精品解析：2024年浙江省杭州市上城区九年级中考二模数学试卷 -

2023学年第二学期九年级学情调查考试（二） 数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 如图，圆内接于，连接，，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（ ） A. 原点在B点的左侧 B. 原点在B、C之间 C. 原点在C、A之间 D. 原点在A点的右侧 9. 已知二次函数图象上两点，且．下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 的面积 二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 12. 由中国民航局获悉，2024年春运期间，全国民航日均运输旅客超过2086000人，数2086000用科学记数法表示为______． 13. 若点在第二象限，则点在第______象限． 14. 如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则______． 15. 如图，矩形，点E、F分别是，上一点，连接，令，已知，，，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则______；的面积为______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算； （2）解一元一次不等式组：． 18. 小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，某种弹簧长度与所挂物体质量之间的关系如图所示： （1）请求出y与x之间的关系式． （2）小亮妈妈在水果摊贩上买了8kg水果，小亮将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到弹簧下端，测得弹簧长度为16.1cm，请你通过计算帮助小亮确定水果是否足称． 19. 如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 20. 为了进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 80 a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； （3）根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级哪个年级成绩更优秀． 21. 在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． （1）求的长． （2）作的平分线与相交于点G，连接，求的长． 22. 某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，） （1） ； ． （2）求匾额下端距离地面的高度． 23. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 24. 如图1，已知内接于，且，是的中点，连接交直径于点，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图，连接并延长交于点，连接．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期九年级学情调查考试（二） 数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，故符合要求； B中不是轴对称图形，故不符合要求； C中不是轴对称图形，故不符合要求； D中不是轴对称图形，故不符合要求； 故选：A． 3. 要使分式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义中分式的分母不能为零即可解答．本题考查了分式的定义及解不等式，理解分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵要使分式有意义，则必须有 ， ∴， 故选． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，掌握同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项的方法是解题关键．根据运算法则逐项判断即可． 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 5. 一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键． 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴是等边三角形， ， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ， 故选：C． 7. 如图，圆内接于，连接，，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据“等边对等角”求出，即可得出，再根据“圆周角定理”求出，，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 8. 如图，数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则下列关于原点位置的描述正确的是（ ） A. 原点在B点的左侧 B. 原点在B、C之间 C. 原点在C、A之间 D. 原点在A点的右侧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的特征，解不等式，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键．数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b，，a，则有，进而可判断原点的位置． 【详解】解：∵数轴上三个不同的点B，C，A分别表示实数b， ，a， ∴，即， ∴， ∴原点在B点的左侧． 故选：A． 9. 已知二次函数图象上两点，且．下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为直线，当时，图象开口向下，点离对称轴越远，函数值越小，即若，则，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，图象开口向下，点离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，， ∴若，则， 故选：D． 10. 如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 四边形的面积 D. 的面积 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，可得，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即可求的面积， 故选：B． 二、填空题：本大题有6小题，每题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 由中国民航局获悉，2024年春运期间，全国民航日均运输旅客超过2086000人，数2086000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 若点在第二象限，则点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系象限点的特征，掌握每个象限点的特征是解题的关键．根据点在第二象限，判断出和的正负，再判断点中的正负，从而推出其所在的象限． 【详解】解：点在第二象限 ， 则点在第四象限 故答案为：四． 14. 如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则______． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及其推论，弄清题目中角的关系是解题的关键． 先证出, 进而证出，再由可求出的度数． 【详解】解：∵, ∴, ∵是由折叠得到的, ∴, ∴, ∵, ∴, 又∵, ∴. 故答案为: ． 15. 如图，矩形，点E、F分别是，上一点，连接，令，已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 根据，设，则，可得，然后求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则______；的面积为______． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合，设，可得，，再结合三角形的面积可得的值，如图，过作轴于，设，，则由中点含义可得：，再结合面积列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴于点B，的中点为D， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， 如图，过作轴于， 设，， 则由中点含义可得：， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：， 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算； （2）解一元一次不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用负数指数幂的运算法则及绝对值的性质化简得，最后利用实数的混合运算法则即可解答； （2）利用解不等式的一般步骤解出不等式，再利用数轴得到不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ， ； （2）, 由得：， 由得：， ∴这个不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了负数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的混合运算，解一元一次不等式组的一般步骤，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 18. 小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，某种弹簧长度与所挂物体质量之间的关系如图所示： （1）请求出y与x之间的关系式． （2）小亮妈妈在水果摊贩上买了8kg水果，小亮将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到弹簧下端，测得弹簧长度为16.1cm，请你通过计算帮助小亮确定水果是否足称． 【答案】（1） （2）水果足称 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中求得的与之间的关系式，求出对应的值并与相比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：设与之间的关系式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的关系式为． 【小问2详解】 解：当时，得， 解得， ， 水果足称． 19. 如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）选①平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ； 选③， ∵平行四边形， ∴O为中点， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各判定定理并正确应用是解题的关键． （1）利用证明，得出，然后证明，即可得证； （2）由（1）知：四边形是平行四边形，则要证四边形为菱形，只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直即可，如添①平分，则可证；如添③，则可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为了进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 80 a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”，请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数； （3）根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级哪个年级成绩更优秀． 【答案】（1）3，83，84.5 （2）192人 （3） 由表中数据分析可知， 从众数来看：因为，所以八年级成绩更优秀； 从中位数来看，从七年级中位数来看，81分处在年级中间水平；从八年级来看，81分处在年级后半段，所以八年级成绩更优秀； 从方差来看，平均数相同的情况下，八年级成绩更稳定，所以八年级成绩更优秀； 【解析】 【分析】本题考查的是数据的整理，众数、中位数概念，用样本估计总体，根据相关数据作决策．读懂统计表，从不同的统计表中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据抽样调查数据即可得到，再根据众数、中位数概念求解，即可解题； （2）根据统计表得到八年级竞赛成绩超过80分的人数所占比，再利用总数乘以其所占比，即可解题； （3）根据表格中的数据，可以利用平均数，中位数，众数，方差进行分析，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，七年级成绩在的有75，79，79， ， 七年级成绩出现次数最多的是83， ， 八年级的中位数为第5位和第6位学生成绩的平均数，即， 故答案为：3，83，84.5． 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校参加竞赛的八年级320名学生中，竞赛成绩为“优秀”的人数是192人； 【小问3详解】 略 21. 在边长为6的正方形中，点E在的延长线上，且，连接交于点F． （1）求的长． （2）作的平分线与相交于点G，连接，求的长． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形，相似三角形．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． （1）根据正方形对边平行证明，得到，根据，即得； （2）过点G作，，垂足分别为点H，I，根据正方形角的性质和角平分线性质证明四边形是正方形，设边长为x，证明，得到， ，解得，得到，根据勾股定理即得． 【小问1详解】 ∵正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 如图过点G作，垂足为点H，作，垂足为点I， 则， ∵四边形是正方形, ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴矩形是正方形，设边长为x， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，如图，线段是悬挂在墙壁上的匾额的截面示意图．已知米，，起始点处看点，仰角，继续向前行走，在点处看点，仰角．且到走了米，作．（，，，，，） （1） ； ． （2）求匾额下端距离地面的高度． 【答案】（1）， （2）匾额悬挂高度为米 【解析】 【分析】（）根据垂直的定义可得，再利用锐角三角函数即可解答； （）利用矩形的判定与性质可知，，设再利用锐角三角函数即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵米，，，， ∴， ∴， 故答案为，0.8； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴解得：， ∴， 答：额下端距离地面的高度约为米； 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂直的定义，锐角三角函数，垂直的定义，直角三角形的判定与性质，正切，余弦，正弦，掌握锐角三角函数是解题的关键． 23. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 【答案】（1）； （2）图像如下： ， 函数表达式为； （3）该车已超速行驶； （4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时 【解析】 【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位； （2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可； （3）把带入解析式求解，与比较即可； （4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值． 【详解】（1）反应时间 所以驾驶员正常的反应时间为秒 （2）解：由图像大致可知函数图象为二次函数， 因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入： 函数表达式为． （3）把代入， 解得（舍）． 车速大于限速， 所以该车已超速行驶． （4）设汽车刹车前的速度为千米/小时． 则根据停车距离反应距离制动距离， 可列： 整理得：， 取最大距离，则 解得（舍） 汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时． 24. 如图1，已知内接于，且，是的中点，连接交直径于点，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图，连接并延长交于点，连接．求的值． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是是角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据圆的性质可知，再利用角平分线的定义及等腰三角形的性质即可解答； （）根据垂径定理及等腰三角形的性质可知，再根据锐角三角函数及勾股定理即可解答； （3）根据等腰三角形的性质可知，最后利用相似三角形的判定与性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令交于点，连接，， ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形，， ∴是角平分线， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵，经过圆心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $