精品解析：四川省凉山州民族中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

凉山州民族中学高2025届高二下期数学5月月考试题 一、单选题 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，则（ ） A. -2025 B. -2024 C. 2024 D. 2025 4. 已知向量，若，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知首项为1的数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知非负实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是 B. 第四项和第八项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为1024 D. 各项的系数之和为1024 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，如图，图象经过点，，则（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 12. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 三、填空题 13. 复数是纯虚数，则实数______． 14. 在中，，，，则以B、C为焦点，且过A点的双曲线的离心率为______． 15. 甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______． 16. 如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则此四面体的外接球表面积为_________． 四、解答题 17. 已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 18. 在的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等． （1）在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率； （2）记取到有理项的项数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 19. 已知的最小正周期为， （1）求的值； （2）若在上恰有个极值点和个零点，求实数的取值范围． 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：平面． （2）若为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 21. 已知椭圆的方程为，过点且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）点A是椭圆与轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆于两点，且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 22. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行． （1）求实数的值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州民族中学高2025届高二下期数学5月月考试题 一、单选题 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式解集合B，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由，得且， 解得，即， 所以，有2个元素. 故选：B 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． 3. 在中，已知，，则（ ） A. -2025 B. -2024 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式和三角形内角和定理，计算求得答案； 【详解】两式作差得， ， 所以，即． 故选： 4. 已知向量，若，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直关系可得向量积为0，然后用向量的坐标运算即可求得结果. 【详解】,, 由得：， 则，所以， 故选：B. 5. 已知首项为1的数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系逐项求解即可. 【详解】∵， ，， ，. 故选:B. 6. 已知非负实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为非负实数满足， 显然，则，所以， 则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 7. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 8. 过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一 ：先求出，再由两角和的正切值求解即可得出答案；解法二：设直线的方程为，由圆心到直线的立即等于半径，解方程即可得出答案. 【详解】解法一 由，得， 该圆的圆心为，半径为1，如图所示，连接， 易知， 所以， 解法二 由，得， 该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为， 则， 解得：或，所以． 故选：B． 二、多选题 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是 B. 第四项和第八项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为1024 D. 各项的系数之和为1024 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可判断AB；根据各项的二项式系数之和为即可判断C；利用赋值法即可判断D. 【详解】的展开式的通项公式为. A：令，解得，所以常数项为，故A正确； B：第四项为，第八项为， 有，故B错误； C：，即各项的二项式系数之和为1024，故C正确； D：设，则，所以各项的系数之和为1，故D错误. 故选：AC 10. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的求导公式及复合函数的求导法则逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，故错误； 对于B，因为， 所以，故正确； 对于C，因为， 所以，故错误； 对于D，因为， 所以，故正确. 故选：BD. 11. 已知函数，如图，图象经过点，，则（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由得周期，进而得；将点代入可得的值；由来可判断不是对称轴；由正弦函数的单调性可求的单调递增区间. 【详解】由及过，得，即， 所以，又，解得，故A正确； 又点代入，得， 所以，又，于是，故B不正确； 由，则，故C不正确； 由，得 于是的单调递增区间为，令可知D正确. 故选：AD. 12. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 的前5项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可. 【详解】等差数列中，，解得，而， 因此公差，通项， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，为递减数列，C正确； 对于D，，所以的前5项和为 ，D错误. 故选：BC 三、填空题 13. 复数是纯虚数，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】是纯虚数， 则，解得． 故答案为：1． 14. 在中，，，，则以B、C为焦点，且过A点的双曲线的离心率为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先用余弦定理求，用可求双曲线的离心率. 【详解】根据余弦定理得， 所以 所以． 故答案为：3 15. 甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式可得答案. 【详解】若乙射进1次，则他赢的概率为； 若乙射进2次，则他赢的概率为； 若乙射进3次，则他赢的概率为； 故乙赢的概率为. 故答案为：. 16. 如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则此四面体的外接球表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合二面角及三棱锥的性质先定出球心的位置，然后结合球的性质求出球的半径，进而求得答案. 【详解】过球心分别作平面、平面的垂线，垂足分别为，，则，分别为与的外心， 取的中点，连接，，因为与均是边长为的等边三角形 所以为二面角的平面角，即， 在中，，， 所以，在中，， 故外接球的半径，所以外接球的表面积为 故答案为： 四、解答题 17. 已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式； （2）利用错位相减法可得数列的前n项和． 【小问1详解】 设数列的公比为， ∵，， ∴， 即，∴（舍去）， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 ∵，∴． ∴， ， 两式相减得， ∴． 18. 在的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等． （1）在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率； （2）记取到有理项的项数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列为： X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据题意，由二项式展开式的通项公式即可得到二项展开式中有3项有理项，6项无理项，再由条件概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别计算其对应的概率，即可得到分布列与期望. 【小问1详解】 由题可得二项式展开式的通项为，， 令，解得． 故二项展开式中有3项有理项，6项无理项． 记事件“第一次取到有理项”，事件“第二次取到无理项”， 所以，， 则. 【小问2详解】 由题意可得的可能取值为， ， ， ， 则分布列为： X 0 1 2 P . 19. 已知的最小正周期为， （1）求的值； （2）若在上恰有个极值点和个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再结合周期求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得； （2）首先得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后根据正弦函数的性质得到，解得即可. 【小问1详解】 因为， 由函数的最小正周期为且，即，解得， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 因为，所以， 要使在上恰有个极值点和个零点，则需， 解得，即实数的取值范围为. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：平面． （2）若为线段的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，易知且， ∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为矩形， ∵，∴， ∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，∴平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由平面，推出，再根据所给的边长，证明，根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，． 设平面的法向量为， 则即，取， 平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 21. 已知椭圆的方程为，过点且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）点A是椭圆与轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆于两点，且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）利用设而不求的方法求得面积的表达式，再利用均值定理即可求得面积的最大值． 【小问1详解】 由题意，解得，，得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设，，直线， 联立方程组，得， 由，解得，，， 由， 知 ，且， 代入化简得， 解得， 又由知，得， ， （当且仅当时取等号）， 综上，面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 22. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行． （1）求实数的值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）知，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与，即可求解. 【小问1详解】 解：因为函数，可得， 所以，即曲线在点处的切线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得， 故实数的值为． 【小问2详解】 解：由（1）知， 因为，所以由，即． 设， 则在上恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $