精品解析：2024年江苏省南京市秦淮区中考二模数学试题

2023—2024学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的意义，根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答． 【详解】解：． 的倒数是， 故选：D． 2. 下列计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如下表： 成绩/分 32 36 39 40 人数/人 1 2 4 33 下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是（ ） A. 平均数是39.5分 B. 众数是40分 C. 中位数是37.5分 D. 极差是8分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平均数、众数、中位数、极差，熟记它们的概念和计算公式是解题的关键．根据平均数、众数、中位数、极差的概念和计算公式计算，判断即可． 【详解】解：A、平均数为：，本选项结论正确，不符合题意； B、40出现的次数最多，众数是40，本选项结论正确，不符合题意； C、中位数是40，本选项结论错误，符合题意； D、极差是：，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 4. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．先估算出无理数的值，再进行求解判断正误． 【详解】解：， ， ， ， 与最接近的是4， 故选：C． 5. 如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ） A ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，则，，，由勾股定理以及逆定理可判断是直角三角形，由勾股定理的逆定理得到①正确；求出、、的值，从而对②作出判断；由锐角三角函数的定义求出的值，对③作出判断，分别用含有的代数式表示4个三角形面积，对④作出判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ， 即， 因此①正确； ，，， ， 因此②不正确； 在中， ， ， 因此③不正确； ， ， ， ， ， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①④， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义,掌握勾股定理，勾股定理逆定理，正方形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 6. 如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正多边形和圆，理解旋转的性质是正确解答的关键．根据旋转的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：将，即将①绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将②绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将③绕着的中点，逆时针旋转与重合； 将，即将④绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将⑤绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 即图中①，②，③，④，⑤可以通过1次旋转与重合， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 4月初，某地发生4.0级地震，震源的深度是25 000m，用科学记数法表示25000是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 9. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的性质化简后，再根据二次根式的加减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 10. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，由根与系数的关系可得：，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：0． 11. 如图，是一圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的面积是_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据主视图得到圆锥的母线长和底面圆的直径，可得底面周长，再由扇形面积公式计算即可． 【详解】由题意得可知：圆锥的母线长为13， 圆锥的底面直径为10，则圆锥的底面周长为， 所以圆锥的侧面展开图的面积为：． 故答案为：． 12. 如图，，，是射线上的动点，则长的最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．根据垂线段最短可知，当时，长最小，再根据，，即可求出答案． 【详解】解：当时，长最小， ，，， ． 故答案为：． 13. 如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，根据三角形的外角性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质列方程，解方程得到答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵是的外角，， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为: ． 14. 已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表： x … 1 2 … y … a b m n … 若，则m_____n．（填“”“”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：，， 每个象限内，随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 15. 化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：由题意知：， ， 将，代入得， ， 解得：， ， 故答案为：12． 16. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，先求出，然后证明△，，可求出，，最后由勾股定理即可求出． 【详解】解：连接交于点，如图， 中，，，， 由勾股定理，得， 点是边的中点， ， ，， 将沿着折叠，使点落在边的中点处， ，， ，， 又，， ，， ，， 即，， 解得，， 在中， 由勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简：. 【答案】 【解析】 【分析】首先将括号里面的分式进行通分，然后将每一个分式的分子和分母进行因式分解，最后根据分式的化简方法进行化简. 【详解】原式==. 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 18. 计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数． 【答案】原计划20天完成 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划完成的天数为天，则甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，根据先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划完成的天数为天，则甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划完成的天数为20天． 19. 现有两个编号分别为1，2的抽屉及三个颜色分别为红、黄、蓝的小球，将每个小球随机放入一个抽屉中． （1）红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是 ． （2）求三个小球放入编号相同的抽屉中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键； （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中红色小球放入编号为1的抽屉中的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及三个小球放入编号相同的抽屉中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中红色小球放入编号为1的抽屉中的结果有1种， 红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中三个小球放入编号相同的抽屉中的结果有2种， 三个小球放入编号相同的抽屉中的概率为． 20. 已知：如图矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形性质先证明，得到，可证明四边形为平行四边形，再结合即可得到最后结论． 【详解】证明：四边形为矩形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据题意证明是解答本题的关键． 21. 下图是年我国（国内生产总值）增长率的折线统计图． 阅读统计图并回答以下问题． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①年我国增长率逐年降低，但始终不低于； ②2020年我国比2019年低； ③年我国增长率的方差比年的方差小． （2）结合图中提供的数据，请用自己的语言概括这12年我国的相关情况． 【答案】（1）③ （2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，统计量的意义，理解题意，能够从统计图中获取数据是解题的关键 （1）根据统计图信息逐个判断即可； （2）可从相关统计量的意义方面概括情况． 【小问1详解】 解：①年我国增长率，2017年略有增长，故①不正确； 2020年我国仍有的增长，故②不正确； 由折线统计图可以看出：年我国增长率的波动比年的波动小，故③正确． 故答案为：③； 【小问2详解】 答案不唯一． 比如： ， ∴这12年我国的平均增长率约为； ∵这组数据由小到大排列为：， ∴这12年我国的平均增长率的中位数为：， ∴这12年我国的平均增长率有一半年份超过． 22. 如图，为了测量某学校旗杆高度，将固定在旗杆顶端A上的绳子拉直后，绳子的末端恰好可以落在截面为矩形的主席台底的点C处，也可以落在主席台上的点处．主席台高为，和分别为，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度．（参考数据：．） 【答案】旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意可得：，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴旗杆的高度约为． 23. 与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题的填空，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足，求证． 证明：∵， ∴（实数的加法法则）， （不等式的基本性质1）． ∴（①）． ∵（②）， ∴． ∴（③）． （2）已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．） 【答案】（1）①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）；②平方差公式；③不等式的基本性质1 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，实数的加减乘法运算法则，平方差公式，二次根式有意义，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，平方差公式，由此即可证明问题； （2）根据二次根式有意义，平方差公式，不等式的性质，由此即可证明问题． 【小问1详解】 解：①实数的乘法法则（或者不等式的基本性质2）． ②平方差公式． ③不等式的基本性质1． 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示． （1）甲、乙两地相距 ，快车比慢车晚出发 h． （2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？ （3）若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x 之间的函数图像． 【答案】（1）160，1 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图可知甲、乙两地相距；根据路程时间速度，求出慢车的速度为，可知快车出发时，慢车行驶的时间为，故快车比慢车晚出发； （2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶，即可得快车与慢车相遇时，两车距离甲地； （3）求出第三辆车的速度是；可得第三辆车从乙地到甲地所需时间为，故当时，第 三辆车从乙地出发，即与x之间的函数图象过和，即可画出函数图象． 【小问1详解】 解：由图可知，甲、乙两地相距； 慢车的速度为， 由可知，快车出发时， 慢车行驶的时间为， ∴快车比慢车晚出发； 故答案为：160，1； 【小问2详解】 解：由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶， ∵， ∴快车与慢车相遇时，两车距离甲地； 【小问3详解】 解：由（2）知，快车速度为， ∴第三辆车速度是； ∴第三辆车从乙地到甲地所需时间为， ∵， ∴当时，第三辆车从乙地出发， 即与x之间的函数图象过和， 画出图象如下： 25. 如图，内接于，．是上一点，．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的半径长为 　　． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接、、，可证明，得，根据等腰三角形的“三线合一”得，而与相切于点，所以，则，由，得，则，所以四边形是平行四边形； （2）延长交于点，连接，可证明，得，由，，求得，而，，，所以，，求得，由勾股定理得，求得，于是得到问题答案． 【小问1详解】 证明：连接、、， ，，， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：延长交于点，连接， ，， ， ，且， ， ， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ，且， ， 解得， 的半径长为， 故答案为：． 26. 已知二次函数（a，m为常数，）． （1）求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点； （2）该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2），且 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，关键是掌握二次函数的性质． （1）证明判别式即可； （2）先求出坐标，求出，再根据二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4，得出抛物线的顶点到轴的距离小于2，解不等式即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ∴不论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； 【小问2详解】 令，则， ， ， ， ， ， ， ∴到轴的距离为2， ∵该二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4， ∴二次函数的顶点到轴的距离小于2， 即， 解得，且， ∴的取值范围为，且． 27. 如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． （1）如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） （2）三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②i）见解析；ii）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②i）如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E；ii），分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上． 【小问1详解】 解：如图①，⊙O即为所求， 【小问2详解】 解：①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②i）如图⑤或图⑥，即为所求． 思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，以O为圆心，为半径作． 思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E，可得；在上截取，可知；过点N作，交于点O，以O为圆心，为半径作． ii）如图⑦，，分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期第二阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如下表： 成绩/分 32 36 39 40 人数/人 1 2 4 33 下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是（ ） A. 平均数是39.5分 B. 众数是40分 C. 中位数是37.5分 D. 极差是8分 4. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在正方形中，是的中点，是靠近点的的四等分点．已知，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 6. 如图，O是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形（自身除外）的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 4月初，某地发生4.0级地震，震源的深度是25 000m，用科学记数法表示25000是_____． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 9. 计算的结果是_____． 10. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是_____． 11. 如图，是一圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的面积是_____．（结果保留） 12. 如图，，，是射线上的动点，则长的最小值是___． 13. 如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是_____． 14. 已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表： x … 1 2 … y … a b m n … 若，则m_____n．（填“”“”或“＝”） 15. 化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是_____． 16. 如图，在中，，，分别是，上的点，将沿着折叠，使点落在边的中点（记为处．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简：. 18. 计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数． 19. 现有两个编号分别为1，2的抽屉及三个颜色分别为红、黄、蓝的小球，将每个小球随机放入一个抽屉中． （1）红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是 ． （2）求三个小球放入编号相同的抽屉中的概率． 20. 已知：如图矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形为菱形． 21. 下图是年我国（国内生产总值）增长率的折线统计图． 阅读统计图并回答以下问题． （1）下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①年我国增长率逐年降低，但始终不低于； ②2020年我国比2019年低； ③年我国增长率方差比年的方差小． （2）结合图中提供数据，请用自己的语言概括这12年我国的相关情况． 22. 如图，为了测量某学校旗杆的高度，将固定在旗杆顶端A上的绳子拉直后，绳子的末端恰好可以落在截面为矩形的主席台底的点C处，也可以落在主席台上的点处．主席台高为，和分别为，图中所有点均在同一平面内．求旗杆的高度．（参考数据：．） 23. 与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．请先完成第（1）题填空，再完成第（2）题的证明． （1）已知实数x，y满足，求证． 证明：∵， ∴（实数的加法法则）， （不等式的基本性质1）． ∴（①）． ∵（②）， ∴． ∴（③）． （2）已知实数x，y满足，求证．（注：无需写出每步的依据．） 24. 快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第时，快、慢两车离甲地的距离分别为，当时，慢车到达乙地．与x之间的函数关系如图所示． （1）甲、乙两地相距 ，快车比慢车晚出发 h． （2）快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？ （3）若第三辆车速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离与x 之间的函数图像． 25. 如图，内接于，．是上一点，．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的半径长为 　　． 26. 已知二次函数（a，m为常数，）． （1）求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点； （2）该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围． 27. 如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． （1）如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） （2）三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$