第01讲 一元二次方程（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第01讲 一元二次方程（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程解的估算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·广西崇左·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广西百色·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ． 【例4】（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程：（1）　（2）　（3）　（4）　（5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是 （填序号）． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 【例6】（23-24八年级上·上海·课后作业）判断下列方程哪些是一元二次方程． （1）；      （2）；     （3）； （4）；            （5）． 【典型例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例1】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A． B．0 C．或2 D．2 【例2】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（22-23九年级上·广东惠州·期中）关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【例4】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a= ． 【例5】（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）已知关于x的方程．当a为何值时，方程是一元二次方程． 【例6】（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m取何值时，是一元二次方程； (2)当m取何值时，是一元一次方程． 【典型例题三 一元二次方程的一般形式】 【例1】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和1 B．和1 C．和 D．3和 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 【例3】（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一次项系数是，二次项系数是 2，常数项是 ． 【例4】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式后得到二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【例5】（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【例6】（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【典型例题四 一元二次方程的解】 【例1】（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 【例2】（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，则方程一定有实数根 （   ） A．2024 B． C． D． 【例3】．（2024·福建福州·模拟预测）若是方程的一个根，则的值为 ． 【例4】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为 . 【例5】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若是方程的一个根，求代数式的值． 【例6】（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程（）的一个根是，且，满足，求，，的值． 【典型例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例1】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【例2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 【例4】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【例6】（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【典型例题六 降次求代数式的值】 【例1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【例2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）若是方程的根，则的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【例4】（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【例5】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【例6】（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【典型例题七 一元二次方程解的估算】 【例1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【例3】（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知一元二次方程，根据下列表格中的对应值： … 3.09 3.10 3.11 3.12 … … 0.11 … 可判断方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【例5】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【例6】（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【变式训练1 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是 ．（任意写一个符合条件的即可）． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（为已知数）； (7)． 6．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【变式训练2 根据一元二次方程的定义求参数】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 5．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【变式训练3 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（　　） A． B．6 C．2 D． 2．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（  ） A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1， 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一元二次方程化为一般形式是 ． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式是 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 6．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【变式训练4 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）若是方程的根，则代数式的值为(   ) A．1 B．2024 C．2025 D． 3．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 4．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【变式训练5 赋值法求一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．23-24 C．23-24 D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一元二次方程必有一个根是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则关于x的方程的两个根分别为 ． 4．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的一元二次方程中，那么这个方程必有一个根是 ． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 6．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，试求的值． 【变式训练6 降次求代数式的值】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南通·开学考试）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2021 B． C．2019 D． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 5．（23-24九年级·江苏·假期作业）已知m为方程的一个根，求的值． 6．（23-24九年级上·北京·期中）若是方程的一个根，求代数式的值． 【变式训练7 一元二次方程的解的估算】 1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 4．（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 5．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 6．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 1．（23-24九年级下·北京·开学考试）若是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．15 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（　　） A．1，2 B．1， C．，2 D．， 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为（　　） A． B．4046 C． D．2026 4．（22-23九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值是（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 5．（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6．（2024·江苏扬州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 7．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 9．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）关于的方程的解是，（、为常数），则方程的解是 ． 10．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 ； （2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为 ． 11．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个解为0，试求的值． 13．（23-24九年级上·全国·期中）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知实数a是一元二次方程的根，求代数式的值． 15．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程（3大知识点+7大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程解的估算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·广西崇左·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，是一元三次方程，故本选项不符合题意； B、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、，是二元二次方程，故本选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·广西百色·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键，“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程．”根据一元二次方程的定义，逐项判断即可． 【详解】A．是一元二次方程，符合题意； B ．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C ．，当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D． 化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【例3】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ． 【答案】①③⑤． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程， 故答案为：①③⑤． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【例4】（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程：（1）　（2）　（3）　（4）　（5）（6），其中，一定是关于x的一元二次方程的是 （填序号）． 【答案】（2）（4）/（4）（2） 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）中未知数的最高次数是1次，因此此方程不是一元二次方程； （2）是一元二次方程； （3）可以变形为，因此原方程不是一元二次方程； （4）中的系数一定不等于0，因此此方程一定是一元二次方程； （5）中分母上含有未知数，是分式方程，不是整式方程； （6）中时，不是一元二次方程； 综上分析可知，一定是关于x的一元二次方程的是（2）（4）． 故答案为：（2）（4）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）不是 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），是一元二次方程； （2），不含二次项，不是一元二次方程； （3），是一元二次方程； （4），不是整式方程，不是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 【例6】（23-24八年级上·上海·课后作业）判断下列方程哪些是一元二次方程． （1）；      （2）；     （3）； （4）；            （5）． 【答案】（1）（4） 【分析】本题根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）． 一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】方程（1）符合一元一次二次方程的定义，故正确． 方程（2）为分式方程，故错误． 方程（3），为二元二次方程，故错误． 方程（4），符合一元二次方程定义，故正确． 方程（5）经化简为4x=0，该方程为一元一次方程，故错误． 故一元二次方程为（1）（4）． 【点睛】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【典型例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例1】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A． B．0 C．或2 D．2 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义得到且，即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：D 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【例2】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【例3】（22-23九年级上·广东惠州·期中）关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例4】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a= ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键，注意二次项的系数不等于0． 【例5】（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）已知关于x的方程．当a为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】由一元二次方程的一般式：中，进行求解即可． 【详解】解：要使原方程是一元二次方程，则需满足条件为： 解得：， 故当时，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解定义中的是解题的关键． 【例6】（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m取何值时，是一元二次方程； (2)当m取何值时，是一元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义列式求解即可； （2）根据一元一次方程的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 即时，是一元二次方程； （2）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，且， ∴， 即时，是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程；只含有一个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 【典型例题三 一元二次方程的一般形式】 【例1】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）关于的一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（    ） A．3和1 B．和1 C．和 D．3和 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意得出一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一次项系数和常数项分别是和， 故选C． 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（   ） A．，1， B．，1， C．，， D．，1， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 【例3】（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一次项系数是，二次项系数是 2，常数项是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ． 方程化成一般形式是， 常数项为． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式后得到二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 1 2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．首先利用平方差公式进行计算，再整理得到，然后再确定二次项、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程整理为一般形式为， ∴二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是， 故答案为：1，2，． 【例5】（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 【例6】（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根； (2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【答案】(1)， (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）由是一元一次方程，得 ， 解得， 原方程变为：， ∴ 解得； （2）由是一元二次方程，得 ， 解得， ∴时，是一元二次方程， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． 【典型例题四 一元二次方程的解】 【例1】（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，取舍得出的值即可，正确计算、根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， ∴， ∴； ∵是一元二次方程， ∴， ∴． 综上，的值是， 故选：B． 【例2】（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，则方程一定有实数根 （   ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，将代入方程中，再两边同时除以，可得结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个实数根为2024， ， ， ， 是方程的一个实数根， 故选：D． 【例3】．（2024·福建福州·模拟预测）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，先根据是方程的一个根得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴即， ∴， 故答案为：2021． 【例4】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是方程的根，则代数式的值为 . 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 【例6】（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程（）的一个根是，且，满足，求，，的值． 【答案】，， 【分析】由二次根式有意义的条件可得，进而可求；将代入方程即可求． 【详解】解：由题意得： ∴ ∴ 故方程为： 将代入方程得： ∴ 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解．确定的值是解题关键． 【典型例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例1】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 【例2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到，则可计算出，再根据一元二次方程解的定义得到，然后把a和b的值代入即可求出c的值． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴， ∴， ∵一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；； 【例4】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入，即可解答本题． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， ， ． 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 【例6】（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 【典型例题六 降次求代数式的值】 【例1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）若是方程的根，则的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 【例4】（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 【例5】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 【例6】（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【典型例题七 一元二次方程解的估算】 【例1】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 【例2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可得：在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为． 【详解】解：由题意得： 当时，， 当时，， ∴方程一个解x的取值范围为． 故选：C． 【例3】（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知一元二次方程，根据下列表格中的对应值： … 3.09 3.10 3.11 3.12 … … 0.11 … 可判断方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格可知，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可得：方程的一个解的范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的估算，弄清表格中的数据是解此题的关键． 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 【例5】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 【例6】（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 【变式训练1 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】A．，未知数的最高次数是1 ，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．化简为，不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程； 据此进行逐项分析即可作答 【详解】解：、，含有两个未知数，故本选项不符合题意； 、，可化为，满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 、不是整式方程，故本选项不符合题意； 、最高次数3，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（23-24·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是 ．（任意写一个符合条件的即可）． 【答案】(答案不唯一，满足要求即可） 【分析】先确定出的整数部分，再利用因式分解的方法写出符合条件的一元二次方程即可． 【详解】∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴2＜-1＜3， ∴的整数部分为2，即方程的一个根为2， ∵方程的另一个根为-4，且二次项系数为负数， ∴方程可以写为，答案不唯一， 故答案为：，（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了按条件构造一元二次方程以及确定二次根式整数部分的知识，确定方程的另一个根为2是解答本题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是， 故答案为： ②③⑤． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（为已知数）； (7)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 (7)是 【分析】（1）根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程必须满足三个条件∶未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，并且是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． （2）根据一元二次方程的定义判断即可； （3）根据一元二次方程的定义判断即可； （4）根据一元二次方程的定义判断即可； （5）根据一元二次方程的定义判断即可； （6）根据一元二次方程的定义判断即可； （7）根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程， 故不是一元二次方程； （2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程， 故不是一元二次方程； （3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1， 故是一元二次方程； （4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程， 故不是一元二次方程； （5）解：不是整式方程， 故不是一元二次方程； （6）解：中当是，原式化为， 故不是一元二次方程； （7）解：化简即为， ∴是一元二次方程． 【点睛】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【答案】②③⑥. 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①不是方程； ④ 不是整式方程； ⑤ 含有2个未知数，不是一元方程； ⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程， ②③⑥符合一元二次方程的定义． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键． 【变式训练2 根据一元二次方程的定义求参数】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得，或， 故， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【答案】(1)存在，时；时 (2)存在， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可． 【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在． 根据一元二次方程的定义可得，解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 【变式训练3 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（　　） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式后，常数项为， 一般形式为， 一次项系数是， 故选：A． 2．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（  ） A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式、一元二次方程的概念，形如，先将式子化为一般式，即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是，1，， 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为的形式即可． 【详解】解：， 整理，得：； 故答案为：． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：， ， ， ， 即一元二次方程的一般形式是， 故答案为：． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 【答案】 【分析】首先把关于方程化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2，求出m的值即可． 【详解】解：整理方程得， 化为一般形式即为， 方程的各项分别为，，，其中未知项系数分别为1，， 依题意即有， 解得：． 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件． 6．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【答案】(1)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； (2)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为 (3)一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6 【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （2）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开化为一般形式即为，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； （2）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关于x的方程，（， a，b，c，为常数）称为一元二次方程的一般形式，叫二次项，是一次项，c是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式训练4 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入，得出，解出m的值，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是2， ∴把代入， 得， 解得 故选：C 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）若是方程的根，则代数式的值为(   ) A．1 B．2024 C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义和代数式求值．一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，再根据进行代值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程 得 解得： 故答案为：． 4．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】(1)；， (2)，， 【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解； （1）根据规律直接写出方程及其解即可； （2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将代入关于的一元二次方程，求得，然后将其整体代入整理后的代数式求值即可． 【详解】解：根据题意知，， 所以， 则： ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 【变式训练5 赋值法求一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．23-24 C．23-24 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解的概念先解一元一次方程得出，利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解： 解得： 把代入方程得， ， 所以， 所以． 故选：B． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一元二次方程必有一个根是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】∵ ∴ ∴方程必有一根为． 故选：C． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则关于x的方程的两个根分别为 ． 【答案】1或2025 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况． 【详解】解：∵， ∴， 即时方程有根， ∵一元二次方程的一个根为， ∴， 此时， 故答案为：1或2025． 4．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的一元二次方程中，那么这个方程必有一个根是 ． 【答案】/1 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，根据已知条件可得当时，方程成立，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的一个解，可以求得的值，再根据，可以求出答案. 【详解】解：把代入方程，得：， 又 所以，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解的含义.也考查了因式分解. 6．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的一个根，得出，，，把代入求出结果即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， 把代入得： ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是根据方程解的定义得出，并变形为，． 【变式训练6 降次求代数式的值】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．根据一元二次方程的解求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏南通·开学考试）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2021 B． C．2019 D． 【答案】A 【分析】先把a代入方程，变形得，再把代数式变形求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根和求代数式的值，把根代入方程和对代数式变形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，方程的根的意义，将原式中转换为，再将整理为，根据是方程的一个根，代入得到，再根据可得，即可解答，考虑对中的，进行降次是解题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 将变形可得， 将代入可得， 再将可得原式， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据题意得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级·江苏·假期作业）已知m为方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形求值． 6．（23-24九年级上·北京·期中）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23-24 【分析】根据是方程的一个根，可得，然后将变形代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，则， 即， 则 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，根据题意适当变形是解本题的关键． 【变式训练7 一元二次方程的解的估算】 1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0， ∴方程的一个解的范围为． 故选：B． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 4．（2023八年级下·全国·专题练习）根据表格对应值： 0 1 2 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 5．（22-23九年级上·福建漳州·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解x的范围是 ． 【答案】 【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：． 【详解】解：由表格可知： 当时，； 当时，； ∴方程的一个解x的范围为：． 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，． 6．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 【答案】 【分析】观察表格可得当时， ，当时， ，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶当时， ， 当时， ， ∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型． 1．（23-24九年级下·北京·开学考试）若是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：A ． 2．（2023九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（　　） A．1，2 B．1， C．，2 D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把，，，代入代入，整理后即可得出答案． 【详解】解：①把代入得：， 整理得：， ②把代入得：， 整理得：， ③把代入得：， 整理得：， ④把代入得：， 整理得：， 所以方程的根是1和， 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知m是方程的一个根，则的值为（　　） A． B．4046 C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，由此可得，再由利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选B． 4．（22-23九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值是（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】将带入，得到一个关于m的方程，求出m的值，再根据一元二次方程的定义，排除不符合题意的m的值。 【详解】解：将带入得：， 解得：或； ∵原方程为一元二次方程， ∴，即， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用． 5．（2022·江苏南通·二模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设t＝x＋2，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为t＝2022， 所以x＋2＝2022， 解得x＝2020， 所以一元二次方程必有一根为x＝2020， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．（2024·江苏扬州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到即可求解． 【详解】解：∵m为一元二次方程的一个根． ∴， ∴， 即， 故答案为：2024． 7．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是 【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程.，根据未知数的最高次数是2建立等式，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据题意得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， ∴， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）关于的方程的解是，（、为常数），则方程的解是 ． 【答案】 【分析】把后面一个方程中的x+3看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程的解是，（、为常数）， ∴方程的解是， ∴． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 10．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 ； （2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为 ． 【答案】 4 48 【分析】（1）利用中点值的定义进行分析即可； （2）利用中点值的定义求出的值，将的值与方程的根代入方程即可求出，从而计算的值． 【详解】解：（1）由，得， ， 该方程的中点値为． （2）由，得， 该方程的中点值为， ，解得． 的一个根是， ，即， 解得． 符合题意． ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了新定义概念，解决本题的关键是充分理解新定义的含义． 11．（2021九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 【答案】（1）是；（2）不一定是 【分析】（1）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； （2）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程； （2）∵ ∴ ∴ 当时，二次项系数为0，此时不是一元二次方程，当时，二次项系数为0，此时是一元二次方程， ∴原方程不一定是一元二次方程. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义. 12．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个解为0，试求的值． 【答案】1 【分析】据方程根的意义，把x=0代入方程得到关于m的方程，求出m的值再代入到2m-1中，问题可解． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴， ∴m=±1， ∵m+1≠0， ∴m=1， ∴2m-1=2-1=1． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念和方程根的概念．其易错点是对于一般形式的一元二次方程，要注意． 13．（23-24九年级上·全国·期中）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值． 【答案】1 【分析】根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值． 【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣3＝0， ∴m2﹣2m＝3， ∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3） ＝m2﹣4m+4+m2﹣9 ＝2（m2﹣2m）﹣5 ＝2×3﹣5＝1． 【点睛】本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整体代入法的运用． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知实数a是一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】-1 【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 15．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$