精品解析：河北省沧州市盐山中学2024届高三三模数学试题

2024届高三第三次模拟测试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方及复数除法运算求出复数，再求出即可得解. 【详解】由，得， 则，所以的虚部为1. 故选：A 2. 若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在圆外代入圆的方程可得 ，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】由题意知， 故 ， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 3. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和 角即可进行化简. 【详解】. 故选：B. 4. 随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据： 20 25 30 35 40 5 7 8 9 11 用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（ ）（单位：百件） A. 11.2 B. 11.75 C. 12 D. 12.2 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可得到回归直线方程，最后代入计算可得. 【详解】因为，， 所以回归直线过点，故，解得， 所以，将代入中，得， 即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为百件. 故选：D. 5. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用组合知识，即可求出结果. 【详解】相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为. 故选：A. 6. 若，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数单调性，可得，所以 ； 因为，所以， 又因为，所以，即 ，所以. 故选：B. 7. 《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体 的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定三棱锥的外接球的体积最小时球心的位置，由此可求出三棱锥的高，利用体积公式，即可求得答案. 【详解】如图，在正四面体 中，假设 底面，则点为外心. 在上取一点，满足 ，则， 则为三棱锥的外接球球心， 当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小， 此时点与点重合.作，垂足为，， 为三棱锥的高. 由正四面体 的棱长为，知，， ，. 设，则，故，. 由，得， 解得.， . 故选：A. 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可. 【详解】令， 所以． 令，定义域为， 令 ，易知在上单调递增，且． 所以， 则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点． 则，当时， ；当 时， ， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，当 时，；当时，， 则，解得 ，即实数的取值范围是． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断；由代入消元结合函数的最值可判断C；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D. 【详解】因为， 所以的符号不确定， 由不等式的性质知成立， 但不一定成立，故A正确，B错误； 因，故C正确； 因为 ，所以，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知为抛物线 的焦点，直线过且与交于两点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B. 当的面积为时， C. 为钝角三角形 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点与抛物线的位置关系即可判断A；联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，利用焦半径公式即可求解B；根据数量积的坐标运算即可求解C；根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D. 【详解】如图①所示，因为，所以，解得 ， 所以抛物线的标准方程为. 对于A，因为，当时，， 故点在抛物线的外部， 所以与仅有一个公共点的直线有3条，故A正确； 对于B，由抛物线的方程可知，焦点，设的方程为，联立消去， 整理得 ，所以， 又，所以 ， 解得 ，则， 则，故B错误； 对于C，由选项B可知，所以，故为钝角， 所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，由选项B可知 ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 图① 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， 在处的切线方程为 B. 若 有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是 的极大值点 D. 当时， 有唯一零点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与 的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确； 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确： 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与 的图像有3个交点， 又由， 令，解得或 ；令，解得， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数 取得极小值，极小值为， 又由时，，当时，且 ， 如下图： 所以，即实数的取值范围为，所以B正确： 对于中，当时，，可得， 令，在上单调递增， 且,所以存在使得， 所以在上 ，单调递减， 在上 ，单调递增，又, 所以在上，即，单调递减， 在上 ，即，单调递增， 所以是 的极小值点，所以错误． 对于D中，当时，， 设，可得， 当时，在单调递减；当时，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数 在上单调递增， 又因为，即， 所以 有唯一零点且，所以D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，根据集合，即可求出. 【详解】由题意知，又且，故 ，即的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】易得，再由点在的图象上，代入函数解析式求得，再利用伸缩变换和平移变换得到，作出其图象，利用数形结合法求解． 【详解】解：由的部分图象，可得． 由图可知点在的图象上，则，， 由五点作图法可得，，解得，则． 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到的图象， 再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象． 作出函数的部分图象如图所示， 由根据函数的图象知： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即方程在上有两个不相等的实数根． 故答案为： 14. 已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于的等式，即可求出离心率. 【详解】由及，得，， 又，则，设， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， 于是，且， 整理得，且，因此， 所以的离心率为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得出数列为等比数列，再根据条件求出，即可求出结果； （2）根据（1）得到 ，再利用错位相减法，即可求出结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，即，则， 则数列为等比数列，设其公比为，由， 得且，解得，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以①， ②， ①②得： ， 所以． 16. 在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． （1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． （2）（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益 达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 【答案】（1）0.896； （2）（i）；（ii）181. 【解析】 【分析】（1）由二项分布的概率公式即可求解； （2）（i）根据所给数据直接代入公式计算出 即可得回归方程； （ii）根据题意表示出 ，然后求导，利用导数即可求解. 【小问1详解】 因为每天的出租率为0.2，所以每天闲置的概率为， 所以3天中至少有2天闲置的概率． 【小问2详解】 （i）根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象， 故的拟合效果更好． 依题意，，， 所以， 所以， 所以经验回归方程为． （ii）设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率， 所以该民宿在这280天的收益为： ， 所以． 令，得， 所以， 且当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时， 取得最大值． 所以旅游淡季民宿租金定为181元时，该民宿在这280天的收益 达到最大． 17. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3． （1）证明：平面平面； （2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接 ， 因为， 所以为等边三角形， 因为为中点，所以 ，， 因为三棱柱的体积为3，设到平面的距离为， 所以 ，所以，则 平面， 又 平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接 ，由已知得出，再根据体积求出点到平面的距离，即可得出 平面，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及同角三角函数的关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知 平面，又 平面，所以 ， 因为为的中点， ，所以，且， 所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，， 因为， 所以，因为为的中点，所以， 则 ， 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，故， 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以，所以． 18. 已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出，再由离心率公式求出，即可得解； （2）首先判断直线的倾斜角不为零，设直线的方程为 ，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出，由弦长公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题知双曲线的渐近线方程为， 不妨设，则焦点到渐近线的距离， 的离心率为， 故双曲线的标准方程为 ． 【小问2详解】 由（1）可得， 当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为， 代入双曲线方程可得，不妨令，， 则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零， 设直线的方程为 ，，， 联立，消去整理得， ，，， ． ，， ，， ， ， ， 即， ， ， 或 ． 当 时，，不符合题意，． ，， ， 解得 ，故直线的方程为． 综上，直线的方程为或． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 若函数与在区间上恒有，则称函数为和在区间上的隔离函数. （1）若，判断是否为和在区间上的隔离函数，并说明理由； （2）若，且在 上恒成立，求的值； （3）若，证明： 是为和在上的隔离函数的必要条件. 【答案】（1）是和在区间上的隔离函数，理由如下： 是和在区间上的隔离函数.因为， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 又，当时，在上取到最小值0， 故.又，所以. 综上，是和在区间上的隔离函数. （2）. （3）证明：设，由（2）得（当且仅当时取等号）， 所以，当且仅当时取等号， 设，则，所以在上单调递增， 又，所以存在使得，即，则， 又，则，由隔离函数定义可得，所以， 设，则， 又，则是的极小值点，所以，即， 结合，得，故 ， 所以 是为和在上的隔离函数的必要条件.. 【解析】 【分析】（1）根据隔离函数定义依次证明和在上是否恒成立即可得解. （2）依据 ，得到是的极小值点，也是最小值点，从而求出，再进行检验即可. （3）构造函数并求出其隐零点，结合题意得到，与，进而得到的关系，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 因为，则是的极小值点，也是最小值点， 所以，即. 当时，， 当时， ；当时， ， 所以，即恒成立（当且仅当时取等号）， 故. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：证明 是为和在上的隔离函数的必要条件的关键是构造函数并求出其隐零点，从而得到的关系，从而得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三第三次模拟测试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据： 20 25 30 35 40 5 7 8 9 11 用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（ ）（单位：百件） A. 11.2 B. 11.75 C. 12 D. 12.2 5. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法.若正四面体 的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数 满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为抛物线 的焦点，直线过且与交于两点， 为坐标原点，为上一点，且，则（ ） A. 过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B. 当的面积为时， C. 为钝角三角形 D. 的最小值为 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， 在处的切线方程为 B. 若 有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是 的极大值点 D. 当时， 有唯一零点，且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的取值范围为__________. 13. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 14. 已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，记，求． 16. 在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为（单位：元/日），得到如图的数据散点图． （1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的3天中至少有2天闲置的概率． （2）（i）根据散点图判断，与哪个更适合此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求经验回归方程． （ii）若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用（i）中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益 达到最大． 附：记，，，，， ，，，，，． 17. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，三棱柱的体积为3． （1）证明：平面平面； （2）若为棱的中点，求平面与平面的夹角的正切值． 18. 已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2． （1）求双曲线的标准方程； （2）设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程． 19. 若函数与在区间上恒有，则称函数为和在区间上的隔离函数. （1）若，判断是否为和在区间上的隔离函数，并说明理由； （2）若，且在 上恒成立，求的值； （3）若，证明： 是为和在上的隔离函数的必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $