精品解析：河北省沧州市孟村回族自治县2023-2024学年九年级下学期教学质量抽测数学试题

孟村县中小学教学监测评估测试卷 九年级数学 （测试时间：70分钟，满分100分） 一．单项选择题（每小题4分，共24分） 1. 如图，嘉嘉和淇淇在做数学游戏，设淇淇想的数是，嘉嘉猜中的结果是，则（ ） A. B. C. D. 2. 质数是只有1和它本身两个因数的自然数，规定：1既不是质数也不是合数．如果两个质数相差2，那么称这两个质数为“孪生质数”．在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取，使； ③作射线，即为所求． 淇淇 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． A. 只有嘉嘉对 B. 只有淇淇对 C. 两人都对 D. 两人都不对 4. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 5. 用绘图软件绘制直线，直线与坐标轴的交点分别为，，其中不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点始终在视窗中心．若使点在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的（为整数），则的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，点，在线段上，且满足，点在射线上，且，则满足上述条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 二．填空题（每空4分，共20分） 7. 已知实数，在数轴上的位置如图所示． （1）关于的不等式组的解集为__________； （2）关于的一元二次方程的根的情况是_________________________．（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”） 8. 某数学小组在一个半径为的圆形场地上做探究实践活动． （）如图，小组将圆形场地分为等份，机器人从一个点到另外一个点均是直线行走． ①机器人从点走到点的路程为________； ②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线：；路线：，路线的长记为，路线的长记为，则________；（填“”“”或“”） （）如图，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，，按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则______． 三．解答题（9题8分，10题8分，11题12分，12题14分，13题14分，共56分） 9. 已知多项式． （1）在化简多项式时，小明同学的解题过程如图所示．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请你写出正确的解答过程； （2）淇淇说：“若给出与互为相反数，即可求出多项式的值．”“嘉嘉说：“若给出与互为倒数，即可求出多项式的值．”请你判断哪个同学说的对，并按此同学赋予的条件求的值． 10. 如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M． （1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求的值； （2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树的高度．（注：，，） 11. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点．正比例函数的图象与交于点． （1）求的值及的解析式； （2）求的长，并求当直线与（为常数）的交点在第二象限时，的取值范围； （3）若点关于直线的对称点恰好落在轴上，直接写出的值． 12. 如图1，在中，，，．半圆的直径为，在初始位置时，圆心与点重合，为半圆上的点．且． （1）求证：； （2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转（旋转角度不超过），当半圆恰好与的边相切时，求点运动的路径长； （3）当半圆旋转至如图3所示的位置时，与直线交于点，，且，求的值． 13. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，是抛物线上的两点，若，求的取值范围； （3）将平移至，与轴的交点能否为点和点？若能，求移动的最短路程；若不能，请说明理由； （4）直线与抛物线交于，两点，把抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，若在直线的两侧的“美点”个数之比为1：2，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孟村县中小学教学监测评估测试卷 九年级数学 （测试时间：70分钟，满分100分） 一．单项选择题（每小题4分，共24分） 1. 如图，嘉嘉和淇淇在做数学游戏，设淇淇想的数是，嘉嘉猜中的结果是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减，根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： 根据题意得，， 故选：． 2. 质数是只有1和它本身两个因数的自然数，规定：1既不是质数也不是合数．如果两个质数相差2，那么称这两个质数为“孪生质数”．在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定5的“孪生质数”为3和7，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：10以内的质数是2，3，5，7，共4个， 而： 所以，5的“孪生质数”为3和7，共2个， 所以，在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比． 3. 画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取，使； ③作射线，即为所求． 淇淇 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． A. 只有嘉嘉对 B. 只有淇淇对 C. 两人都对 D. 两人都不对 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质，等腰三角形的性质可判断嘉嘉的作法；利用三角形全等可判定淇淇的作法． 【详解】∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故射线平分， 故嘉嘉的作法正确； ∵， ∴， ∴， ∵，； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故射线平分， 故淇淇的作法正确； 故选C． 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 4. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】∵四边形中，，， ∴， ∵车轮的直径为24英寸，约， ∴需要的铁皮面积约是， 故选A． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 5. 用绘图软件绘制直线，直线与坐标轴的交点分别为，，其中不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点始终在视窗中心．若使点在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的（为整数），则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知的可视范围是，根据得到，可视范围是，故，求k的最小整数解即可． 【详解】∵已知的可视范围是， 根据得到， ∴可视范围是， ∴， 解得 故k的最小整数解为， 故选B． 【点睛】本题考查了可视范围问题，正确确定可视范围变化范围是解题的关键． 6. 如图，，，点，在线段上，且满足，点在射线上，且，则满足上述条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 3个以上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，轴对称，利用轴对称求出的最小值是解题的关键． 作E关于的对称点，连接交于点O，则，．根据直角三角形的性质和轴对称的性质求出的最小值，结合当P在点A处时的值，确定点在射线上时，的值的变化范围，根据变化范围求解即可． 【详解】解：作E关于的对称点，连接交于点O，则，连接交于P，过作于H， 连接交于P，过作于H， ∵E，关于对称， ∴， ∴， ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当P在点A处时，， ∴点在线段上时，， ∴点P在从点出发，沿射线移动的过程中，的值的变化是：由减少到，再由逐渐增大， ∴点在射线上，且满足，则这样的P点个数有两个． 故选：B． 二．填空题（每空4分，共20分） 7. 已知实数，在数轴上的位置如图所示． （1）关于的不等式组的解集为__________； （2）关于的一元二次方程的根的情况是_________________________．（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”） 【答案】 ①. ②. 有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】（1）根据数轴得到，结合大大取大确定解集即可． （2）根据数轴得到，计算根的判别式即可． 【详解】（1）根据数轴得到， ∴关于的不等式组的解集为， 故答案为：． （2）根据数轴得到， ∵的判别式为， ∴有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了数轴比较大小，确定不等式组的解集，计算根的判别式，熟练掌握判别式的计算是解题的关键． 8. 某数学小组在一个半径为的圆形场地上做探究实践活动． （）如图，小组将圆形场地分为等份，机器人从一个点到另外一个点均是直线行走． ①机器人从点走到点的路程为________； ②机器人从点到点走了两条不同的路线．路线：；路线：，路线的长记为，路线的长记为，则________；（填“”“”或“”） （）如图，机器人从出发，沿与半径夹角为的方向行走，走到场地边缘后，再沿与夹角为的方向折向行走至，，按照这样的方式，机器人走到时第一次超过，且，则______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】（）①由中心角为，得从点走到点其路径对的圆心角为，根据半径为利用勾股定理计算即可； ②根据中心角为，得，继而可判定，， 都是等边三角形，得到， 得到，根据，得到为圆的直径， 根据中心角为，得到，，， 可得，，即得，比较大小即可求解； （）设多边形的中心角为，当转到时，，，根据可求得，进而即可求解． 【详解】解：（）①∵中心角为， ∴从点走到点其路径对的圆心角为， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵中心角为， ∴， ∴，， 都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为圆的直径， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）设多边形的中心角为， 当转到时，，， ∵， ∴， 解得， ∵半径相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心角的计算，等边三角形的判定和性质，勾股定理，无理数的估算，等腰三角形的性质，熟练掌握中心角的计算是解题的关键． 三．解答题（9题8分，10题8分，11题12分，12题14分，13题14分，共56分） 9. 已知多项式． （1）在化简多项式时，小明同学的解题过程如图所示．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请你写出正确的解答过程； （2）淇淇说：“若给出与互为相反数，即可求出多项式的值．”“嘉嘉说：“若给出与互为倒数，即可求出多项式的值．”请你判断哪个同学说的对，并按此同学赋予的条件求的值． 【答案】（1） ①； （2）淇淇说的对，值为 【解析】 【分析】（1）观察小明的作业，找出出错的步骤，写出正确的解答过程即可； （2）由题意可求出，A结果化简后代入计算即可求出值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 淇淇说的对； 当与互为相反数时，， 原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键． 10. 如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M． （1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求的值； （2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树的高度．（注：，，） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键． （1）根据互余的性质计算即可； （2）如图，过点作，垂足为，则米．设米，解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：如图1；； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，则米．设米． 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 解得． 答：树的高度为米． 11. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点．正比例函数的图象与交于点． （1）求的值及的解析式； （2）求的长，并求当直线与（为常数）的交点在第二象限时，的取值范围； （3）若点关于直线的对称点恰好落在轴上，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为4 【解析】 【分析】（1）把代入得求出点C的坐标，设的解析式为， 将点C的坐标代入，即可求出的解析式； （2）先求出点B的坐标，再根据两点之间的距离公式即可求解，再求出点A的坐标，即可打得出a的取值范围； （3）连接，根据，，得出，根据轴对称的性质得出，则轴，即可进行解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得， ． 设的解析式为， 将点代入，得， 的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意， 把代入得：， ∴， ∵， ； 把代入得：， ∴， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵点M和点关于直线对称， ∴， ∴， ∵点M和点关于直线对称， ∴， ∴，即轴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，两点之间的距离公式，轴对称的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，两点之间的距离公式，以及轴对称的相关性质． 12. 如图1，在中，，，．半圆的直径为，在初始位置时，圆心与点重合，为半圆上的点．且． （1）求证：； （2）如图2，将半圆绕点逆时针旋转（旋转角度不超过），当半圆恰好与的边相切时，求点运动的路径长； （3）当半圆旋转至如图3所示的位置时，与直线交于点，，且，求的值． 【答案】（1）证明：为直径， ． 又， ． 在中，， ． ， ． 在与中， ， ． （2）或 （3） 【解析】 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，角所对直角边等于斜边的一半，利用角角边证明全等即可． (2)分半圆分别与三边相切，根据弧长公式计算即可． (3)证明，结合勾股定理，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，， ， 半圆的半径为． 如图1，当半圆与边相切时，， ， ，圆心到的距离为的长，等于半径， 半圆与边也相切．此时点运动的路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧， 弧长为； 如图2，当半圆与边相切时，，则． 点的运动路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，弧长为； 【小问3详解】 ，， ， ， ， ． 在中，，， ， ． ，， ， ， ． 13. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，是抛物线上的两点，若，求的取值范围； （3）将平移至，与轴的交点能否为点和点？若能，求移动的最短路程；若不能，请说明理由； （4）直线与抛物线交于，两点，把抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，若在直线的两侧的“美点”个数之比为1：2，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当或时， （3）能，路程为 （4）或 【解析】 【分析】（1）将三点坐标代入，求出的值即可； （2）确定抛物线的对称轴为直线，再利用对称性解决问题即可； （3）分别求出平移前和平移后抛物线的顶点坐标，再根据两点剖距离公式求出两顶点间的距离即可； （4）先确定“美点”的个数，再分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点． ∴， 解得， 该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点的坐标为， 当时，， 根据函数图象知， 当或时，； 【小问3详解】 能； 的解析式为，顶点坐标为， 平移后的解析式为，顶点坐标为， 移动的最短路程为； 【小问4详解】 抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“美点”一共有15个，分别是，，，，， 直线两侧的美点个数分别是5和10． 如图1，直线在点和点之间时，的取值范围为； 如图2，直线在点P和点之间时，的取值范围为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，解题的关键是学会灵活运用二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $