精品解析：2024年四川省泸州市龙马潭区中考二模数学试题

龙马潭区初中2024届毕业班第二次模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷满分为120分；考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷和草稿纸上答题无效．考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 近几年，雅安市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，年突破亿大关．亿这个数用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 一个正六边形的边长为6，则它的边心距是（ ） A. 3 B. C. D. 12 4. 小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2=70°，则∠1=（ ） A. 22° B. 20° C. 25° D. 30° 5. 若式子有意义，则实数m取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＞﹣2且m≠1 C. m≥﹣2 D. m≥﹣2且m≠1 6. 某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示： 课外阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（　　） A 1.2和1.5 B. 1.2和4 C. 1.25和1.5 D. 1.25 和4 7. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 2﹣ B. 2﹣ C. 4﹣ D. 4﹣ 9. 已知，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( ) A. B. C. 1 D. 12. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A. m≤4 B. m≥2 C. 2≤m≤4 D. 2＜m＜4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 15. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是_____． 16. 如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是______． 三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分） 17. 计算 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，已知，，，试证明：． 四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分） 20. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们的喜欢，为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元． （2）若该商店计划购进这两种纪念品共150件，且B种纪念品数量不超过A种纪念品数量的2倍，设购进A种纪念品为m件，总费用为w元，请设计出最省钱的购进方案． 21. 为庆祝中国共产党成立周年，文昌中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表： 各组别人数占比情况 组别 成绩范围 频数 A 2 B C 9 D （1）分别求，的值； （2）若把每组中各学生的成绩用该组数据的组中值代替（如～的组中值为），估计全校学生的平均成绩； （3）现要将组的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C． （1）求出一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P是一次函数图象上的动点，若把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 23. 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：） 六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分） 24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足是点H，过点C作直线分别与，的延长线交于点E，F，且． （1）求证：是的切线． （2）如果， ①求的长． ②求的面积． 25. 如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙马潭区初中2024届毕业班第二次模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷满分为120分；考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷和草稿纸上答题无效．考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 近几年，雅安市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，年突破亿大关．亿这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成（1≤a<10，n为整数）的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案； 【详解】解：亿， 故选：B． 3. 一个正六边形的边长为6，则它的边心距是（ ） A. 3 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，易得为等边三角形，利用三线合一和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，正六边形的中心是O，一边是，过O作与G， 则：，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴，即边心距是； 故选C． 4. 小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2=70°，则∠1=（ ） A. 22° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2=∠EFG=70°，再根据∠AFE=90°，即可得出∠AFG=90°-70°=20°，进而得到∠1=∠AFG=20°． 【详解】解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC， ∴∠2=∠EFG=70°， 又∵∠AFE=90°， ∴∠AFG=90°-70°=20°， ∴∠1=∠AFG=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键． 5. 若式子有意义，则实数m的取值范围是（　　） A. m＞﹣2 B. m＞﹣2且m≠1 C. m≥﹣2 D. m≥﹣2且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ∴m≥﹣2且m≠1， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件. 6. 某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示： 课外阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2 人数 2 3 4 1 那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（　　） A. 1.2和1.5 B. 1.2和4 C. 1.25和1.5 D. 1.25 和4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、众数的计算方法求出结果即可． 【详解】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为； 学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5； 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数、众数，掌握平均数的计算方法是正确计算的前提． 7. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组的整数解为3、4、5， ∴，解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 2﹣ B. 2﹣ C. 4﹣ D. 4﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E， ∵AB=2，∠ABC=30°， ∴AE=AB=1， 又∵BC=4， ∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π， 故选A． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法． 9. 已知，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形． 10. 如图，，分别与相切与点A，B，E，连接并延长与的延长线相交于点F．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分别与相切与点，结合圆的切线的性质，切线长定理得到，，，，再由 ，可证，进而可得，再由三线合一可得，再由同角的余角相等可得，进而可证，再由相似三角形对应边成比例求得，最后通过勾股定理即可求解； 【详解】解：连接， 分别与相切与点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，掌握切线长相等，等腰三角形的三线合一，利用相似三角形对应边成比例求边长是解题的关键． 11. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( ) A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长． 【详解】解：作MH⊥AC于H，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAH=45°， ∴△AMH为等腰直角三角形， ∴AH=MH=AM=×2=， ∵CM平分∠ACB， ∴BM=MH=， ∴AB=2+， ∴AC=AB=（2+）=2+2， ∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+， ∵BD⊥AC， ∴ON∥MH， ∴△CON∽△CHM， ∴，即， ∴ON=1． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和正方形的性质，解题的关键是熟悉相关定理和性质. 12. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A. m≤4 B. m≥2 C. 2≤m≤4 D. 2＜m＜4 【答案】C 【解析】 【分析】先将点代入可得一个关于的等式，再根据“二次函数的图象上有且只有一个和谐点”可得与有且只有一个交点，从而可得一个关于的等式，解方程组求出的值，然后根据二次函数的图象与性质分析最大值与最小值即可得出答案． 【详解】解：将点代入得：，即， 二次函数的图象上有且只有一个和谐点， 二次函数与有且只有一个交点， 关于的一元二次方程只有一个实数根， 此方程根的判别式，即， 联立，解得， 则函数为， 当时，，解得或， 画出二次函数的图象如下： 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取得最大值，最大值为1， 当时，函数的最小值为，最大值为1， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键． 利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 故． 故答案为：3． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比 15. 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．先由根与根的判别式得出t的取值范围，再由根与系数的关系得出，，再代入，然后根据二次函数最值求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，； ∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为16． 故答案为：16． 16. 如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，2为半径的上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 中，， ∴， 即长度的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分） 17. 计算 【答案】5 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握各种运算法则和熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再代入即可得解。 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 19. 如图，已知，，，试证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，时间掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 只要证明，即可推出，即可推出． 【详解】证明：， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分） 20. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们的喜欢，为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元． （2）若该商店计划购进这两种纪念品共150件，且B种纪念品的数量不超过A种纪念品数量的2倍，设购进A种纪念品为m件，总费用为w元，请设计出最省钱的购进方案． 【答案】（1）每件A纪念品的进价为50元，每件B纪念品的进价为20元 （2）当购进A纪念品50件，B纪念品100件时，总费用最少 【解析】 【分析】（1）设每件A纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元．再根据“用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．则购进B纪念品件，然后再列出W与m的关系式，再根据“B种纪念品的数量不超过A种纪念品数量的2倍”列不等式求解即可 【小问1详解】 解：设每件A纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元． 根据题意，得． 解得 经检验是原方程的解 ∴ 答：每件A纪念品的进价为50元，每件B纪念品的进价为20元． 【小问2详解】 解：设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．则购进B纪念品件．根据题意，得 ． ∵B的数量不超过A的2倍， ∴ ∴． ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当时，W最小． 此时 答：当购进A纪念品50件，B纪念品100件时，总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，审清题意、列出分式方程和不等式组是解答本题的关键． 21. 为庆祝中国共产党成立周年，文昌中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表： 各组别人数占比情况 组别 成绩范围 频数 A 2 B C 9 D （1）分别求，的值； （2）若把每组中各学生的成绩用该组数据的组中值代替（如～的组中值为），估计全校学生的平均成绩； （3）现要将组的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】（1）， （2）估计全校学生的平均成绩为分 （3）甲、乙两位同学分到同一组的概率为 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法、频数分布表和扇形统计图． （1）由抽取的人数乘以所占的百分比求出，即可求出的值； （2）求出样本平均数，即可得出答案； （3）画树状图，共有种等可能的结果，符合条件的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，则， 【小问2详解】 （分）， 即估计全校学生的平均成绩为82.5分； 【小问3详解】 解析：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种， 甲、乙两位同学分到同一组的概率为． 五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C． （1）求出一次函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点P是一次函数图象上的动点，若把分成面积比等于的两部分，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为 （2）不等式解集为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法得出，计算，两点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）根据图象即可求得； （3）根据把分成面积比等于两部分，可分情况讨论，①当时；②当时；代入三角形面积公式可解答． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上 ， 反比例函数为， ∵反比例函数的图象经过点， ，， ，，把A、B的坐标代入， 得，解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象，不等式解集为：或． 【小问3详解】 解：作于M，轴于N，轴于F，则，设与y轴交于点E， ． ，，，， ． 把分成面积比等于2：3的两部分， 同理， 把分成面积比等于2：3的两部分， ∵直线交坐标轴于D、E， ，， ∵把分成面积比等于2：3的两部分， 或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 23. 在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】该建筑物的高度约为31.9m 【解析】 【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解． 【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H 则，， ∵ ∴设，则 在中， ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴， ∴， 设，则 在中， ∵ ∴ 在中， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ 答：该建筑物的高度约为31.9m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 六、解答题（本大题共2个小题，每题12分，共24分） 24. 如图，是的直径，是的弦，，垂足是点H，过点C作直线分别与，的延长线交于点E，F，且． （1）求证：是的切线． （2）如果， ①求的长． ②求的面积． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接、，根据垂径定理得到平分弦，平分，即有，再根据，证得，即有，则有，即可得，即有，则问题得证； （2）①利用勾股定理求出、、，在中，，在中，，即可得到，则问题得解； ②过F点作，交的延长线于点P，先证，再证明，即可求出，则的面积可求． 【小问1详解】 连接、，如图_2 ∵是的直径， ∴，， ∵， ∴平分弦，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 ①∵，， ∴在（1）的结论中有，， ∴在中，， 同理利用勾股定理，可求得，， ∴，，即， 在中，， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ②过F点作，交的延长线于点P，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴， 故的面积为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点． 25. 如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】（1） （2）最大值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，设，则，，求出，，则，利用二次函数的性质即可求出答案； （3）求出，得到，进而推出将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后的抛物线解析式为；如图所示，取点，连接，证明是等腰直角三角形，且，得到，则与抛物线 的交点即为点G，同理可得直线的解析式为，联立得，解得或（舍去），则点G的坐标为；同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，则，同理可求出点G的坐标为． 【小问1详解】 解：把，代入中得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线解析式为，设交于H， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴ ∴ 小问3详解】 解：∵抛物线交y轴于点C． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为； 如图所示，取点，连接， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线 的交点即为点G， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点G的坐标为； 同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线 的交点即为点G的位置， 同理可得直线的解析式为， 连接得， 解得或（舍去）， ∴点G的坐标为； 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理得逆定理等等，通过构造等腰直角三角形得到45度的角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$