测量工具 无人机、皮尺等 测量示意图 说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量出塔杆顶端的仰角和俯角 测量数据 斜坡的坡角 的长度 米 的长度 米 点处测量的仰角 点处测量的俯角 请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，，） 23. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留） 24. 公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 25. （1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图，在矩形的边和上分别取点E、F，且，连接、交于点O，将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，试说明：点Q是边的三等分点． （2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图，已知线段，点E是的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形，使得．（不写作法参保留作图痕迹） （3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角、如图，点C是上一点，用尺规作出，后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与、交干点M、N，当与满足某种数量关系时，即可得到，试猜想与的数量关系并证明． （4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形，若，请直接写出k的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： （3）过点P作x轴平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023−2024第二学期第三次月考九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 为计数方便，某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示的实际千克数是（ ） A. 3 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 【详解】解：由题意，得 “”表示的实际千克数是千克． 故选B． 2. 下图所示的零件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的即可得出答案 【详解】解：根据主视图是从正面看到的，主视图为： 故选：D 3. 2024年春节假期我市旅游总收入31.63亿元，同比增长．将数据3163000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据3163000000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据正六边形的性质可得，，从而求出，再利用三角形的内角和求解即可． 【详解】解：连接， 点为正六边形的中心， ， ， 在等腰中， ． 故选：B． 6. 如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴旋转角为，． 故选：A． 7. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∴A、B之间的距离不可能是， 故选：D． 8. 如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图—作垂线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，由作图可得垂直平分，从而得出，，，即可判断A；推出，得出为的中点，，从而可以判断B，再由相似三角形的性质即可判断D，利用含角的直角三角形的性质可以判断C，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ，，，故A正确，不符合题意； ， ， ∴， 为的中点， ，， ，，故B、D正确，不符合题意； 当时，，故C不一定正确，符合题意； 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，反比例函数比例系数k的几何意义；连接，由题意易得，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值；通过辅助线把的面积转化为的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，如图； 与x轴相切，为的直径， ，， ， ， 即， ， ； 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点可得：当时，则，结合图象可得：，当时，重合，当时，重合，可得，如图，当时，重合，记的交点为，则，证明，此时，可得，，从而可得答案． 【详解】解：由点可得：当时，则， 结合图象可得：， 当时，重合，当时，重合， ∴，而， ∴， 如图，当时，重合，记的交点为，则， ∴， ∴，， 此时， ∴，， ∴，即， 故选B 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质，理解函数图象的含义是解本题的关键． 二、填空题（第11、12题，每题3分，第13−18题，每题4分，共30分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 12. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是________（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可． 【详解】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 13. 如图，点C在线段上，且表示一个无理数c，则c可以是 _____.（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点C对应的数的大小是解答本题的关键．先根据数轴确定点C对应的数的大小，求出结果即可． 【详解】解：根据题意得点A表示的数为1，点表示的数为2，点C表示的无理数在1和2 之间，因此c可以是． 故答案为：．（答案不唯一） 14. 某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_____． 【答案】396元 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，根据26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入264元建立方程通过变形就可以求出的值． 【详解】解：设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，由题意，得 ， 化简得：， 则， 所以，收入应该是396元， 故答案为：396元． 15. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：55． 16. 如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AE，由垂直平分线的性质可得AE=BE，利用勾股定理可得BC=4，设CE的长为x，则BE=4-x，在△ACE中利用勾股定理可得x的长，即得CE的长． 【详解】解：连接AE， ∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5， 由勾股定理得BC=4， 设CE的长为x，则BE=AE=4-x，在Rt△ACE中， 由勾股定理得：x2+32=（4-x）2， 解得：x=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和勾股定理，利用方程思想是解答此题的关键． 17. 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB=4，BC=3，则tan的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】过C作CF⊥于点F，交于点E，设CB交于点G，证△CEG∽△CFB，得，则GB＝CG＝，再由平行线的性质得∠α＝∠GAB，然后由锐角三角函数定义求出tan∠BAG＝，即可求解． 【详解】解：过C作CF⊥于点F，交于点E，设CB交于点G， 由题意得：GEBF，CE＝EF， ∴△CEG∽△CFB， ∴， ∵BC＝3， ∴CG＝BC＝1， ∴GB＝CG＝， ∵， ∴∠α＝∠GAB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4， ∴∠ABG＝90°， ∴tan∠BAG＝， ∴tanα＝tan∠BAG＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△CEG∽△CFB是解题的关键． 18. 如图，已知正方形的对角线交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，且交于点，证明四边形为平行四边形，得出，由正方形的性质得出，则可得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】正方形 取的中点，连接，且交于点 为的中点 四边形为平行四边形 四边形是正方形 关于对称 ，即与重合时，最小，最小值为的长 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简代数式，并请你取一个合适的值，代入化简后的代数式求值． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查实数的四则混合运算，分式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、化简绝对值和零指数幂，再进行实数的四则混合运算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可化简，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式． 20. 如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 （1）小星的解答从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 【答案】（1）一 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； 【小问2详解】 证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 21. 在“双减”背景下，我区教育部门想了解A、B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业完成时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业完成时长数据（单位：分钟，保留整数），整理分析过程如下： 【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业完成时长在组的具体数据如下： 74，72，72，73，74，75，75，75，75， 75，75，76，76，76，77，77，78，80． 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示： 组别 A学校 B学校 5 7 15 10 m 12 8 17 4 4 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A学校 74 75 n 127.36 B学校 74 85 73 144.12 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，并补全频数分布直方图； （2）在这次调查中，课后书面作业完成时长波动较小的是______学校（选填“A”或“B”）； （3）按规定，九年级学生每天课后书面完成作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有多少人？ 【答案】（1）18，，图见解析 （2）A （3）920 【解析】 【分析】（1）用总数减去其它组的频数求m，利用求中位数的方法求n；根据A学校的频数分布表补全频数分布直方图； （2）根据方差即可判断； （3）分别求出在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生即可． 【小问1详解】 ， 中位数为第25个和第26个平均数 即 故答案为：18，． 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 因为A学校的方差为，B学校的方差为， ， ∴课后书面作业时长波动较小的是A学校， 故答案为：A． 【小问3详解】 （人）． 【点睛】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 22. “风电”是未来全球最重要的清洁能源之一，在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，某数学兴趣小组测量一架风力发电机塔杆高度的活动报告如下： 活动目的 测量风力发电机的塔杆高度 测量工具 无人机、皮尺等 测量示意图 说明：塔杆安装在斜坡上且垂直于地面，用皮尺测量出的长度，利用无人机分别在点、点（点在点的正上方）测量出塔杆顶端的仰角和俯角 测量数据 斜坡的坡角 的长度 米 的长度 米 点处测量的仰角 点处测量的俯角 请利用表中提供的信息，求风力发电机的塔杆高度．（参考数据：，，） 【答案】该通信塔的塔杆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线；延长交于点F，延长交于G，设米，由含的直角三角形的性质可得米，由三角函数分别求出米，米，利用列方程，解出方程，进而可求答案． 详解】解：延长交于点F，延长交于G， 由题意得：，米，， 设米， 在中，米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， 解得：， 米， 米， 答：风力发电机的塔杆的高度约为31米． 23. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）45cm； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接AD，证明，即圆心O到EF的距离为OD，再求出OD即可； （2）设，求出，作交AB于点H，求出，，即可求出阴影面积． 【小问1详解】 解：连接AD， ∵D为弧BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即圆心O到EF的距离为OD， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 作交AB于点H， ∴， ∵， ∴， ∴S阴影． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，分割法求阴影部分的面积，（1）的关键是证明；（2）的关键是求出DH，OA的长度，理解阴影部分的面积包括扇形和三角形两部分． 24. 公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 【答案】（1）s＝﹣t2+16t，v＝﹣t+16 （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m （3）6秒时两车相距最近，最近距离是2m 【解析】 【分析】（1）根据图象信息，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可； （2）把代入一次函数解析式求出，再把的值代入二次函数解析式求出即可； （3）根据当时，甲车速度为16，当时，两车之间的距离逐渐变大，当时，两车之间的距离逐渐变小，得出当时，两车之间距离最小，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知：二次函数图象经过原点， 设二次函数表达式为，一次函数表达式为， 二次函数经过，， ，解得：， 二次函数表达式为． 一次函数经过，， ，解得：， 一次函数表达式为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 当时， ，解得， ， 当时，， 当甲车减速至9时，它行驶的路程是87.5； 【小问3详解】 解：当时，甲车的速度为16， 当时，两车之间的距离逐渐变大， 当时，两车之间的距离逐渐变小， 当时，两车之间距离最小， 将代入中，得， 将代入中，得， 此时两车之间的距离为：， 秒时两车相距最近，最近距离是． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂函数图象，求出函数表达式． 25. （1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图，在矩形的边和上分别取点E、F，且，连接、交于点O，将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，试说明：点Q是边的三等分点． （2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图，已知线段，点E是的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形，使得．（不写作法参保留作图痕迹） （3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角、如图，点C是上一点，用尺规作出，后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与、交干点M、N，当与满足某种数量关系时，即可得到，试猜想与的数量关系并证明． （4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形，若，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）在矩形中，，可得，由折叠可得，进而，可得，所以，得证点Q是边的三等分点； （2）以为直径画圆O，在圆O上取点N，连接，延长至D，使，延长至A，使，连接，则四边形为所求四边形； （3）取的中点H，连接，，由等边对等角与三角形的外角可得，由与可得，故，所以； （4）作于点M，推导出，在和中，，得到；在和中，，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ， ∵将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上， ，， 在矩形中，， 四边形是矩形， ， ， ，即Q是边的三等分点． 【小问2详解】 解：如图2，以为直径画圆O，在圆O上取点N，连接，延长至D，使，延长至A，使，连接，则四边形为所求四边形； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵为圆O的直径， ∴， ∴； ∴平行四边形符合条件； 【小问3详解】 取的中点H，连接， ，， ， ， ∵点H是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问4详解】 作于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，k的取值范围是． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图．解题的关键是读懂题意，熟练运用各个知识． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： （3）过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2）见解析 （3）① ②见解析 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点E作于点G，勾股定理求出的长，等积法求出的长，利用三角形函数得到，再根据，即可得出结论； （3）①先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点， 抛物线的解析式为， 故； 【小问2详解】 （2）过点E作于点G， ∵，令则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 把代入中，得， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：①抛物线解析式为， 时，，即，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 故直线的解析式为， 时，，即， 当时，点在点的左侧，， 当时，点在点的右侧，， 故； ②绘制的函数图象如图所示： 点，， 故当时，的值只有1个，故点只有1个； 当时，的值只有2个，故点只有2个； 当时，的值只有3个，故点只有3个． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，本题的关键是运用数形结合和分类讨论的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$