精品解析：2024年福建省厦门市双十中学中考二模数学试题

厦门双十中学2023—2024学年下初三中考模拟考试试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共5页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不予得分； 3．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（ ） A. 92° B. 90° C. 88° D. 86° 5. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，f越大 B f与P都可能发生变化 C. 试验次数越多，f越接近于P D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A. B. C. D. 2 9. 综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程． （1）分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，相交于两点，作过这两点的直线交于O； （2）连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C； （3）连接，，则四边形即为所求． 在小明的作法中，可以直接用于判定四边形为平行四边形的依据是（ ） A. （两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 对角线互相平分 10. 如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空) 12. 2025年，将在中国进行标准化制定，预计2030年左右，实现商用．其理论数据传输速率每秒，约等于，将1100000000用科学记数法表示为______ 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是______． 14. 小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图，这周小明活动时间的中位数是______ 15. 台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于______（用含m和v，的式子表示） 16. 已知点，，在抛物线上，且．则n的取值范围是______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，已知点、、、在一条直线上，，，且．求证：． 19. 解不等式组： 20. 化简．下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程： 小红的解法：解：原式 小莉的解法：解：原式 （1）小红的解法依据是______；小莉的解法依据是______．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． （2）若，请任选一种解法，求出代数式的值． 21. 随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人． （2）“非常了解”4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 22. 如图1，在四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点E． （1）证明：； （2）若； ①证明：是切线 ②如图2连接交于点F，连接，求的度数 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 （1）图3是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图4是其侧面示意图． （2）已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线． （3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直． 图3 图4 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得AD＝0.8米， ①DF＝______；______②请求出此时影子GH的长度； 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由； 任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00—15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出BQ的取值范围：______ 24. 在中，，平分，点是段上的动点（不与重合） （1）如图，若，求证：． （2）如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 25. 顶点为D的抛物线过和 （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线交抛物线于点A和B（A在B的左边），交y轴于C；直线交x轴于点P， ①若的面积是面积的2倍，求k的值； ②连接，过点B作，交y轴于Q，用等式表示和数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门双十中学2023—2024学年下初三中考模拟考试试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共5页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不予得分； 3．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数的相反数是2024， 故选：A． 2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图． 【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高， 故选A． 【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 4. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（ ） A. 92° B. 90° C. 88° D. 86° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的定义，平行线的性质求解． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，f越大 B. f与P都可能发生变化 C. 试验次数越多，f越接近于P D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算，掌握“，，”是解题的关键． 【详解】解：A.，不能进行运算，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论错误，不符合题意； D.，结论正确，符合题意； 故选：D． 7. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵， 根据题意，可列方程：， 故选：B． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8， ∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4， 由题意得：AC=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴的长为：＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． 9. 综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程． （1）分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，相交于两点，作过这两点的直线交于O； （2）连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C； （3）连接，，则四边形即为所求． 在小明的作法中，可以直接用于判定四边形为平行四边形的依据是（ ） A. （两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 一组对边平行且相等 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：D． 10. 如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质、反比例函数的性质、平移的性质，由题意得，，作轴于，证明得出，设将沿轴正方向平移个单位后得到，得出，，结合反比例函数的性质求出的值即可得解． 【详解】解：∵点，， ∴，， 如图：作轴于， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设将沿轴正方向平移个单位后得到， ∴，， ∵点的对应点恰好落在双曲线上， ∴， 解得：， ∴平移的距离为， 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空) 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：由数轴可得 ∴ 【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键． 12. 2025年，将在中国进行标准化制定，预计2030年左右，实现商用．其理论数据传输速率每秒，约等于，将1100000000用科学记数法表示为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：1100000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：6． 14. 小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图，这周小明活动时间的中位数是______ 【答案】63 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，根据折线统计图和中位数的计算方法进行求解即可得出答案． 【详解】解：把这组数由小到大排列，，，，，，，， 则中位数为： 故答案为：． 15. 台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于______（用含m和v，的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 16. 已知点，，在抛物线上，且．则n的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，抛物线的对称轴为直线，由点，在抛物线上，可知对称轴为直线，则，即，，，，当时，，即，可求，由，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线， ∵点，在抛物线上， ∴对称轴为直线， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，或， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的混合运算，先计算绝对值，二次根式，负整数指数幂，再计算加减即可求解． 【详解】解：原式 18. 如图，已知点、、、在一条直线上，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．先证出，，再证明，得出对应角相等即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解每个不等式，再得出不等式组的解集即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 解得：； ， 左右同乘以得：． 移项得：， 解得：， 故不等式组的解集为：． 20. 化简．下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程： 小红的解法：解：原式 小莉的解法：解：原式 （1）小红的解法依据是______；小莉的解法依据是______．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． （2）若，请任选一种解法，求出代数式的值． 【答案】（1）②；④ （2）； 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质，乘法分配律计算即可． （2）化简后，代入求值即可若，请任选一种解法，求出代数式的值． 本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确理解运算的算理，化简是解题的关键． 【小问1详解】 根据分式的基本性质，乘法分配律， 故答案为：②；④． 【小问2详解】 方法1、 ， 当时， 原式． 方法2、、 ， 当时， 原式． 21. 随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）估计这所学校3000名学生中，“不了解”的人数是多少人． （2）“非常了解”的4人中有，，两名男生，，，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人 （2）恰好抽到2名男生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率，扇形统计图，条形统计图， （1）由非常了解的学生人数及其所占百分比可得人数，用总人数乘以样本中不了解所对应的百分比可得； （2）将抽取分别记为第一次和第二次，列表表示出所有可能出现的结果，从中找到恰好抽到2名男生的结果数，再利用概率公式计算即可得； 掌握概率，扇形统计图，条形统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：（1）本次调查的学生总人数为， “不了解”对应的百分比， ∴估计该校名学生中“不了解”的人数是（人）， 即估计这所学校名学生中，“不了解”的人数是人； 【小问2详解】 解：将抽取分别记为第一次和第二次，用下表列出所有可能出现结果 第一次 第二次 由表可知，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，可能出现结果有种，恰好抽到2名男生的结果有2个， ∴P（抽到2名男生） ， 即恰好抽到2名男生的概率为． 22. 如图1，在四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点E． （1）证明：； （2）若； ①证明：是的切线 ②如图2连接交于点F，连接，求的度数 【答案】（1）见解析 （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，根据等腰三角形的性质求出即可； （2）①根据是的直径，得出，证明，得出，求出，即可证明结论； ②连接，证明A、E、F、D四点共圆，得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵是半径， ∴是的切线； ②如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴E，F都在以为直径的圆上， ∴A、E、F、D四点共圆， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定和性质，四点共圆，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 （1）图3是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图4是其侧面示意图． （2）已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线． （3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直． 图3 图4 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得AD＝08米， ①DF＝______；______②请求出此时影子GH的长度； 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由； 任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00—15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出BQ的取值范围：______ 【答案】任务1：①米，；②米；任务2：小明会被照到；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1 ：①作于，作于，根据等腰三角形的性质并结合题意得出米，米，求出的长度，最后由正切的定义即可得出答案；②证明四边形为矩形，得出米，，，证明，得出，求出米，再由勾股定理计算即可得出答案； 任务2：作交于，由（1）得：，米，解直角三角形得出的长，从而即可得出答案； 任务3：当、，分别解直角三角形，求出的长，即可得出答案． 【详解】解：任务1：①如图，作于，作于， ， ∵米，米，伞面直径是的4倍， ∴米，米， ∴（米）， ∴； ②∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 任务2：如图，作交于， ， 由（1）得：，米， ∵， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， ∴小明刚好被照射到时离的距离为， ∴小明会被照到； 任务3：由任务2得：当时，米， 当时，，米， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， 此时，米， ∴． 24. 在中，，平分，点是段上的动点（不与重合） （1）如图，若，求证：． （2）如图，点是线段延长线上的一点，且， 求证：是的中点； 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；证明见解析． 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）①设，，则，可得，，即得，即可求证 证明，得到，再根据三线合一即可求证； 本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，中点的定义，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：设，，则， ∴，， ∴ ∴， ∴是的中点； 延长至使，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 25. 顶点为D的抛物线过和 （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线交抛物线于点A和B（A在B的左边），交y轴于C；直线交x轴于点P， ①若的面积是面积的2倍，求k的值； ②连接，过点B作，交y轴于Q，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意得，证明，求得，推出，据此求解即可； ②联立求得，由，求得，得到，求得，证明，求得，即可证明． 【小问1详解】 解：∵抛物线过， ∴， ∴， 又∵抛物线过， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：①由题得，， ∴， ∴， 作轴于M， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∵，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ； ②由得，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴轴， ∴， 作轴于N， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式、相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是求出函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$