第05讲 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第05讲 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 降次法 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 韦达定理计算题 【典型例题一 直接开平方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1) 9x2＝25;   (2) x2－144＝0. 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1) 4(x－2)2－36＝0； (2) x2＋6x＋9＝25； (3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 3．（23-24九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2=3； （2）2（x﹣3）2=72； （3）9（y+4）2﹣49=0； （4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1) (x－3)2－9＝0; (2) (2t－1)2＝16. 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)；   (2)； (3)；   (4). 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1);  (2)；(3);  (4). 7．（23-24八年级·全国·假期作业）利用直接开平方法解方程： （1）（x﹣1）2＝3． （2）x2﹣9＝0 （3）4（x﹣1）2﹣9＝0 （4）4（2x﹣1）2﹣36＝0 8．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程． (1) (2) 9．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 10．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【典型例题二 配方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·广东珠海·期中）用配方法解方程：． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 13．（22-23八年级下·山东济宁·期中）用配方法解方程：． 14．（2023九年级上·江苏·专题练习）解方程：（配方法）． 15．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解方程：． 16．（2023九年级上·江苏·专题练习）如何用配方法解方程：． 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解一元二次方程． 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)； (2)． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）（二次项系数不为1）用配方法解方程：． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·山东威海·期中）用公式法解方程：． 22．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 23．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）用公式法解方程： 24．（23-24九年级上·福建三明·阶段练习）（公式法） 25．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）用公式法解方程：． 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 27．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 28．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)． (2)． 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 32．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 33．（22-23九年级上·湖北恩施·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1． (1)求代数式的最小值． (2)的最小值． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 35．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 36．（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． (2)拓展：当代数式时，求的值． 37．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 38．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 39．（2024八年级·全国·竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 40．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）类比和转化是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解． 解无理方程（根号下含有未知数的方程），可通过方程两边平方把它转化为，解得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程即可． 运用上面方法解下列方程： (1)； (2)． 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 41．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 42．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 43．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 44．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 45．（22-23九年级上·北京·期中）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，用“降次法”求出的值是 ． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为（1），解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 请你用（2）中的方法求出方程的实数解． 46．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）换元法是重要的数学思想方法，用换元法可解决许多的数学问题，请看例题. 解方程：． 解：设．则原方程可化为． 解关于y的一元二次方程，得，． 当时，即，此时方程无实数根； 当时，即，解得． ∴原方程的根为． 请用换元法解方程： (1)； (2)． 47．（22-23九年级上·四川眉山·期中）阅读材料并解答下列问题．解方程：，设则原方程变形为．当m=1时，解得 当m=2时，解得所以原方程的解为解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．这种方法叫换元法．请你利用上述方法解答下列问题． (1)解方程： (2)若，求的值． 48．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为，． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：． 49．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）【阅读】 解方程：． 解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法” 【应用】 (1)若在方程中，设，则原方程可化为整式方程：_________． (2)请运用“整体换元法”解方程：． 50．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程， 如果设，∵，∴，用y表示x后代入得：． 应用：请用换元法解下列各题 (1)已知 ，则的值； (2)解方程：； 【典型例题六 降次法】 51．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 52．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 53．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 54．（2024·四川广安·模拟预测）若是关于的方程的一个根，则的值是 ． 55．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 56．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 57．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 58．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则 ． 59．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 60．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 61．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．求m的值． 62．（22-23九年级上·陕西西安·期中）已知关x的一元二次方程有实数根．求实数a的取值范围． 63．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的一元二次方程＋x＋m﹣1＝0．若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 64．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为2，求方程的另一根． 65．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个实数根，求a的非负整数解． 66．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 67．（23-24八年级下·北京平谷·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根． 68．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）k取什么值时，关于x的一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求此时方程的根． 69．（2020·北京·三模）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根． 70．（2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【典型例题八 韦达定理计算题】 71．（23-24九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 72．（22-23九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，求的值． 73．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 74．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 75．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 76．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 77．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值． 78．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 79．（2024·广东江门·一模）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)设此方程的两个根为与，若，求k的值． 80．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）已知关于x一元二次方程有两个根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若原方程的两个根，满足，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 降次法 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 韦达定理计算题 【典型例题一 直接开平方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1) 9x2＝25;   (2) x2－144＝0. 【答案】(1) x1＝，x2＝－  (2) x1＝12，x2＝－12 【详解】试题分析: (1)系数化为1后，直接开平方求解; (2)先把常数项移到等号的右边，再用直接开平方法求解. 试题解析： (1) 解：9x2＝25，x2=，所以x1＝，x2＝－      (2) 解：x2－144＝0，x2=144，所以x1＝12，x2＝－12. 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1) 4(x－2)2－36＝0； (2) x2＋6x＋9＝25； (3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 【答案】(1) x1＝5，x2＝－1；（2）x1＝－8，x2＝2；（3）x1＝－，x2＝－ 【详解】试题分析： （1）先移项，系数化为1后，再用直接开平方求解； （2）左边因式分解为一个完全平方式后，再用直接开平方法求解； （3）先移项，再用直接开平方法求解. 试题解析： (1) 4(x－2)2－36＝0，(x－2)2=9，x-2=±3，所以x1＝5，x2＝－1； (2) x2＋6x＋9＝25，(x+3)2=25，x+2=±5，所以x1＝－8，x2＝2； (3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0，2(3x-1)=±3(3x+1)，所以x1＝－，x2＝－. 3．（23-24九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣2）2=3； （2）2（x﹣3）2=72； （3）9（y+4）2﹣49=0； （4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2． 【答案】（1）x1=2+，x2=2﹣；（2）x1=9，x2=﹣3；（3）y1=﹣，y2=﹣；（4）y1=﹣，y2=1． 【分析】（1）直接开方，再移项、合并同类项即可； （2）先方程两边都除以2，再直接开方； （3）先把-49移项到方程右边，再直接开方； （4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 【详解】（1）x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2﹣； （2）（x﹣3）2=36， x﹣3=±6， ∴x1=9，x2=﹣3； （3）9（y+4）2=49， ∴（y+4）2=， ∴y+4=± ， ∴y1=﹣，y2=﹣； （4）∵2（2y﹣5）=±3（3y﹣1）， ∴y1=﹣，y2=1． 【点睛】考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1) (x－3)2－9＝0; (2) (2t－1)2＝16. 【答案】(1) x1＝0，x2＝6     (2) 解：t1＝，t2＝－ 【详解】试题分析： （1）先移项，再用直接开平方法求解； （2）用直接开平方法求解. 试题解析： (1) (x－3)2－9＝0，移项得(x－3)2=9，直接开平方得x-3=±3，所以x1＝0，x2＝6；      (2) (2t－1)2＝16，直接开平方得2t-1=±4，所以t1＝，t2＝－. 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)；   (2)； (3)；   (4). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），. 【分析】(1)直接开方,再移项、合并同类项即可 (2) 先把-9移项到方程右边,再直接开方 (3) 直接开方,再移项、合并同类项即可 (4)先把9移项到方程右边，再直接开方,再按解一元一次方程的方法求解 【详解】(1)∵， ∴ ∴. (2)∵， ∴， ∴， ∴ (3)∵， ∴， ∴. (4)∵， ∴或， 解得，. 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1);  (2)；(3);  (4). 【答案】(1) ；（2）；（3）；（4） 【分析】(1)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可 (2)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可; (3)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可; (4)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可 【详解】(1)，，即. (2)∵，∴， 即. (3)∵， ∴， ∴，即. (4)，解得. 【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 7．（23-24八年级·全国·假期作业）利用直接开平方法解方程： （1）（x﹣1）2＝3． （2）x2﹣9＝0 （3）4（x﹣1）2﹣9＝0 （4）4（2x﹣1）2﹣36＝0 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）两边开平方得到，再解两个一元一次方程即可； （2）先移项，再两边开平方即可； （3）和（4）先移项，然后两边同时除以4，再两边开平方，解两个一元一次方程即可． 【详解】解：（1） 解得：． （2） 解得：． （3） 解得：． （4） 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 8．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 9．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）移项，得，根据平方根的定义，得．即，． （2）根据平方根的定义，得，即，． 【详解】解：（1） ∴ ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 10．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或；（4）或 【分析】（1）直接开平方法即可； （2）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法； （3）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法； （4）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法． 【详解】（1）∵ x2=361， ∴x =19或x =-19． （2）∵2y2-72=0， 2 y 2=72， y 2=36， ∴y =6或y =-6． （3）∵5a2-1=0， 5 a 2=1， a 2=， ∴a =或a =-． （4）∵-8m2+36=0， -8 m 2=-36， m 2=， ∴m =或m =-． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 【典型例题二 配方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·广东珠海·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 即或， 解得，， 【点睛】本题考查一元二次方程配方法求解，掌握配方法是解题的关键． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）（2）两题直接用配方法解方程；第（3）题可以将看成一个整体，再用配方法解方程． （1）移项、配方，得，即， 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得， 即． 两边同时开平方， 得或， ∴，． （3）配方，得， 即． 两边同时开平方，得或， ∴，． 13．（22-23八年级下·山东济宁·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，直接根据配方法的步骤进行解方程即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ∴． 14．（2023九年级上·江苏·专题练习）解方程：（配方法）． 【答案】， 【分析】先把方程化成，它的二次项系数为，为了便于配方，需要把二次项系数化为． 【详解】移项，得 ． 二次项系数化为，得 ． 配方，得 ， ． 由此可得 ， ，． 【点睛】本题主要考查采用配方法解一元二次方程，牢记配方法的定义（通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法）是解题的关键． 15．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴，即， ∴， 所以原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 16．（2023九年级上·江苏·专题练习）如何用配方法解方程：． 【答案】 【分析】首先把常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，再配方，进行计算即可得到答案． 【详解】解：移常数项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 开平方得：或， 解得：或， 原方程的根是：． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程的步骤为：把常数项移到方程的右边；把方程的二次项系数化为1；在方程的左右两边同上加上一次项系数一半的平方；利用平方根的定义求解，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解一元二次方程． 【答案】， 【分析】利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， 移常数项得：                   两边配上一次项系数一半的平方得：，     即，            所以或 ，        解得：或，       所以原方程的根是，． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式，化为形式，开方化为一次方程求解； （2）根据完全平方公式，化为形式，开方化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或． ∴． （2）解：， ， ， ∴． ∴或． ∴． 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）将常数项移到方程右边，左边化的形式，方程右边小于0，故无解； （2）将方程化为，开平方求解； 【详解】（1）原方程为， 则， ∴， ∴原方程无实数根； （2）原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴，即，． 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程；根据等式性质，将方程化为是解题的关键． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）（二次项系数不为1）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】将一元二次方程化成的形式，再用直接开平方法，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 则，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握解法是解题的关键． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·山东威海·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：方程化为． ∴， ∴． 解得：，． 22．（23-24八年级下·山东济南·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用公式法即可求解。 【详解】解： ∵，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 23．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）用公式法解方程： 【答案】． 【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，当时，代入求根公式来求解． 24．（23-24九年级上·福建三明·阶段练习）（公式法） 【答案】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键． 25．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】先求出∆的值，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：公式法，熟记公式是解答本题的关键． 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． （2）把方程化成一般式，后根据步骤求解即可． 【详解】（1），，，， ∴． （2）整理得：， ∵，，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解方程，熟练掌握公式是解题的关键． 27．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)无实数根 (2)无实数根 【分析】(1)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． (2)先化成一般式，计算根的判别式，再求解． 【详解】（1），，，， ∴， ∴该方程无实数根． （2）整理为一般式，得：， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根． 【点睛】本题考查了解方程，先计算根的判别式是解题的关键． 28．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【分析】（1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （4）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：原方程化简得， ∴，，， ∴， ∴， ，； 【点睛】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． 29．（22-23八年级·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 方程可化为：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 整理得，即， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解题的关键． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ，， ∴ ∴ 解得：，； （2） 化简得 ，， ∴ ∴ 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 32．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 33．（22-23九年级上·湖北恩施·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1． (1)求代数式的最小值． (2)的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）仿照题意利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意并熟练掌握配方法是解题的关键． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ＝ ＝ ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键． 35．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 36．（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． (2)拓展：当代数式时，求的值． 【答案】(1) (2)1或-3 【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）将方程左边因式分式后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 37．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 【答案】(1)；1 (2)①，②或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把所给方程左边利用提公因式法和十字相乘法分解因式，然后仿照题意解方程即可； （2）①把方程两边同时平方，然后解方程即可；②令，则，解方程求出y的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或或， 解得， 故答案为：；1； （2）解：①∵， ∴，即， 解得或， ∵， ∴； ②令，则， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 38．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 39．（2024八年级·全国·竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）令，原方程化为：，利用因式分解法解方程得到，再解两个分式方程并检验即可得到答案． 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解： 原方程化为：， 则或， 解得． （2） 令，原方程化为：， 即， 则， 解得， ①，整理得， 即， 则， 解得． ②，整理得， 即， 则， 解得． 综上，． 40．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）类比和转化是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解． 解无理方程（根号下含有未知数的方程），可通过方程两边平方把它转化为，解得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程即可． 运用上面方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（1）方程左边分解因式即可完成求解； （2）方程两边分别平方，转化为整式方程，解整式方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，即， ∴， ∴或， 解得； 解，即， ∴或， 解得，； （2）解：， 两边平方得，即， ∴， ∴或， 解得或， 检验，不是原方程的解，舍去， 是原方程的解． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了运用转化思想解方程，读懂材料是解题的关键．含有二次根式的方程要检验． 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 41．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【答案】；． 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 42．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将原方程中的用代替，用y代替，即可解答； （2）设，方程可化为，求解n的值后根据进行取舍； （3）设，则原方程可化为：，求解得，，从而或，求解即可． 【详解】（1）∵设，那么， ∴原方程变形为． 故答案为：． （2）设， 原方程可化为， 解得： 即， ∵，， ∴． （3）， 设，则原方程可化为：， 解得：，， 当时，， 解得：，． 当时，，即， ∵， ∴该方程无解． ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．读懂材料，理解换元法的转化思想是解题的关键． 43．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； 故答案为：； （2）设，则，原方程化为 解得， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为； 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 44．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根； 【详解】解：设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 45．（22-23九年级上·北京·期中）阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，用“降次法”求出的值是 ． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为（1），解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 请你用（2）中的方法求出方程的实数解． 【答案】(1)2024 (2)， 【分析】（1）先用表示得到，再两边平方，则可用表示得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）设，则原方程可变为，利用因式分法解方程得到，．当时，，解方程得到或；当时，，利用根的判别式的意义判断 方程没有实数解，从而得到原方程的根为，． 【详解】（1）， ， ， ； 故答案为：2024； （2）， ， 设，则原方程可变为， 解得，． 当时，， 解得或； 当时，， ， ， 方程没有实数解， 原方程的根为，． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了换元法． 46．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）换元法是重要的数学思想方法，用换元法可解决许多的数学问题，请看例题. 解方程：． 解：设．则原方程可化为． 解关于y的一元二次方程，得，． 当时，即，此时方程无实数根； 当时，即，解得． ∴原方程的根为． 请用换元法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）令，得到新方程，仿照题中的方法求解即可； （2）令，得到新方程，仿照题中的方法求解即可． 【详解】（1）解：令，得到新方程， 解得：或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 经检验，和是原方程的根， ∴方程的解为，； （2）解：令，得到新方程， 解得：或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴方程的解为：，，． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的步骤，易错点换元降次是求解一元高次方程． 47．（22-23九年级上·四川眉山·期中）阅读材料并解答下列问题．解方程：，设则原方程变形为．当m=1时，解得 当m=2时，解得所以原方程的解为解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化．这种方法叫换元法．请你利用上述方法解答下列问题． (1)解方程： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， ∴， ∴， ∴或 ∴或， ∴或， ∴； （2）， ∴， 设，方程转化为：， ∴， ∴或， ∴或； ∴（舍去）或； ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解方程，是解题的关键． 48．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为，． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：． 【答案】， 【分析】根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 原方程的解为，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解此题的关键． 49．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）【阅读】 解方程：． 解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法” 【应用】 (1)若在方程中，设，则原方程可化为整式方程：_________． (2)请运用“整体换元法”解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原方程变形为只含有的形式，再将代入，化为整式方程即可； （2）根据“整体换元法”，设，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：， 变形为：， 则可化为：，即， 故答案为：； （2）设，则原方程变形为， ， 或， 解得，， 当时，即，解得； 当时，即，解得． 原方程的解为． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解答本题的关键． 50．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程， 如果设，∵，∴，用y表示x后代入得：． 应用：请用换元法解下列各题 (1)已知 ，则的值； (2)解方程：； 【答案】(1)的值为1 (2)的解为 【分析】（1）令，通过换元将原式变形，再解一元二次方程即可； （2）令，通过换元将原方程变形为一元二次方程，先求出解，再解分式方程即可． 【详解】（1）解：令，则，原方程可化为， 即， ， 解得或， 又∵， ∴， ∴的值为1； （2）解：令，则， 原方程可化为， 即， 解得或， 当时，即， ，即， 解得， 经检验，是分式方程的解； 当时，，， 判别式，方程无解， 综上所述，的解为． 【点睛】本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握换元法是解题的关键． 【典型例题六 降次法】 51．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次解的定义得到，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ． 故选：A． 52．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．根据一元二次方程的解求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 53．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入，得，即， ， 故答案为6． 54．（2024·四川广安·模拟预测）若是关于的方程的一个根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．把代入已知方程，可以求得，然后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：实数是关于的方程的一个根， ， ， ． 故答案为： 55．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值，合理的变形得到是解题的关键；根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵a是方程的根， ， 当时，不成立， ， ，即， ∴， 故答案为：2023． 56．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 57．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由是方程的一个根可得，再将化简为，最后整体代入值即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，分式的化简求值，准确进行计算，采用整体代入的思想是解题的关键． 58．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 59．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 60．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 【典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 61．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．求m的值． 【答案】3 【分析】根据方程有两个相等的实数根得到求解即可 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， ∴m的值为3． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，掌握根的判别式的值与一元二次方程根的关系是解题的关键． 62．（22-23九年级上·陕西西安·期中）已知关x的一元二次方程有实数根．求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根，则需要满足，计算求解即可． 【详解】解：有实数根， 根据题意得， ． 【点睛】本题主要考查判别式与根的数量的关系，能够熟练根据题意列不等式求解是解题关键． 63．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）已知关于x的一元二次方程＋x＋m﹣1＝0．若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】实数m的取值范围是m＜． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可． 【详解】∵＋x＋m﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得m＜． ∴实数m的取值范围是m＜． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式： （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有有两个相等的实数根； （3）当时，方程没有实数根． 64．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程有一个根为2，求方程的另一根． 【答案】(1)k≥﹣1； (2)方程的另一根为﹣4． 【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案； （2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵方程有两个实数根， ∴，即 ∴ ； （2）解： 方程有一个根为2，设方程的另一根 所以可方程的另一根为 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 65．（23-24九年级上·山东青岛·期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋1＝0有两个实数根，求a的非负整数解． 【答案】0和2 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0， 解得a≤2且a≠1， ∴a的非负整数解为2和0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 66．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】m＜4 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，即Δ＝42﹣4m＞0，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝42﹣4m＞0， ∴m＜4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 67．（23-24八年级下·北京平谷·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式判断即可． （2）选择一个符合条件的整数k，求解一元二次方程即可． 【详解】（1）， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：． （2）当k=0时，原方程为， ， 或， 解得：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的判别式和解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式和解法． 68．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）k取什么值时，关于x的一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求此时方程的根． 【答案】时，；时， 【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△＝b2−4ac＝0，求出k的值，再求出方程的两个根即可． 【详解】解∵关于x的一元二次方程x²-kx+4=0的两个相等的实数根 ∴b2-4ac=0， ∴ (-k)²-4×4=0 ∴ k²=16， ∴k=±4， 当k=4时，方程为x²-4x+4=0， 解得x1=x2=2， 当k=-4时，方程为x²+4x+4=0， 解得x1=x2=-2 ， ∴当k=±4，关于x的一元二次方程x²-kx+4=0的两个相等的实数根， 当k=4时，方程两根为x1=x2=2，当k=-4时，方程两根为x1=x2=-2． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的三种情况是解答此类题型的关键． 69．（2020·北京·三模）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）≥0，求出不等式的解集即可； （2）取m＝1，代入方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个实数根， ∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5≥0， 解得： 即m的取值范围是 （2）∵由（1）知：当m＞时，方程有两个不相等的实数根， ∴取m＝1， 则方程为x2+3x＝0， 或 解得：x1＝﹣3，x2＝0， 即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握利用根的判别式列不等式求参数的取值范围是解题的关键． 70．（2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)； (2)取，此时，．（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值范围是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案； （2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． 即． ∴． （2）取． 此时方程为 解得，． 【典型例题八 韦达定理计算题】 71．（23-24九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， 且， ∴； （3）方程化为， ∵， 且， ∴； （4）方程化为，∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 72．（22-23九年级上·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，求的值． 【答案】 【分析】已知一元二次方程两实数根，根据韦达定理可知，，且，由此即可求出两个实数根，代入一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程两实数根，且，，， ∴，， ∵， ∵， ∴，则， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理求一元二次方程两个根的关系是解题的关键． 73．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 74．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 【答案】(1)证明方法见详解 (2)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判别方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式展开，再根据一元二次方程的根的判别式“，方程有实数根；，方程无实数根”即可求解； （2）根据韦达定理分别表示出，，再根据，代入计算，几何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解． 【详解】（1）证明：已知， 展开得，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有实数根； （2）解：已知有两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， ∴或． 75．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 76．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式求解即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴，方程的另一个根为1． 77．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)故k的值为1或． 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系： （1）通过计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得，再利用得到，从而得到满足条件的k的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 故k的值为1或． 78．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 79．（2024·广东江门·一模）关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)设此方程的两个根为与，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式； （1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据即可求出k的值． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：； （2）解：由题意得：，， ∴，即，解得： 80．（23-24九年级上·湖北荆门·期中）已知关于x一元二次方程有两个根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若原方程的两个根，满足，求k的值． 【答案】(1)且； (2)k的值为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解分式方程，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式． （1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，并使，即可得出结论； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到，，再将它们代入，即可求出k的值． 【详解】（1）根据题意得，， 解得 ∴k的取值范围是且； （2）∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， 经检验，是原方程的解， ∴k的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$