精品解析：陕西省榆林市高新区2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题

榆林高新中学八年级数学第二阶段素养达标检测试题 （2023-2024学年第二学期） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 分式 有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度．得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中：中，是分式的共有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面式子从左边到右边的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A. 20 B. 18 C. 15 D. 26 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 当______时，分式的值为0． 10. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 11. 已知，求代数式__________． 12. 如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集为___________． 13. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠C=50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数为______． 三、解答题（共81分） 14. 分解因式 （1） （2） 15. 解不等式组：；并将解集在数轴上表示出来． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解分式方程：． 18. 先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值． 19. 若关于x的分式方程有增根，求a的值． 20. 已知：、、是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 21. 尺规作图： 如图， 在中， ， ， 请用尺规在边 上求作一点 ， 连接 后使得 (不写作法，保留作图痕迹) 22. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 24. 某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等． （1）篮球和排球的单价各是多少元？ （2）现要购买篮球和排球共30个，总费用不超过2800元．问最少购买多少个排球？ 25. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后（如图2）解决了这个问题． （1）写出线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，等腰中，，，点E，F在边上，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林高新中学八年级数学第二阶段素养达标检测试题 （2023-2024学年第二学期） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 分式 有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为零求解即可． 【详解】解：分式 有意义的条件是，即， 故选：A． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度．得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点平移的规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”求解即可． 【详解】将点向上平移个单位长度，点的横坐标不变，纵坐标增加个单位长度，得到点，再向左平移个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标减少个单位长度，得到点． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移，熟记平面直角坐标系中点平移的变化规律（横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减）是解题的关键． 4. 下列各式中：中，是分式的共有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进而解答即可． 【详解】是分式，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母． 5. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子与分母没有公因式称为最简分式；根据最简分式的意义进行判断即可． 【详解】解：是最简分式；而，，； 故选：A． 6. 下面式子从左边到右边的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可． 【详解】解：A．不是因式分解，故A错误； B．属于整式乘法，不是因式分解，故B错误； C．不是因式分解，故C错误； D．属于因式分解，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是因式分解的定义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的定义． 7. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行解答． 【详解】解：当时，，故A选项变形不正确，不合题意； ，故B选项变形不正确，不合题意； ，故C选项变形正确，符合题意； ，故D选项变形不正确，不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握“分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变” ． 8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，平移距离为3，则阴影部分的面积为（　　） A. 20 B. 18 C. 15 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】由，推出即可解决问题． 【详解】解∶平移距离为3， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 当______时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件和分式有意义的条件，掌握分式值为0则分子为0且分母不为0是解题的关键；根据分式值为零的条件和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ， 解得， ， ， ， 故答案为：． 10. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 11. 已知，求代数式__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值；由已知消去字母a，得到关于b的一元二次方程，解之求得b的值，即可求得a的值，从而求得结果． 【详解】解：由得：，代入中，整理得， 解得：， 对应地：； 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为或； 故答案为：或． 12. 如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出直线在轴下方所对的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知，当时，，即：， ∴不等式的解集为， ∵当时，， ∴的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻找使一函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围，从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 13. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠C=50°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到△DBE，若DE恰好经过点A，设BE与AC相交于点F，则∠AFB的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质结合旋转的性质得出,进而利用三角形的外角得出答案． 【详解】， ， 旋转， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，三角形的外角性质，正确得出旋转角和旋转边是解题的关键． 三、解答题（共81分） 14. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，一般步骤是：先考虑提公因式法，再考虑公式法； （1）利用平方差公式即可分解； （2）先提取公因式a，再用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 15. 解不等式组：；并将解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为， 数轴上表示解集如图， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后在数轴上表示即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法及正确在数轴上表示出解集． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先变形，再根据同分母分式的加减法法则运算即可； （）先通分，再根据同分母分式的加减法法则运算即可； 本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， ． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出方程的解，最后需要对方程的解进行检验，看是否能使原分式的分母为零. 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 解得：． 经检验得，是原分式方程的根， ∴原分式方程的解为． 18. 先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】，-1. 【解析】 【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后选择使原式有意义的数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】原式 = ， 由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x≠2且x≠1，所以x=0， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键. 19. 若关于x的分式方程有增根，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程；求出分式方程的解及增根，再把增根代入所求的解中即可求出a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：； 由，得，此即分式方程的增根， 则， 所以． 20. 已知：、、是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 解：是等腰三角形．理由： ∵， ∴， ∴． ∴． 、、是的三边， ∴． ． 是等腰三角形． 【解析】 【分析】变形已知等式，并因式分解，根据三角形的三边关系、积为零知识可得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式和提取公因式法是解决本题的关键． 21. 尺规作图： 如图， 在中， ， ， 请用尺规在边 上求作一点 ， 连接 后使得 (不写作法，保留作图痕迹) 【答案】 解：如下图： 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质以及尺规作图， 要，即，作线段的垂直平分线，交于点P，则有，，所以，由此即可解题． 【详解】略 22. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示． 点的坐标为． （2） 如图所示． 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）可以由三个顶点的位置确定，只需分别画出这三个顶点关于原点的对应点，依次连接对应点，即可得到；点关于原点的对称点为，据此可求得三个顶点关于原点的对应点． （2）可以由三个顶点的位置确定，只需分别画出这三个顶点绕点逆时针旋转后的对应点，依次连接对应点，即可得到；根据对应点到旋转中心的距离相等，且一个点和对应点分别与旋转中心的连线组成的角为（逆时针旋转），即可求得三个顶点旋转后的对应点． 【小问1详解】 三个顶点关于原点的对应点分别为，，，依次连接，，，所得图形即为， 点的坐标为． 【小问2详解】 三个顶点旋转后的对应点分别为，，，依次连接，，，所得图形即为， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、图形的旋转、图形的中心对称，牢记图形旋转的性质和图形的中心对称的性质是解题的关键． 24. 某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等． （1）篮球和排球的单价各是多少元？ （2）现要购买篮球和排球共30个，总费用不超过2800元．问最少购买多少个排球？ 【答案】（1）篮球的单价为元，排球的单价为元． （2）最多购买13个篮球． 【解析】 【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买篮球y个，则购买排球个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过2800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设排球的单价为元，则篮球的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 篮球的单价为元，排球的单价为元． 【小问2详解】 设购买篮球个，则购买排球个， 依题意得：， 解得， 即的最大值为13， 最多购买13个篮球． 【点睛】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式． 25. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后（如图2）解决了这个问题． （1）写出线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，等腰中，，，点E，F在边上，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： 四边形是正方形， ； 绕点A顺时针旋转后得到， ，； ， 即点G在的延长线上； ， ， ， 即； ， ， ， 即； （2） ，理由如下： ，， ； 把绕点A顺时针旋转后得到，如图， 则，； ， 即， ； ， ， ， 即； ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明即可得线段之间的数量关系； （2）将绕点A顺时针旋转得到，连接，则，则由勾股定理得；证明，得，即可得线段之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，旋转三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $