精品解析：重庆市朝阳中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

重庆市朝阳中学高一下数学月考 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算直接计算可得结果. 【详解】因为. 所以. 所以的虚部为. 故选：A 2. 已知，，若，则实数（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，解得. 故选：D 3. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式和平方关系求解. 【详解】∵ 则且， ∴. 故选：D 4. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 5. 已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由模长公式结合题设条件得条件等式，结合模长公式将所求转换为求二次函数最值即可. 【详解】设，而，所以，即， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最小值为. 故选：A. 6. 《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱长均为，则该“刍童”的体积为（ ） A. 224 B. 448 C. 147 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合图形得到求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果． 【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图， ． 因为“刍童” 上、下底面均为正方形，所以底面，又，所以底面， 因为，所以， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，则，即“刍童” 的高为， 则该刍童的体积． 故选：D． 7. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论错误的是（　　） A. D1O∥平面A1BC1 B. MO⊥平面A1BC1 C. 异面直线BC1与AC所成的角等于60° D. 平面MAC⊥平面ABC 【答案】D 【解析】 【详解】连接B1D1，交A1C1于E，连接BO，BE（图略），则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE.因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1 ，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确；连接B1D（图略），因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1 ，所以MO⊥平面A1BC1，故B正确；因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角或其补角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故C正确；因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以MO显然不垂直于BO，故D错误． 8. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由图象求出函数，再由平移变换得函数，结合整体法求值域，从而求的取值范围. 【详解】设的最小正周期为，由图象可知， 所以，则，故， 又的图象过点，所以， 所以，又，所以， 则， 则. 当时，， 当或.即或时，， 当，即时，， 所以的取值范围为. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，共18分，在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分）． 9. 已知复数，则（ ） A. z的虚部为 B. z是纯虚数 C. z的模是 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的有关概念判断AB，根据复数的几何意义判断CD. 【详解】对于A．由虚部定义知z的虚部为．故A错误； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：CD． 10. 已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定判断A；确定线线位置关系判断B；利用平面基本事实判断C；利用线面垂直的性质、面面平行的性质判断D. 【详解】对于A，显然，又，则，A正确； 对于B，由，得与可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误； 对于C，由，，知点在平面内， 即为平面的公共点，而，因此，C正确； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：ACD 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 在区间上单调递增 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项. 【详解】由，得，即，又， ，又的图象过点，则，即， ，即得，，又，， 所以，故A正确； 向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确； 当时，则，由余弦函数单调性知，在单调递减，故C错误； 对于D，由，得，解得或，， 方程在上有6个根，从小到大依次为：，而第7个根为，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知向量，则向量的夹角的余弦值为________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据给定的坐标，求出向量的数量积及模，再求出夹角余弦作答. 【详解】因为向量，则，， 所以向量的夹角的余弦值为. 故答案为： 13. 若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径和母线，根据条件得到的关系式，由此可表示出圆锥的高，根据可求结果. 【详解】设圆锥的底面半径和母线长分别为， 母线与底面所成的角为，由题意可得，， 由勾股定理可得圆锥的高，所以， 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，分别为，，的中点，点在棱上，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行先确定H点位置，再结合长方体的外接球的性质确定球心及球半径计算表面积即可. 【详解】 如图所示，由题意可将四棱锥补形为长方体， 延长交于两点，连接， 过点作交于点，易知此时平面， 则由平行线分线段成比例及已知条件可得：， 由长方体的外接球性质可知，三棱锥的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为对角线，设球半径为， 则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可. （2）利用余弦定理和正弦定理求解即可. 【小问1详解】 由，且， 则， 所以． 【小问2详解】 由， 则， 又，则． 16. 四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且，，，，M是棱PB的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明:取的中点，连接，， 因为为的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到且，即四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）再底面等腰梯形中求出、，即可得到，再由线面垂直的性质得到，即可得到平面，再根据计算可得； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在等腰梯形中，，，， 过点、分别作、，所以，， 所以， 在中，由余弦定理， 即，所以， 所以，即， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以三棱锥的高为， 又是的中点，所以， 所以； 17. 在中，角所对的边分别为，且．已知向量，． （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算结合正弦定理、角度关系即可化简得角的大小； （2）根据正弦定理边角转化，结合三角函数恒等变换得，根据角度关系，结合正弦型函数的性质即可得周长的取值范围．. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得． 又， 由于． 【小问2详解】 ， 由正弦定理，得． 则 ，则， ， ，则， 故周长的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1） 由条件有， 且平面，， 平面，又平面，； 又，是的中点，； 又平面，， 平面，平面，． 由已知，且平面，， 平面．又平面， 平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可证明出平面平面； （2）先根据条件作出二面角的平面角，假设边长后利用即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，则，作于，连结． 底面，底面． 为在平面内的射影， ，， 为二面角的平面角． 设， 在中，，， ； 二面角的正切值为． . 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）9 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据计算即可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 所以，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则， 所以， ， 所以， 又， 所以； 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是9． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市朝阳中学高一下数学月考 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 已知复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 3. 等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱长均为，则该“刍童”的体积为（ ） A. 224 B. 448 C. 147 D. 7. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论错误的是（　　） A. D1O∥平面A1BC1 B. MO⊥平面A1BC1 C. 异面直线BC1与AC所成的角等于60° D. 平面MAC⊥平面ABC 8. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分，在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分）． 9. 已知复数，则（ ） A. z的虚部为 B. z是纯虚数 C. z的模是 D. z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与为异面直线 C. 若，且，则 D. 若，则 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 在区间上单调递增 D. 若方程在上有且只有6个根，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 已知向量，则向量的夹角的余弦值为________. 13. 若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为__________. 14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，分别为，，的中点，点在棱上，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 16. 四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且，，，，M是棱PB的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 在中，角所对的边分别为，且．已知向量，． （1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值． 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $