小升初考前·最后一练（四）：比与比例·应用综合-2024年小升初数学典型例题系列（原卷版+解析版）

2024年小升初数学典型例题系列 小升初考前·最后一练（四）：比与比例·应用综合 一、填空题。 1．x＝2y（x，y为非0自然数），那么x和y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )，x和y成( )比例。 2．一个等腰三角形周长是56厘米，其中两条边之比是3∶2，这个三角形的一条腰长是( )厘米。 3．幼儿园有27个篮球，按4∶5分别借给苹果班和草莓班，苹果班分得( )个，草莓班分得( )个。 4．在一幅地图上，用5厘米的线段表示实际距离50千米，这幅地图的比例尺是( )，在这幅地图上量得邳州到徐州的图上距离是11厘米，邳州到徐州的实际距离是( )千米。 5．某工厂今年第一季度生产洗衣机4000台，其中一月份生产的台数占总数的，二月份与三月份生产的台数比是，该工厂三月份生产了( )台洗衣机。 6．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量／台 200 300 500 所需时间／天 75 50 30 (1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”） (2)现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。 7．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首80节的乐曲，转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第49节处。如果一首50节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 8．我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年6月21日是“夏至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是9∶7，那么，黑夜约是( )小时。 9．一列动车和一辆汽车的速度比是，已知这列动车每时比汽车多行180千米，汽车每时行( )千米。 10．把一个长方形按3∶1的比放大，放大后长方形与原来长方形周长的比是( )，放大后长方形与原来长方形面积的比是( )，如果放大后长方形的面积是108平方厘米，那么原来长方形的面积是( )平方厘米。 11．创城工作队有两个小组，甲组有28人，乙组有22人，现在如果要使甲乙两组人数比为3∶2。方案一：乙组人数不变，甲组增加( )人；方案二：甲乙两组总人数不变，从乙组调( )人到甲组。 12．学校体育队男女运动员的人数比是7∶5，男运动员比女运动员多6人，体育队男运动员有( )人，体育队共有运动员( )人。 13．一个直角三角形两条直角边的和是14厘米，它们的比是3∶4。这个三角形的面积是( )平方厘米；如果斜边是10厘米，斜边上的高是( )厘米。 14．甲、乙两个圆柱的体积相等，它们底面积的比是，则甲、乙两个圆柱的高的比是( )。 二、解答题。 15．甲、乙两车同时从相距567千米的两地两对开出，经过3.5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是5∶4，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 16．小东爸爸拿到一笔6000元的奖学金，他打算按下面方案进行分配，其中交小东的学费，用来购书的钱与交学费的钱的比是3∶2，用来购书和交学费的钱共多少元？ 17．小杨、小周和小张三家人共用一个水表，六月份他们三家人共用水240吨，已知每吨水2.5元，该月水费他们三家按1∶3∶2分担，六月份他们三家分别要交水费多少元？ 18．学校买来500本故事书，先拿出60本捐给“希望工程”，剩下的按5∶6分配给五、六两个年级。五、六年级各分得故事书多少本？ 19．一艘轮船以每时40千米的速度从甲港驶往乙港，行了全程的20%后，又行时。这时，未行的路程与已行的路程的比是，甲、乙两港相距多少千米？ 20．学校原有足球、篮球共54个，其中足球与篮球个数的比是4∶5，本月买进一些篮球后，足球个数占足球、篮球总个数的40%，现在学校的足球、篮球各有多少个？ 21．在比例尺为1∶6000000的地图上，量得A、B两地的距离是7cm，甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向出发，3时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是3∶4，乙每时行驶多少千米？ 22．一项工程，甲单独做要10天完成，甲、乙的工作效率比是3∶2。甲做了5天后，乙加入进来做，两人同时做几天就可以完成这项工程？ 23．有60千克盐水，其中盐与水的比是3∶17，现在要提高盐水的浓度，使盐占盐水的20%，有以下两种方法：A．再增加一些盐；B．蒸发掉一些水。请你选择一种方法并计算出这种方法需要增加多少千克盐或蒸发掉多少千克的水？ 24．一本故事书，小玲第一天看了全书的，第二天看了25页，两天看的页数与未看页数的比是1∶3，这本书共多少页？ 25．郑州市地铁2号线是我们去郑州经常乘坐的线路，全长约42千米。 （1）在比例尺为1∶20000的37寸LED动态地图上，2号线长多少厘米？ （2）已知2号线6分钟平均可行3千米，照这样的速度，行完全程需要多长时间？（用比例解答） 26．学校图书室用方砖铺地，若用边长为6分米的方砖铺，要用160块。如果改用边长为8分米的方砖铺，要用多少块？ 27．修一条公路，已经修了600千米，已修与未修的比是2∶3，那么这条公路长多少千米？（用比例解） 28．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高36米。某展馆设计制作了钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶50。模型的高度是多少米？（用比例解） 29．张爷爷家5月份用电120度，交电费66元，同小区万奶奶家交了82.5元，万奶奶家用电多少度？（用比例解） 30．用正方形瓷砖铺一间教室的地面，如果用边长为4分米的正方形瓷砖需要400块，如果改用边长为5分米的正方形瓷砖，需要多少块？（用比例解决） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年小升初数学典型例题系列 小升初考前·最后一练（四）：比与比例·应用综合 一、填空题。 1．x＝2y（x，y为非0自然数），那么x和y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )，x和y成( )比例。 【答案】 y x 正 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；两个相关联的量，一个量变化另一个量随着变化，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】x＝2y（x，y为非0自然数），说明x是y的2倍，x和y的最大公因数是y，最小公倍数是x，将x＝2y两边同时÷y，可得x÷y＝2，x和y成正比例。 2．一个等腰三角形周长是56厘米，其中两条边之比是3∶2，这个三角形的一条腰长是( )厘米。 【答案】16或21 【分析】等腰三角形有两条边的长度相等，根据两条边之比是3∶2，可知三条边之比是3∶2∶2或3∶3∶2，将比的各项看成份数，周长÷总份数，求出一份数，一份数×腰的对应份数，即可求出腰长。 【详解】56÷（3＋2＋2） ＝56÷7 ＝8（厘米） 8×2＝16（厘米） 56÷（3＋3＋2） ＝56÷8 ＝7（厘米） 7×3＝21（厘米） 这个三角形的一条腰长是16厘米或21厘米。 3．幼儿园有27个篮球，按4∶5分别借给苹果班和草莓班，苹果班分得( )个，草莓班分得( )个。 【答案】 12 15 【分析】按4∶5分别借给苹果班和草莓班，按比分配，苹果班占了总个数的，草莓班占了总个数的。篮球的个数是27个，即求一个数的几分之几是多少，用乘法即可得解。 【详解】（个） （个） 则苹果班分得12个，草莓班分得15个。 【点睛】 4．在一幅地图上，用5厘米的线段表示实际距离50千米，这幅地图的比例尺是( )，在这幅地图上量得邳州到徐州的图上距离是11厘米，邳州到徐州的实际距离是( )千米。 【答案】 1∶1000000 110 【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可求出这幅地图的比例尺； 已知在这幅地图上邳州到徐州的图上距离是11厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出邳州到徐州的实际距离。 注意单位的换算：1千米＝100000厘米。 【详解】5厘米∶50千米 ＝5厘米∶（50×100000）厘米 ＝5∶5000000 ＝（5÷5）∶（5000000÷5） ＝1∶1000000 11÷ ＝11×1000000 ＝11000000（厘米） 11000000厘米＝110千米 这幅地图的比例尺是1∶1000000，邳州到徐州的实际距离是110千米。 5．某工厂今年第一季度生产洗衣机4000台，其中一月份生产的台数占总数的，二月份与三月份生产的台数比是，该工厂三月份生产了( )台洗衣机。 【答案】2000 【分析】一月份生产的台数占总数的，则二月份与三月份共生产的台数占总数的1－，也就是4000×（1－）台；又二月份与三月份生产的台数比是，则三月份生产的台数占二月份与三月份生产的台数的，根据乘法的意义，用4000×（1－）×即可求出三月份生产的台数；据此解答。 【详解】4000×（1－）× ＝4000×× ＝2000（台） 该工厂三月份生产了2000台洗衣机。 【点睛】本题主要考查比的应用，求出二月份与三月份共生产的台数是解题的关键。 6．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量／台 200 300 500 所需时间／天 75 50 30 (1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”） (2)现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。 【答案】(1)反 (2)750 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）用统计表中平均每天产量乘对应的天数求出这批生产任务的总台数，再除以20即可解答。 【详解】（1）200×75＝15000（台） 300×50＝15000（台） 500×30＝15000（台） 平均每天产量×所需时间＝总台数（一定），平均每天产量和所需时间的乘积一定，则平均每天产量和所需时间成反比例。 （2）15000÷20＝750（台），则平均每天产量至少要达到750台。 【点睛】本题考查反比例的辨认和应用。掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。 7．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首80节的乐曲，转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第49节处。如果一首50节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 【答案】31 【分析】根据题意，如果一首50节的乐曲，转折点应设在“50×0.618”节处，利用小数乘法的计算法则，求出结果，再按“四舍五入法”法保留整数即可。 【详解】50×0.618≈31（节） 即转折点应设在第31节处。 【点睛】此题的解题关键是理解黄金比的意义，通过小数乘法的计算及求近似数，得出结果。 8．我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年6月21日是“夏至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是9∶7，那么，黑夜约是( )小时。 【答案】10.5 【分析】把一天的时间（24小时）平均分成（9＋7）份，先用24除以（9＋7）份，求出1份的时间，再用乘法求出7份（黑夜）的时间，即可解答。 【详解】9＋7＝16（份） 24÷16×7 ＝1.5×7 ＝10.5（小时） 我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年6月21日是“夏至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是9∶7，那么，黑夜约是10.5小时。 【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。 9．一列动车和一辆汽车的速度比是，已知这列动车每时比汽车多行180千米，汽车每时行( )千米。 【答案】80 【分析】一列动车和一辆汽车的速度比是13∶4，把动车速度看作13份，汽车的速度看作4份，用13－4，求出动车比汽车多的份数，这列动车每时比汽车快180千米，用180除以动车比汽车多的份数，可得1份的数，再用1份的数量×4，即可求出汽车的速度。 【详解】180÷（13－4）×4 ＝180÷9×4 ＝20×4 ＝80（千米） 一列动车和一辆汽车的速度比是，已知这列动车每时比汽车多行180千米，汽车每时行80千米。 【点睛】本题主要考查了比的应用，关键是求出1份的数。 10．把一个长方形按3∶1的比放大，放大后长方形与原来长方形周长的比是( )，放大后长方形与原来长方形面积的比是( )，如果放大后长方形的面积是108平方厘米，那么原来长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 3∶1 9∶1 12 【分析】把一个长方形按3∶1的比放大，可以设原来长方形的长为a、宽为b，则现在长方形的长为3a、宽为3b；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可写出放大后长方形与原来长方形周长的比[2（3a＋3b）]∶[2（a＋b）]，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变，最后再化简成最简整数比为3∶1；根据长方形的面积＝长×宽，可写出放大后长方形与原来长方形面积的比为（3a×3b）∶（a×b），最后根据比的基本性质，再化简成最简整数比为9∶1；所以现在长方形的面积是原来长方形面积的9倍，要求原来长方形的面积，用108除以9即可。 【详解】解：设原来长方形的长为a、宽为b，则现在长方形的长为3a、宽为3b。 [2（3a＋3b）]∶[2（a＋b）] ＝[6（a＋b）]∶[2（a＋b）] ＝[6（a＋b）÷（a＋b）]∶[2（a＋b）÷（a＋b）] ＝6∶2 ＝3∶1 （3a×3b）∶（a×b） ＝[9ab÷（ab）]∶[（ab）÷（ab）] ＝9∶1 108÷9＝12（平方厘米） 所以放大后长方形与原来长方形周长的比是3∶1，放大后长方形与原来长方形面积的比是9∶1，原来长方形的面积是12平方厘米。 【点睛】本题考查比的应用，注意：最后的结果要化成最简整数比。 11．创城工作队有两个小组，甲组有28人，乙组有22人，现在如果要使甲乙两组人数比为3∶2。方案一：乙组人数不变，甲组增加( )人；方案二：甲乙两组总人数不变，从乙组调( )人到甲组。 【答案】 5 2 【分析】要使甲乙两组人数比为3∶2，则把甲组人数看作3份，乙组人数看作2份；方案一乙组人数不变，则用22÷2即可求出每份是多少，进而求出3份，也就是甲组现在人数，然后和28人求差，即可求出需要甲组增加的人数；方案二甲乙两组总人数不变，则用（28＋22）÷（3＋2）即可求出每份是多少，进而求出3份，也就是甲组现在人数，然后和28求差，即可求出从乙组调多少人到甲组。 【详解】方案一：22÷2×3＝33（人） 33－28＝5（人） 方案二：（28＋22）÷（3＋2） ＝50÷5 ＝10（人） 10×3＝30（人） 30－28＝2（人） 方案一：乙组人数不变，甲组增加30人；方案二：甲乙两组总人数不变，从乙组调2人到甲组。 【点睛】本题主要考查了比的应用，求出每份的量是多少是解答本题的关键。 12．学校体育队男女运动员的人数比是7∶5，男运动员比女运动员多6人，体育队男运动员有( )人，体育队共有运动员( )人。 【答案】 21 36 【分析】由题意可知，学校体育队男女运动员的人数比是7∶5，则男运动员为7份，女运动员为5份，男运动员比女运动员多（7－5）份，即6人，据此求出1份表示的人数，进而求出男女运动员的人数。 【详解】6÷（7－5） ＝6÷2 ＝3（人） 3×7＝21（人） 3×（7＋5） ＝3×12 ＝36（人） 则体育队男运动员有21人，体育队共有运动员36人。 【点睛】本题考查比的应用，求出1份表示的人数是解题的关键。 13．一个直角三角形两条直角边的和是14厘米，它们的比是3∶4。这个三角形的面积是( )平方厘米；如果斜边是10厘米，斜边上的高是( )厘米。 【答案】 24 4.8 【分析】已知两条直角边的比是3∶4，则把他们分别看作3份和4份，用14÷（3＋4）即可求出每份是多少，进而求出3份和4份；再根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据即可求出三角形的面积；再根据三角形的面积公式，用三角形的面积×2÷10即可求出斜边上的高。 【详解】14÷（3＋4） ＝14÷7 ＝2（厘米） 2×3＝6（厘米） 2×4＝8（厘米） 6×8÷2＝24（平方厘米） 24×2÷10＝4.8（厘米） 这个三角形的面积是24平方厘米；如果斜边是10厘米，斜边上的高是4.8厘米。 【点睛】本题主要考查了按比分配问题、三角形面积公式的灵活应用，要熟练掌握每个知识点。 14．甲、乙两个圆柱的体积相等，它们底面积的比是，则甲、乙两个圆柱的高的比是( )。 【答案】4∶3/ 【分析】两个圆柱底面积的比是，可以把甲圆柱的底面积看作3，乙圆柱的底面积看作4。设甲圆柱的高是h1，乙圆柱的高是h2，圆柱的体积＝底面积×高，而两个圆柱的体积相等，则3h1＝4h2。根据比例的基本性质，把h1和3看作外项，h2和4看作内项，即可写出甲、乙两个圆柱的高的比。 【详解】设甲圆柱的高是h1，乙圆柱的高是h2，则3h1＝4h2。根据比例的基本性质可得：h1∶h2＝4∶3，即甲、乙两个圆柱的高的比是4∶3。 【点睛】本题考查了圆柱的体积、比和比例的基本性质的综合应用。根据圆柱的体积公式写出等式，再根据比例的基本性质求出两个圆柱的高的比。 二、解答题。 15．甲、乙两车同时从相距567千米的两地两对开出，经过3.5小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是5∶4，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车：90千米；乙车：72千米 【分析】根据题意，甲、乙两车的速度比是5∶4，甲车的速度是乙车速度的。设乙车的速度为x千米，则甲车的速度为x千米；用乙车的速度×3.5，即3.5x千米；求出乙车3.5小时行驶的路程；用甲车的速度×3.5，即x×3.5千米，求出甲车3.5小时行驶的路程，甲车3.5小时行驶的路程＋乙车3.5小时行驶的路程＝两地的路程，列方程：3.5x＋x×3.5＝567，解方程，即可解答。 【详解】甲、乙两车速度比是5∶4，则甲车的速度是乙车的。 解：设乙车的速度是x千克，则甲车的速度是x千米。 3.5x＋x×3.5＝567 x＝567 x＝567÷ x＝567× x＝72 甲车速度：×72＝90（千米） 答：甲车速度90千米，乙车速度72千米。 【点睛】本题考查相遇问题，根据比的应用，找出甲车速度与乙车速度之间的关系，根据方程的实际应用，利用速度、时间、路程三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 16．小东爸爸拿到一笔6000元的奖学金，他打算按下面方案进行分配，其中交小东的学费，用来购书的钱与交学费的钱的比是3∶2，用来购书和交学费的钱共多少元？ 【答案】1000元 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用6000乘即可求出交学费的钱数，因为购书的钱与交学费的钱的比是3∶2，据此求出1份表示的钱数，再用1份表示的钱数乘（3＋2）即可求解。 【详解】6000×÷2×（3＋2） ＝400÷2×（3＋2） ＝200×5 ＝1000（元） 答：用来购书和交学费的钱共1000元。 【点睛】本题考查比的应用，求出1份表示的钱数是解题的关键。 17．小杨、小周和小张三家人共用一个水表，六月份他们三家人共用水240吨，已知每吨水2.5元，该月水费他们三家按1∶3∶2分担，六月份他们三家分别要交水费多少元？ 【答案】小杨家100元；小周家300元；小张家200元 【分析】已知每吨水2.5元，三家人共用水240吨，根据“单价×数量＝总价”，求出三家要交的总水费；又已知该月水费他们三家按1∶3∶2分担，即小杨家的水费占1份，小周家的水费占3份，小张家的水费占2份，一共是（1＋3＋2）份；用三家要交的总水费除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘三家水费占的份数，即可求出三家分别要交的水费。 【详解】240×2.5＝600（元） 600÷（1＋3＋2） ＝600÷6 ＝100（元） 100×1＝100（元） 100×3＝300（元） 100×2＝200（元） 答：六月份小杨家要交水费100元，小周家要交水费300元，小张家要交水费200元。 【点睛】本题考查按比分配问题，先根据单价、数量、总价之间的关系求出总水费，再把三家的水费比看作份数，求出一份数是解题的关键。 18．学校买来500本故事书，先拿出60本捐给“希望工程”，剩下的按5∶6分配给五、六两个年级。五、六年级各分得故事书多少本？ 【答案】五年级分得故事书200本，六年级分得故事书240本 【分析】由题意可知，分配给五、六两个年级的故事书有（500－60）本，然后根据按比分配的方法求出五、六年级各分得故事书多少本。 【详解】（500－60）÷（5＋6） ＝440÷11 ＝40（本） 五年级：40×5＝200（本） 六年级：40×6＝240（本） 答：五年级分得故事书200本，六年级分得故事书240本。 【点睛】本题考查按比分配问题，明确五、六年级所占的份数是解题的关键。 19．一艘轮船以每时40千米的速度从甲港驶往乙港，行了全程的20%后，又行时。这时，未行的路程与已行的路程的比是，甲、乙两港相距多少千米？ 【答案】1200千米 【分析】将甲、乙两港的总路程看成单位“1”，根据未行的路程与已行的路程的比是可得：已行的路程占总路程的，再根据已行的路程等于全程的20%与时行程的和，求出时的行程占总路程的－20%；根据速度×时间＝路程求出时的行程，再除以其占总路程的分率即可求出总路程；据此解答。 【详解】×40÷（－20%） ＝×40÷5% ＝60÷5% ＝1200（千米） 答：甲、乙两港相距1200千米。 【点睛】根据未行路程与已行路程的比求出已行路程占全程的分率是完成本题的关键。 20．学校原有足球、篮球共54个，其中足球与篮球个数的比是4∶5，本月买进一些篮球后，足球个数占足球、篮球总个数的40%，现在学校的足球、篮球各有多少个？ 【答案】24个；36个 【分析】足球与篮球个数的比是4∶5，可得足球的个数占总个数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出原来足球的个数，足球的个数不变，已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用足球的个数除以40%，即可求出本月足球、篮球的总个数，减去原来足球个数，即可求出现在篮球的个数。 【详解】54× ＝54× ＝24（个） 24÷40%＝60（个） 60－24＝36（个） 答：现在学校的足球有24，篮球有36个。 【点睛】本道题的解答的关键是：以不变的量（足球的个数）为突破口，根据不变的量求出变化的量。 21．在比例尺为1∶6000000的地图上，量得A、B两地的距离是7cm，甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向出发，3时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是3∶4，乙每时行驶多少千米？ 【答案】80千米 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地的实际距离，再根据速度和＝路程÷时间，求出甲、乙的速度和，再由“甲车与乙车速度的比是3∶4”利用按比例分配的方法列式解答即可。 【详解】两地的实际距离：7÷＝42000000（厘米） 42000000厘米＝420千米 乙车的速度：420÷3× ＝140× ＝80（千米） 答：乙车每时行80千米。 【点睛】本题主要应用的知识点是：实际距离＝图上距离÷比例尺，速度和×相遇时间＝路程及利用按比例分配的方法解决问题。 22．一项工程，甲单独做要10天完成，甲、乙的工作效率比是3∶2。甲做了5天后，乙加入进来做，两人同时做几天就可以完成这项工程？ 【答案】3天 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲的工作效率是1÷10即为，甲、乙的工作效率比是3∶2可知乙的效率是×，根据工作时间＝工作总量÷工作效率进行解答即可。 【详解】乙的效率：×＝ （1－×5）÷（＋） ＝÷ ＝3（天） 答：两人同时做3天就可以完成这项工程。 【点睛】本题考查分数乘除法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 23．有60千克盐水，其中盐与水的比是3∶17，现在要提高盐水的浓度，使盐占盐水的20%，有以下两种方法：A．再增加一些盐；B．蒸发掉一些水。请你选择一种方法并计算出这种方法需要增加多少千克盐或蒸发掉多少千克的水？ 【答案】选择A方法的话，应该加盐3.75千克 【分析】先用盐水的千克数乘盐占的分率，得出盐的千克数，选择方法A，设加盐x千克，根据等量关系：原来盐的千克数＋加入盐的千克数＝（盐水的千克数＋加入盐的千克数）×盐占盐水的百分率，列方程解答即可。 【详解】盐：60×＝9（千克） 选择方法A， 解：设加盐x千克， 9＋x＝（60＋x）×20% 9＋x＝12＋0.2x 9＋x－0.2x＝12＋0.2x－0.2x 9＋0.8x＝12 9＋0.8x－9＝12－9 0.8x＝3 0.8x÷0.8＝3÷0.8 x＝3.75 答：选择A方法的话，应该加盐3.75千克。 【点睛】本题主要考查了比的应用，注意方程的应用。 24．一本故事书，小玲第一天看了全书的，第二天看了25页，两天看的页数与未看页数的比是1∶3，这本书共多少页？ 【答案】180页 【分析】将总页数看作单位“1”，根据两天看的页数与未看页数的比是1∶3，得到两天看的页数为，而第一天看了全书的，那么第二天看的页数为（），然后用第二天看的25页除以第二天看的对应分率，求出总页数。 【详解】205÷（） ＝25÷ ＝25× ＝180（页） 答：这本书共180页。 【点睛】解决本题关键是根据两天看的页数与未看页数的比，求出两天看的页数所占分率，然后求出第二天看的占全书的分率。 25．郑州市地铁2号线是我们去郑州经常乘坐的线路，全长约42千米。 （1）在比例尺为1∶20000的37寸LED动态地图上，2号线长多少厘米？ （2）已知2号线6分钟平均可行3千米，照这样的速度，行完全程需要多长时间？（用比例解答） 【答案】（1）210厘米 （2）84分钟 【分析】（1）图上距离＝实际距离×比例尺，据此计算即可； （2）由题意可知，设行完全程需要x分钟，因为路程÷时间＝速度，速度是一定的，所以路程和时间成正比例，据此列比例解答即可。 【详解】（1）42千米＝4200000厘米 4200000×＝210（厘米） 答：在比例尺为1∶20000的37寸LED动态地图上，2号线长210厘米。 （2）解：设行完全程需要x分钟。 3∶6＝42∶x 3x＝6×42 3x＝252 3x÷3＝252÷3 x＝84 答：照这样的速度，行完全程需要84分钟。 【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确路程和时间成正比例是解题的关键。 26．学校图书室用方砖铺地，若用边长为6分米的方砖铺，要用160块。如果改用边长为8分米的方砖铺，要用多少块？ 【答案】90块 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，可以求出一块方砖的面积；因为学校图书室的面积一定，即一块方砖的面积×方砖的块数＝学校图书室的面积（一定），乘积一定，所以一块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，由此列出反比例方程，并解答。 【详解】解：设要用x块， 6×6×160＝8×8×x 5760＝64x 64x＝5760 x＝5760÷64 x＝90 答：要用90块。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 27．修一条公路，已经修了600千米，已修与未修的比是2∶3，那么这条公路长多少千米？（用比例解） 【答案】1500千米 【分析】把这条公路的总长度设为未知数，未修的长度＝这条公路的总长度－已经修的长度，已经修的长度∶未修的长度＝2∶3，据此解答。 【详解】解：设这条公路长x千米。 600∶（x－600）＝2∶3 2×（x－600）＝3×600 2x－2×600＝1800 2x－1200＝1800 2x＝1800＋1200 2x＝3000 x＝3000÷2 x＝1500 答：这条公路长1500千米。 【点睛】本题主要考查比例的应用，分析题意找出题目中的等量关系是解答题目的关键。 28．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高36米。某展馆设计制作了钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶50。模型的高度是多少米？（用比例解） 【答案】0.72米 【分析】根据题意可知，钟楼模型的高度∶钟楼实际的高度＝1∶50，据此列出比例方程，并求解。 【详解】解：设模型的高度是米。 ∶36＝1∶50 50＝36×1 ＝36÷50 ＝0.72 答：模型的高度是0.72米。 【点睛】本题考查比例的应用，从题目中找到等量关系，根据等量关系列出方程。 29．张爷爷家5月份用电120度，交电费66元，同小区万奶奶家交了82.5元，万奶奶家用电多少度？（用比例解） 【答案】150度 【分析】由题意可知：电费的单价是一定的，即电费与用电量的比值是一定的，则电费与用电量成正比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设万奶奶家用电x度， 66∶120＝82.5∶x 66x＝120×82.5 66x＝9900 x＝9900÷66 x＝150 答：万奶奶家用电150度。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 30．用正方形瓷砖铺一间教室的地面，如果用边长为4分米的正方形瓷砖需要400块，如果改用边长为5分米的正方形瓷砖，需要多少块？（用比例解决） 【答案】256块 【分析】每块砖的面积×砖的块数＝教室的地面面积（一定），所以每块砖的面积与砖的块数成反比例。设如果改用边长为5分米的正方形瓷砖，需要x块。边长为4分米的正方形瓷砖的面积×400＝边长为5分米的正方形瓷砖的面积×x。据此列出方程并解方程即可。 【详解】解：设需要边长为5分米的正方形瓷砖x块。 5×5×x＝4×4×400 25x＝6400 x＝6400÷25 x＝256 答：需要256块。 【点睛】用比例知识解决问题关键是找到不变的量，只要两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，就可以用正比例知识解答；只要两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，就可以用反比例知识解答。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 17 小升初考前·最后一练（四）：比与比例·应用综合 一、填空题。 1．x＝2y（x，y为非 0自然数），那么 x和 y的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )，x和 y成( )比例。 【答案】 y x 正 【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；两个相 关联的量，一个量变化另一个量随着变化，如果 x÷y＝k（一定），x和 y成正比 例关系；xy＝k（一定），x和 y成反比例关系，据此分析。 【详解】x＝2y（x，y为非 0自然数），说明 x是 y的 2倍，x和 y的最大公因 数是 y，最小公倍数是 x，将 x＝2y两边同时÷y，可得 x÷y＝2，x和 y成正比例。 2．一个等腰三角形周长是 56厘米，其中两条边之比是 3∶2，这个三角形的一 条腰长是( )厘米。 【答案】16或 21 【分析】等腰三角形有两条边的长度相等，根据两条边之比是 3∶2，可知三条 边之比是 3∶2∶2或 3∶3∶2，将比的各项看成份数，周长÷总份数，求出一份 数，一份数×腰的对应份数，即可求出腰长。 【详解】56÷（3＋2＋2） ＝56÷7 ＝8（厘米） 8×2＝16（厘米） 56÷（3＋3＋2） ＝56÷8 ＝7（厘米） 7×3＝21（厘米） 这个三角形的一条腰长是 16厘米或 21厘米。 3．幼儿园有 27个篮球，按 4∶5分别借给苹果班和草莓班，苹果班分得( ) 个，草莓班分得( )个。 2 / 17 【答案】 12 15 【分析】按 4∶5分别借给苹果班和草莓班，按比分配，苹果班占了总个数的 4 4 5 ， 草莓班占了总个数的 5 4 5 。篮球的个数是 27个，即求一个数的几分之几是多少， 用乘法即可得解。 【详解】 4 427 27 12 4 5 9      （个） 5 527 27 15 4 5 9      （个） 则苹果班分得 12个，草莓班分得 15个。 【点睛】 4．在一幅地图上，用 5厘米的线段表示实际距离 50千米，这幅地图的比例尺是 ( )，在这幅地图上量得邳州到徐州的图上距离是 11厘米，邳 州到徐州的实际距离是( )千米。 【答案】 1∶1000000 110 【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，即可求出这幅地图的比例尺； 已知在这幅地图上邳州到徐州的图上距离是 11厘米，根据“实际距离＝图上距离 ÷比例尺”，求出邳州到徐州的实际距离。 注意单位的换算：1千米＝100000厘米。 【详解】5厘米∶50千米 ＝5厘米∶（50×100000）厘米 ＝5∶5000000 ＝（5÷5）∶（5000000÷5） ＝1∶1000000 11÷ 1 1000000 ＝11×1000000 ＝11000000（厘米） 11000000厘米＝110千米 这幅地图的比例尺是 1∶1000000，邳州到徐州的实际距离是 110千米。 5．某工厂今年第一季度生产洗衣机 4000台，其中一月份生产的台数占总数的 1 5 ， 3 / 17 二月份与三月份生产的台数比是3:5，该工厂三月份生产了( )台洗衣机。 【答案】2000 【分析】一月份生产的台数占总数的 1 5 ，则二月份与三月份共生产的台数占总数 的 1－ 1 5 ，也就是 4000×（1－ 1 5 ）台；又二月份与三月份生产的台数比是3:5， 则三月份生产的台数占二月份与三月份生产的台数的 5 3 5 ，根据乘法的意义，用 4000×（1－ 1 5 ）× 5 3 5 即可求出三月份生产的台数；据此解答。 【详解】4000×（1－ 1 5 ）× 5 3 5 ＝4000× 4 5 × 5 8 ＝2000（台） 该工厂三月份生产了 2000台洗衣机。 【点睛】本题主要考查比的应用，求出二月份与三月份共生产的台数是解题的关 键。 6．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量／台 200 300 500 所需时间／天 75 50 30 (1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”） (2)现要在 20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。 【答案】(1)反 (2)750 【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比 例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 （2）用统计表中平均每天产量乘对应的天数求出这批生产任务的总台数，再除 以 20即可解答。 【详解】（1）200×75＝15000（台） 300×50＝15000（台） 4 / 17 500×30＝15000（台） 平均每天产量×所需时间＝总台数（一定），平均每天产量和所需时间的乘积一 定，则平均每天产量和所需时间成反比例。 （2）15000÷20＝750（台），则平均每天产量至少要达到 750台。 【点睛】本题考查反比例的辨认和应用。掌握正比例和反比例的意义是解题的关 键。 7．数学中的黄金比（约为 0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为 使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首 80节的乐曲， 转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第 49节处。如果一首 50节的乐曲，转 折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 【答案】31 【分析】根据题意，如果一首 50节的乐曲，转折点应设在“50×0.618”节处，利 用小数乘法的计算法则，求出结果，再按“四舍五入法”法保留整数即可。 【详解】50×0.618≈31（节） 即转折点应设在第 31节处。 【点睛】此题的解题关键是理解黄金比的意义，通过小数乘法的计算及求近似数， 得出结果。 8．我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年 6月 21日 是“夏至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是 9∶7，那么，黑夜约是( ) 小时。 【答案】10.5 【分析】把一天的时间（24小时）平均分成（9＋7）份，先用 24除以（9＋7） 份，求出 1份的时间，再用乘法求出 7份（黑夜）的时间，即可解答。 【详解】9＋7＝16（份） 24÷16×7 ＝1.5×7 ＝10.5（小时） 我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年 6月 21日是“夏 至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是 9∶7，那么，黑夜约是 10.5小时。 5 / 17 【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。 9．一列动车和一辆汽车的速度比是13 : 4，已知这列动车每时比汽车多行 180千 米，汽车每时行( )千米。 【答案】80 【分析】一列动车和一辆汽车的速度比是 13∶4，把动车速度看作 13份，汽车 的速度看作 4份，用 13－4，求出动车比汽车多的份数，这列动车每时比汽车快 180千米，用 180除以动车比汽车多的份数，可得 1份的数，再用 1份的数量×4， 即可求出汽车的速度。 【详解】180÷（13－4）×4 ＝180÷9×4 ＝20×4 ＝80（千米） 一列动车和一辆汽车的速度比是13 : 4，已知这列动车每时比汽车多行 180千米， 汽车每时行 80千米。 【点睛】本题主要考查了比的应用，关键是求出 1份的数。 10．把一个长方形按 3∶1的比放大，放大后长方形与原来长方形周长的比是 ( )，放大后长方形与原来长方形面积的比是( )，如果放大后长 方形的面积是 108平方厘米，那么原来长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 3∶1 9∶1 12 【分析】把一个长方形按 3∶1的比放大，可以设原来长方形的长为 a、宽为 b， 则现在长方形的长为 3a、宽为 3b；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可写出 放大后长方形与原来长方形周长的比[2（3a＋3b）]∶[2（a＋b）]，根据比的基 本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0的数，比值的大小不变，最 后再化简成最简整数比为 3∶1；根据长方形的面积＝长×宽，可写出放大后长方 形与原来长方形面积的比为（3a×3b）∶（a×b），最后根据比的基本性质，再化 简成最简整数比为 9∶1；所以现在长方形的面积是原来长方形面积的 9倍，要 求原来长方形的面积，用 108除以 9即可。 【详解】解：设原来长方形的长为 a、宽为 b，则现在长方形的长为 3a、宽为 3b。 [2（3a＋3b）]∶[2（a＋b）] 6 / 17 ＝[6（a＋b）]∶[2（a＋b）] ＝[6（a＋b）÷（a＋b）]∶[2（a＋b）÷（a＋b）] ＝6∶2 ＝3∶1 （3a×3b）∶（a×b） ＝[9ab÷（ab）]∶[（ab）÷（ab）] ＝9∶1 108÷9＝12（平方厘米） 所以放大后长方形与原来长方形周长的比是 3∶1，放大后长方形与原来长方形 面积的比是 9∶1，原来长方形的面积是 12平方厘米。 【点睛】本题考查比的应用，注意：最后的结果要化成最简整数比。 11．创城工作队有两个小组，甲组有 28人，乙组有 22人，现在如果要使甲乙两 组人数比为 3∶2。方案一：乙组人数不变，甲组增加( )人；方案二：甲 乙两组总人数不变，从乙组调( )人到甲组。 【答案】 5 2 【分析】要使甲乙两组人数比为 3∶2，则把甲组人数看作 3份，乙组人数看作 2 份；方案一乙组人数不变，则用 22÷2即可求出每份是多少，进而求出 3份，也 就是甲组现在人数，然后和 28人求差，即可求出需要甲组增加的人数；方案二 甲乙两组总人数不变，则用（28＋22）÷（3＋2）即可求出每份是多少，进而求 出 3份，也就是甲组现在人数，然后和 28求差，即可求出从乙组调多少人到甲 组。 【详解】方案一：22÷2×3＝33（人） 33－28＝5（人） 方案二：（28＋22）÷（3＋2） ＝50÷5 ＝10（人） 10×3＝30（人） 30－28＝2（人） 方案一：乙组人数不变，甲组增加 30人；方案二：甲乙两组总人数不变，从乙 7 / 17 组调 2人到甲组。 【点睛】本题主要考查了比的应用，求出每份的量是多少是解答本题的关键。 12．学校体育队男女运动员的人数比是 7∶5，男运动员比女运动员多 6人，体 育队男运动员有( )人，体育队共有运动员( )人。 【答案】 21 36 【分析】由题意可知，学校体育队男女运动员的人数比是 7∶5，则男运动员为 7 份，女运动员为 5份，男运动员比女运动员多（7－5）份，即 6人，据此求出 1 份表示的人数，进而求出男女运动员的人数。 【详解】6÷（7－5） ＝6÷2 ＝3（人） 3×7＝21（人） 3×（7＋5） ＝3×12 ＝36（人） 则体育队男运动员有 21人，体育队共有运动员 36人。 【点睛】本题考查比的应用，求出 1份表示的人数是解题的关键。 13．一个直角三角形两条直角边的和是 14厘米，它们的比是 3∶4。这个三角形 的面积是( )平方厘米；如果斜边是 10厘米，斜边上的高是( ) 厘米。 【答案】 24 4.8 【分析】已知两条直角边的比是 3∶4，则把他们分别看作 3份和 4份，用 14÷ （3＋4）即可求出每份是多少，进而求出 3份和 4份；再根据三角形的面积＝底 ×高÷2，代入数据即可求出三角形的面积；再根据三角形的面积公式，用三角形 的面积×2÷10即可求出斜边上的高。 【详解】14÷（3＋4） ＝14÷7 ＝2（厘米） 2×3＝6（厘米） 8 / 17 2×4＝8（厘米） 6×8÷2＝24（平方厘米） 24×2÷10＝4.8（厘米） 这个三角形的面积是 24平方厘米；如果斜边是 10厘米，斜边上的高是 4.8厘米。 【点睛】本题主要考查了按比分配问题、三角形面积公式的灵活应用，要熟练掌 握每个知识点。 14．甲、乙两个圆柱的体积相等，它们底面积的比是3: 4，则甲、乙两个圆柱的 高的比是( )。 【答案】4∶3/ 4 3 【分析】两个圆柱底面积的比是3: 4，可以把甲圆柱的底面积看作 3，乙圆柱的 底面积看作 4。设甲圆柱的高是 h1，乙圆柱的高是 h2，圆柱的体积＝底面积×高， 而两个圆柱的体积相等，则 3h1＝4h2。根据比例的基本性质，把 h1和 3看作外 项，h2和 4看作内项，即可写出甲、乙两个圆柱的高的比。 【详解】设甲圆柱的高是 h1，乙圆柱的高是 h2，则 3h1＝4h2。根据比例的基本性 质可得：h1∶h2＝4∶3，即甲、乙两个圆柱的高的比是 4∶3。 【点睛】本题考查了圆柱的体积、比和比例的基本性质的综合应用。根据圆柱的 体积公式写出等式，再根据比例的基本性质求出两个圆柱的高的比。 二、解答题。 15．甲、乙两车同时从相距 567千米的两地两对开出，经过 3.5小时相遇。已知 甲、乙两车的速度比是 5∶4，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车：90千米；乙车：72千米 【分析】根据题意，甲、乙两车的速度比是 5∶4，甲车的速度是乙车速度的 5 4 。 设乙车的速度为 x千米，则甲车的速度为 5 4 x千米；用乙车的速度×3.5，即 3.5x 千米；求出乙车 3.5小时行驶的路程；用甲车的速度×3.5，即 5 4 x×3.5千米，求出 甲车 3.5小时行驶的路程，甲车 3.5小时行驶的路程＋乙车 3.5小时行驶的路程 ＝两地的路程，列方程：3.5x＋ 5 4 x×3.5＝567，解方程，即可解答。 【详解】甲、乙两车速度比是 5∶4，则甲车的速度是乙车的 5 4 。 9 / 17 解：设乙车的速度是 x千克，则甲车的速度是 5 4 x千米。 3.5x＋ 5 4 x×3.5＝567 31.5 4 x＝567 x＝567÷ 31.5 4 x＝567× 4 31.5 x＝72 甲车速度： 5 4 ×72＝90（千米） 答：甲车速度 90千米，乙车速度 72千米。 【点睛】本题考查相遇问题，根据比的应用，找出甲车速度与乙车速度之间的关 系，根据方程的实际应用，利用速度、时间、路程三者的关系，设出未知数，找 出相关的量，列方程，解方程。 16．小东爸爸拿到一笔 6000元的奖学金，他打算按下面方案进行分配，其中 1 15 交小东的学费，用来购书的钱与交学费的钱的比是 3∶2，用来购书和交学费的 钱共多少元？ 【答案】1000元 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用 6000乘 1 15 即可求出 交学费的钱数，因为购书的钱与交学费的钱的比是 3∶2，据此求出 1份表示的 钱数，再用 1份表示的钱数乘（3＋2）即可求解。 【详解】6000× 1 15 ÷2×（3＋2） ＝400÷2×（3＋2） ＝200×5 ＝1000（元） 答：用来购书和交学费的钱共 1000元。 【点睛】本题考查比的应用，求出 1份表示的钱数是解题的关键。 17．小杨、小周和小张三家人共用一个水表，六月份他们三家人共用水 240吨， 已知每吨水 2.5元，该月水费他们三家按 1∶3∶2分担，六月份他们三家分别要 10 / 17 交水费多少元？ 【答案】小杨家 100元；小周家 300元；小张家 200元 【分析】已知每吨水 2.5元，三家人共用水 240吨，根据“单价×数量＝总价”， 求出三家要交的总水费；又已知该月水费他们三家按 1∶3∶2分担，即小杨家的 水费占 1份，小周家的水费占 3份，小张家的水费占 2份，一共是（1＋3＋2） 份；用三家要交的总水费除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘三家水费 占的份数，即可求出三家分别要交的水费。 【详解】240×2.5＝600（元） 600÷（1＋3＋2） ＝600÷6 ＝100（元） 100×1＝100（元） 100×3＝300（元） 100×2＝200（元） 答：六月份小杨家要交水费 100元，小周家要交水费 300元，小张家要交水费 200元。 【点睛】本题考查按比分配问题，先根据单价、数量、总价之间的关系求出总水 费，再把三家的水费比看作份数，求出一份数是解题的关键。 18．学校买来 500本故事书，先拿出 60本捐给“希望工程”，剩下的按 5∶6分配 给五、六两个年级。五、六年级各分得故事书多少本？ 【答案】五年级分得故事书 200本，六年级分得故事书 240本 【分析】由题意可知，分配给五、六两个年级的故事书有（500－60）本，然后 根据按比分配的方法求出五、六年级各分得故事书多少本。 【详解】（500－60）÷（5＋6） ＝440÷11 ＝40（本） 五年级：40×5＝200（本） 六年级：40×6＝240（本） 答：五年级分得故事书 200本，六年级分得故事书 240本。 11 / 17 【点睛】本题考查按比分配问题，明确五、六年级所占的份数是解题的关键。 19．一艘轮船以每时 40千米的速度从甲港驶往乙港，行了全程的 20%后，又行 3 2 时。这时，未行的路程与已行的路程的比是3:1，甲、乙两港相距多少千米？ 【答案】1200千米 【分析】将甲、乙两港的总路程看成单位“1”，根据未行的路程与已行的路程的 比是3:1可得：已行的路程占总路程的 1 3 1 ，再根据已行的路程等于全程的 20% 与 3 2 时行程的和，求出 3 2 时的行程占总路程的 1 3 1 －20%；根据速度×时间＝路程 求出 3 2 时的行程，再除以其占总路程的分率即可求出总路程；据此解答。 【详解】 3 2 ×40÷（ 1 3 1 －20%） ＝ 3 2 ×40÷5% ＝60÷5% ＝1200（千米） 答：甲、乙两港相距 1200千米。 【点睛】根据未行路程与已行路程的比求出已行路程占全程的分率是完成本题的 关键。 20．学校原有足球、篮球共 54个，其中足球与篮球个数的比是 4∶5，本月买进 一些篮球后，足球个数占足球、篮球总个数的 40%，现在学校的足球、篮球各有 多少个？ 【答案】24个；36个 【分析】足球与篮球个数的比是 4∶5，可得足球的个数占总个数的 4 4 5 ，根据 求一个数的几分之几是多少，用乘法求出原来足球的个数，足球的个数不变，已 知一个数的百分之几是多少，求这个数，用足球的个数除以 40%，即可求出本月 足球、篮球的总个数，减去原来足球个数，即可求出现在篮球的个数。 【详解】54× 4 4 5 ＝54× 4 9 ＝24（个） 12 / 17 24÷40%＝60（个） 60－24＝36（个） 答：现在学校的足球有 24，篮球有 36个。 【点睛】本道题的解答的关键是：以不变的量（足球的个数）为突破口，根据不 变的量求出变化的量。 21．在比例尺为 1∶6000000的地图上，量得 A、B两地的距离是 7cm，甲、乙 两辆汽车同时从 A、B两地相向出发，3时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是 3∶4，乙每时行驶多少千米？ 【答案】80千米 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地的实际距离，再根据速 度和＝路程÷时间，求出甲、乙的速度和，再由“甲车与乙车速度的比是 3∶4”利 用按比例分配的方法列式解答即可。 【详解】两地的实际距离：7÷ 16000000＝42000000（厘米） 42000000厘米＝420千米 乙车的速度：420÷3× 4 3 4 ＝140× 47 ＝80（千米） 答：乙车每时行 80千米。 【点睛】本题主要应用的知识点是：实际距离＝图上距离÷比例尺，速度和×相 遇时间＝路程及利用按比例分配的方法解决问题。 22．一项工程，甲单独做要 10天完成，甲、乙的工作效率比是 3∶2。甲做了 5 天后，乙加入进来做，两人同时做几天就可以完成这项工程？ 【答案】3天 【分析】把这项工程看作单位“1”，甲的工作效率是 1÷10即为 1 10 ，甲、乙的工作 效率比是 3∶2可知乙的效率是 1 10 × 23 ，根据工作时间＝工作总量÷工作效率进行 解答即可。 【详解】乙的效率： 1 10 × 23 ＝ 1 15 13 / 17 （1－ 1 10 ×5）÷（ 1 10 ＋ 1 15 ） ＝ 1 2 ÷ 5 30 ＝3（天） 答：两人同时做 3天就可以完成这项工程。 【点睛】本题考查分数乘除法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计 算即可。 23．有 60千克盐水，其中盐与水的比是 3∶17，现在要提高盐水的浓度，使盐 占盐水的 20%，有以下两种方法：A．再增加一些盐；B．蒸发掉一些水。请你 选择一种方法并计算出这种方法需要增加多少千克盐或蒸发掉多少千克的水？ 【答案】选择 A方法的话，应该加盐 3.75千克 【分析】先用盐水的千克数乘盐占的分率，得出盐的千克数，选择方法 A，设加 盐 x千克，根据等量关系：原来盐的千克数＋加入盐的千克数＝（盐水的千克数 ＋加入盐的千克数）×盐占盐水的百分率，列方程解答即可。 【详解】盐：60× 33 17 ＝9（千克） 选择方法 A， 解：设加盐 x千克， 9＋x＝（60＋x）×20% 9＋x＝12＋0.2x 9＋x－0.2x＝12＋0.2x－0.2x 9＋0.8x＝12 9＋0.8x－9＝12－9 0.8x＝3 0.8x÷0.8＝3÷0.8 x＝3.75 答：选择 A方法的话，应该加盐 3.75千克。 【点睛】本题主要考查了比的应用，注意方程的应用。 24．一本故事书，小玲第一天看了全书的 19，第二天看了 25页，两天看的页数 与未看页数的比是 1∶3，这本书共多少页？ 14 / 17 【答案】180页 【分析】将总页数看作单位“1”，根据两天看的页数与未看页数的比是 1∶3，得 到两天看的页数为 1 1 3 ，而第一天看了全书的 1 9，那么第二天看的页数为 （ 1 1 1 3 9   ），然后用第二天看的 25页除以第二天看的对应分率，求出总页数。 【详解】205÷（ 1 1 1 3 9   ） ＝25÷ 5 36 ＝25× 365 ＝180（页） 答：这本书共 180页。 【点睛】解决本题关键是根据两天看的页数与未看页数的比，求出两天看的页数 所占分率，然后求出第二天看的占全书的分率。 25．郑州市地铁 2号线是我们去郑州经常乘坐的线路，全长约 42千米。 （1）在比例尺为 1∶20000的 37寸 LED动态地图上，2号线长多少厘米？ （2）已知 2号线 6分钟平均可行 3千米，照这样的速度，行完全程需要多长时 间？（用比例解答） 【答案】（1）210厘米 （2）84分钟 【分析】（1）图上距离＝实际距离×比例尺，据此计算即可； （2）由题意可知，设行完全程需要 x分钟，因为路程÷时间＝速度，速度是一定 的，所以路程和时间成正比例，据此列比例解答即可。 【详解】（1）42千米＝4200000厘米 4200000× 1 20000＝210（厘米） 答：在比例尺为 1∶20000的 37寸 LED动态地图上，2号线长 210厘米。 （2）解：设行完全程需要 x分钟。 3∶6＝42∶x 3x＝6×42 3x＝252 15 / 17 3x÷3＝252÷3 x＝84 答：照这样的速度，行完全程需要 84分钟。 【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确路程和时间成正比例是解题的关键。 26．学校图书室用方砖铺地，若用边长为 6分米的方砖铺，要用 160块。如果改 用边长为 8分米的方砖铺，要用多少块？ 【答案】90块 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，可以求出一块方砖的面积；因为学校 图书室的面积一定，即一块方砖的面积×方砖的块数＝学校图书室的面积（一定）， 乘积一定，所以一块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，由此列出反比例方 程，并解答。 【详解】解：设要用 x块， 6×6×160＝8×8×x 5760＝64x 64x＝5760 x＝5760÷64 x＝90 答：要用 90块。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的 比例方程。 27．修一条公路，已经修了 600千米，已修与未修的比是 2∶3，那么这条公路 长多少千米？（用比例解） 【答案】1500千米 【分析】把这条公路的总长度设为未知数，未修的长度＝这条公路的总长度－已 经修的长度，已经修的长度∶未修的长度＝2∶3，据此解答。 【详解】解：设这条公路长 x千米。 600∶（x－600）＝2∶3 2×（x－600）＝3×600 2x－2×600＝1800 16 / 17 2x－1200＝1800 2x＝1800＋1200 2x＝3000 x＝3000÷2 x＝1500 答：这条公路长 1500千米。 【点睛】本题主要考查比例的应用，分析题意找出题目中的等量关系是解答题目 的关键。 28．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高 36米。 某展馆设计制作了钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是 1∶50。模型的高 度是多少米？（用比例解） 【答案】0.72米 【分析】根据题意可知，钟楼模型的高度∶钟楼实际的高度＝1∶50，据此列出 比例方程，并求解。 【详解】解：设模型的高度是 x米。 x∶36＝1∶50 50 x＝36×1 x＝36÷50 x＝0.72 答：模型的高度是 0.72米。 【点睛】本题考查比例的应用，从题目中找到等量关系，根据等量关系列出方程。 29．张爷爷家 5月份用电 120度，交电费 66元，同小区万奶奶家交了 82.5元， 万奶奶家用电多少度？（用比例解） 【答案】150度 【分析】由题意可知：电费的单价是一定的，即电费与用电量的比值是一定的， 则电费与用电量成正比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设万奶奶家用电 x度， 66∶120＝82.5∶x 66x＝120×82.5 17 / 17 66x＝9900 x＝9900÷66 x＝150 答：万奶奶家用电 150度。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 30．用正方形瓷砖铺一间教室的地面，如果用边长为 4分米的正方形瓷砖需要 400块，如果改用边长为 5分米的正方形瓷砖，需要多少块？（用比例解决） 【答案】256块 【分析】每块砖的面积×砖的块数＝教室的地面面积（一定），所以每块砖的面 积与砖的块数成反比例。设如果改用边长为 5分米的正方形瓷砖，需要 x块。边 长为 4分米的正方形瓷砖的面积×400＝边长为 5分米的正方形瓷砖的面积×x。 据此列出方程并解方程即可。 【详解】解：设需要边长为 5分米的正方形瓷砖 x块。 5×5×x＝4×4×400 25x＝6400 x＝6400÷25 x＝256 答：需要 256块。 【点睛】用比例知识解决问题关键是找到不变的量，只要两种相关联的量中相对 应的两个数的比值一定，就可以用正比例知识解答；只要两种相关联的量中相对 应的两个数的乘积一定，就可以用反比例知识解答。 1 / 5 小升初考前·最后一练（四）：比与比例·应用综合 一、填空题。 1．x＝2y（x，y为非 0自然数），那么 x和 y的最大公因数是( )，最小 公倍数是( )，x和 y成( )比例。 2．一个等腰三角形周长是 56厘米，其中两条边之比是 3∶2，这个三角形的一 条腰长是( )厘米。 3．幼儿园有 27个篮球，按 4∶5分别借给苹果班和草莓班，苹果班分得( ) 个，草莓班分得( )个。 4．在一幅地图上，用 5厘米的线段表示实际距离 50千米，这幅地图的比例尺是 ( )，在这幅地图上量得邳州到徐州的图上距离是 11厘米，邳 州到徐州的实际距离是( )千米。 5．某工厂今年第一季度生产洗衣机 4000台，其中一月份生产的台数占总数的 1 5 ， 二月份与三月份生产的台数比是3:5，该工厂三月份生产了( )台洗衣机。 6．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表： 平均每天产量／台 200 300 500 所需时间／天 75 50 30 (1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”） (2)现要在 20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。 7．数学中的黄金比（约为 0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为 使乐曲婉转动听，经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首 80节的乐曲， 转折点就设在“80×0.618≈49”处，也就是第 49节处。如果一首 50节的乐曲，转 折点应设在第( )节处。（用“四舍五入法”保留整数） 8．我国农历的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天，2023年 6月 21日 是“夏至”，这一天白昼和黑夜的时间比约是 9∶7，那么，黑夜约是( ) 小时。 2 / 5 9．一列动车和一辆汽车的速度比是13 : 4，已知这列动车每时比汽车多行 180千 米，汽车每时行( )千米。 10．把一个长方形按 3∶1的比放大，放大后长方形与原来长方形周长的比是 ( )，放大后长方形与原来长方形面积的比是( )，如果放大后长 方形的面积是 108平方厘米，那么原来长方形的面积是( )平方厘米。 11．创城工作队有两个小组，甲组有 28人，乙组有 22人，现在如果要使甲乙两 组人数比为 3∶2。方案一：乙组人数不变，甲组增加( )人；方案二：甲 乙两组总人数不变，从乙组调( )人到甲组。 12．学校体育队男女运动员的人数比是 7∶5，男运动员比女运动员多 6人，体 育队男运动员有( )人，体育队共有运动员( )人。 13．一个直角三角形两条直角边的和是 14厘米，它们的比是 3∶4。这个三角形 的面积是( )平方厘米；如果斜边是 10厘米，斜边上的高是( ) 厘米。 14．甲、乙两个圆柱的体积相等，它们底面积的比是3: 4，则甲、乙两个圆柱的 高的比是( )。 二、解答题。 15．甲、乙两车同时从相距 567千米的两地两对开出，经过 3.5小时相遇。已知 甲、乙两车的速度比是 5∶4，甲、乙两车每小时各行多少千米？ 16．小东爸爸拿到一笔 6000元的奖学金，他打算按下面方案进行分配，其中 1 15 交小东的学费，用来购书的钱与交学费的钱的比是 3∶2，用来购书和交学费的 钱共多少元？ 3 / 5 17．小杨、小周和小张三家人共用一个水表，六月份他们三家人共用水 240吨， 已知每吨水 2.5元，该月水费他们三家按 1∶3∶2分担，六月份他们三家分别要 交水费多少元？ 18．学校买来 500本故事书，先拿出 60本捐给“希望工程”，剩下的按 5∶6分配 给五、六两个年级。五、六年级各分得故事书多少本？ 19．一艘轮船以每时 40千米的速度从甲港驶往乙港，行了全程的 20%后，又行 3 2 时。这时，未行的路程与已行的路程的比是3:1，甲、乙两港相距多少千米？ 20．学校原有足球、篮球共 54个，其中足球与篮球个数的比是 4∶5，本月买进 一些篮球后，足球个数占足球、篮球总个数的 40%，现在学校的足球、篮球各有 多少个？ 21．在比例尺为 1∶6000000的地图上，量得 A、B两地的距离是 7cm，甲、乙 两辆汽车同时从 A、B两地相向出发，3时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是 3∶4，乙每时行驶多少千米？ 4 / 5 22．一项工程，甲单独做要 10天完成，甲、乙的工作效率比是 3∶2。甲做了 5 天后，乙加入进来做，两人同时做几天就可以完成这项工程？ 23．有 60千克盐水，其中盐与水的比是 3∶17，现在要提高盐水的浓度，使盐 占盐水的 20%，有以下两种方法：A．再增加一些盐；B．蒸发掉一些水。请你 选择一种方法并计算出这种方法需要增加多少千克盐或蒸发掉多少千克的水？ 24．一本故事书，小玲第一天看了全书的 19，第二天看了 25页，两天看的页数 与未看页数的比是 1∶3，这本书共多少页？ 25．郑州市地铁 2号线是我们去郑州经常乘坐的线路，全长约 42千米。 （1）在比例尺为 1∶20000的 37寸 LED动态地图上，2号线长多少厘米？ （2）已知 2号线 6分钟平均可行 3千米，照这样的速度，行完全程需要多长时 间？（用比例解答） 5 / 5 26．学校图书室用方砖铺地，若用边长为 6分米的方砖铺，要用 160块。如果改 用边长为 8分米的方砖铺，要用多少块？ 27．修一条公路，已经修了 600千米，已修与未修的比是 2∶3，那么这条公路 长多少千米？（用比例解） 28．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高 36米。 某展馆设计制作了钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是 1∶50。模型的高 度是多少米？（用比例解） 29．张爷爷家 5月份用电 120度，交电费 66元，同小区万奶奶家交了 82.5元， 万奶奶家用电多少度？（用比例解） 30．用正方形瓷砖铺一间教室的地面，如果用边长为 4分米的正方形瓷砖需要 400块，如果改用边长为 5分米的正方形瓷砖，需要多少块？（用比例解决）