精品解析：四川省泸州市古蔺县金兰教育集团2023-2024学 年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年四川省泸州市古蔺县金兰教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有意义，则x的取值范围是（　　）． A. x＞﹣1 B. x≥0 C. x≥﹣1 D. 任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的意义可得出x+1≥0，即可得到结果． 【详解】解：由题意得：x+1≥0， 解得：x≥﹣1， 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了二次根式有意义的条件应用，计算得出的不等式是关键． 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】A、，故此选项错误； B、是最简二次根式，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式概念：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 3. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处， ∴折断的部分长为5， ∴折断前高度为5+3=8（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确熟练地进行计算． 5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵AE平分∠BAD交BC边于点E， ∴∠BAE=∠EAD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5cm， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3cm， ∴EC=BC-BE=5-3=2cm． 故选B． 6. 下列命题错误的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 矩形的四个内角都是直角 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的判定方法及性质，平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质直接判断即可． 【详解】A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，命题正确，不符合题意； C、矩形的四个内角都是直角，命题正确，不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意； 故选：A． 7. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,若图中阴影部分的面积为6,则矩形ABCD的面积为(　　 ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】∵在矩形ABCD， ∴OA=OC，AB∥DC， ∴∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF， ∴△CFO≌△AEO，即△CFO的面积等于△AEO的面积， ∵图中阴影部分的面积为6， ∴△AOB的面积是6， ∴矩形ABCD的面积是4×6=24． 故选C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出△AOB的面积是解此题的关键． 8. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：对于A选项． ∵∠A=∠B-∠C， ∴∠A+∠C=∠B． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°． ∴∠B=90°． ∴△ABC为直角三角形． 故A选项不符合题意． 对于B选项． ∵∠A：∠B：∠C=1:2:3， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故B选项不符合题意． 对于C选项． ∵， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故C选项不符合题意． 对于D选项． ∵， ∴设，则，． ∵， ∴△ABC不是直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，勾股定理逆定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 9. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8， ∴，D是AB的中点， ∵∠AFB=90°， ∴， ∴EF=DE-DF=1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 或（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设DE＝x，OE＝2x，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得，OD＝OC＝3x，在Rt△OCE中，利用勾股定理，即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC， ∴OC＝OD， ∵EO＝2DE， ∴设DE＝x，OE＝2x， ∴OD＝OC＝3x， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝∠OEC＝90°， 在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2， ∴（2x）2+52＝（3x）2， 解得：x＝， ∴DE＝， 故选A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质以及勾股定理的应用，根据设DE＝x，列出关于x的一元一次方程，即可求解. 12. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 中，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质， 根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若x，y为实数，且满足，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， 解得， ， 故答案为：1． 15. 矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为：． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】先由点F是Rt△BDE的斜边上的中点得DF=BF=EF=4，再利用矩形的性质及勾股定理即可得解． 【详解】解：∵点F是Rt△BDE的斜边上的中点， ∴DF=BF=EF=4， 根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y， ∴在Rt△CDF中，，即， ∴ ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半和矩形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂、算术平方根，再进行加减运算即可． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先计算乘除，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】小括号内的部分进行通分、计算，将除法转化为乘法，因式分解，再进行约分，最后代数求值即可． 【详解】原式= = =， 将代入得：原式===． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的分母有理化，解题关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 21. 在四边形ABCD中AB=CB=，CD=，DA=1且ABCB试求四边形ABCD的面积． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理求得AC的长，再利用勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，最后由S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC即可求得四边形ABCD的面积. 【详解】连接AC， ∵AB⊥CB于B， ∴∠B=90°， 在△ABC中，∵∠B=90°， ∴AB2+BC2=AC2， 又∵AB=CB=， ∴AC=2， ∵CD=，DA=1， ∴CD2=5，DA2=1，AC2=4． ∴AC2+DA2=CD2， 由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC=AB×BC+DA×AC=． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，证得△ACD是直角三角形是解决问题的关键． 22. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB． 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 BC===5， ∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明； （2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 23. 2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】（1） 解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响； （2） 【解析】 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 24. 阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： （1）一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． （2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】（1） （2）①；②x=9；③△ABC 的面积为84 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的应用； （1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解； （2）①设，根据，即可求解； ②根据勾股定理，可得，从而得到，即可得到方程，解出即可； ③由②以及勾股定理可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵三角形边长依次是、、， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 ①，， ； ②，，， ， ， 解得：； ③由②得 ： ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）． （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）， （2）当时，四边形是平行四边形；， （3）或，是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式性质、解不等式组，平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解. （1）根据二次根式的性质及解一元一次不等式组得出的值进而得出答案； （2）由题意得: 根据平行四边形的判定可得，再解方程即可； （3）①当时, ，解方程得到的值；②当时， 由题意得：，进而得到方程：再解方程即可. 【小问1详解】 解：， ， 解得: , ∴, ∵,, ∴, ∴； 【小问2详解】 解：如图： 由题意得: , 则:，， ∵, ∴当时, 四边形是平行四边形, ∴, 解得: , 故当时，四边形是平行四边形， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 ∵是以为腰的等腰三角形, ∴分两种情况:或. ①当时, 如图, 过作于, ∵, ∴四边形是矩形, ∴, ∴, ∴中: ∵, ，即 解得： ②当时, 过作轴于, ∴, 由题意得:, 则, 解得： ， 综上所述，当或 时, 是以为腰的等腰三角形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省泸州市古蔺县金兰教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有意义，则x的取值范围是（　　）． A. x＞﹣1 B. x≥0 C. x≥﹣1 D. 任意实数 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 6. 下列命题错误的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 矩形的四个内角都是直角 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 7. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,若图中阴影部分的面积为6,则矩形ABCD的面积为(　　 ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 8. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 12. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 中，则__________． 14. 若x，y为实数，且满足，则的值为_____． 15. 矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则______． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 在四边形ABCD中AB=CB=，CD=，DA=1且ABCB试求四边形ABCD的面积． 22. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 23. 2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 24. 阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题： （1）一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____． （2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____； ②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； ③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）． （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $