专题10对数运算与对数函数（十一大考点+二个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

专题10对数运算与对数函数 一、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 考点01指数与对数的互化及对数运算 【例1】若，则（    ） A． B．2 C． D．5 【例2】化简下列各式： (1)； (2). 【变式1-1】设，，则 【变式1-2】已知，，则 .（用表示） 【变式1-3】计算 (1) (2) 考点02换底公式 【例3】已知，则 .（用含的式子表示） 【例4】化简 . 【变式2-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则 . 【变式2-3】已知，且，，则 ． 考点03定义域和解析式 【例5】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 【变式3-1】函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-2】点，都在同一个对数函数上，则t= . 【变式3-3】“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点04值域 【例7】已知定义在上的函数为偶函数.当时，. (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求函数的值域. 【例8】已知，则的值域是 ． 【变式4-1】若定义运算，则函数的值域是 . 【变式4-2】求函数，的值域. 【变式4-3】已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 考点05定点及图象问题 【例9】函数（且）的图象所过的定点为（　　） A． B． C． D． 【例10】在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数且恒过定点，则点的坐标为 . 【变式5-2】函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   考点06单调性问题（含求参） 【例11】下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【例12】已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数的单调递增区间是 ． 【变式6-3】“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点07比较指对幂的大小 【例13】若，则（    ） A． B． C． D． 【例14】设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 考点08解不等式 【例15】设实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例16】已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式8-1】已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 考点09反函数 【例17】若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【例18】已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 【变式9-2】设函数的反函数为，且的图象过点，则的图象必过点 . 【变式9-3】已知函数是函数的反函数，则过定点 . 考点10根据值域（最值）求参数 【例19】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【例20】已知函数（且）为奇函数. (1)求函数的定义域及解析式； (2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值. 【变式10-1】若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【变式10-2】若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 考点11恒（能）成立问题 【例21】已知，函数，，若，，恒成立，则实数的取值范围是 . 【例22】已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【变式11-1】已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 【变式11-2】已知函数，其中，． (1)若函数的值域为R，求t的取值范围； (2)若不等式在上恒成立，求t的取值范围． 【变式11-3】已知. (1)求函数和的解析式； (2)对恒成立，求实数的取值范围. 易错01忽视对数函数的定义域限制 注意：在求解对数函数题目时，应先对其定义域求出来，以免范围扩大 1．已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)求不等式的解集. 2．已知函数． (1)求的定义域 (2)求不等式的解集． 易错02对数函数中底数含参，需分类讨论 注意：底数的取值对于对数函数的性质有着决定性的影响，因此解题时务必要对底数全面分析，避免错误 1．已知函数在上的最大值是2，则a等于 2．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 6．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9．设均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是（） A．； B．； C．； D． 10．已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（    ） A． B．的单调减区间为和 C．若方程有5个不同的实根，则 D．的取值范围是 三、填空题 12．函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ． 13．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则 ． 14．函数，（），对，使成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)，求实数x的值； 16．已知函数其中． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若关于x的方程在上有解，求a的取值范围． 17．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 18．已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 19．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10对数运算与对数函数 一、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 考点01指数与对数的互化及对数运算 【例1】若，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】由，得， ，， . 故选:C. 【例2】化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式. （2）原式 . 【变式1-1】设，，则 【答案】1 【详解】由题意可得，，， ， . 故答案为：1. 【变式1-2】已知，，则 .（用表示） 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以 . 故答案为： 【变式1-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2）原式． 考点02换底公式 【例3】已知，则 .（用含的式子表示） 【答案】 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故答案为： 【例4】化简 . 【答案】 【详解】原式 . 故答案为：. 【变式2-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据换底公式有，， 可得，整理得. 故C正确，检验可知其他选项均不符合. 故选：C. 【变式2-2】若，则 . 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：1. 【变式2-3】已知，且，，则 ． 【答案】4 【详解】 ，且，即， 设，则， ，解得或（舍去），即， ， ， ， ，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 考点03定义域和解析式 【例5】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. 所以函数的定义域为 故选：B 【例6】已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 【答案】0；；1. 【详解】由题意知，即，而且， 所以，， 所以， ， . 【变式3-1】函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】由题可知，解得且. 故选：D 【变式3-2】点，都在同一个对数函数上，则t= . 【答案】9 【详解】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得； 因为也在函数上，所以，解得. 故答案为：9 【变式3-3】“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，则在上恒成立， 故满足，解得，由成立得一定成立， 反之成立时，不一定成立， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 故选：B 考点04值域 【例7】已知定义在上的函数为偶函数.当时，. (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 因为为上的偶函数，所以； （2）当时，， 故， 又为上的偶函数，故， 所以， 所以； （3）当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为， 故， 由函数为偶函数可知，当时，单调递增，， 则， 综上，的值域为 【例8】已知，则的值域是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令， 又， 则， 易知在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式4-1】若定义运算，则函数的值域是 . 【答案】 【详解】依题意，由，得，即，解得， 由解得，因此， 显然函数在上单调递减，取值集合为，在上单调递增，取值集合是， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式4-2】求函数，的值域. 【答案】 【详解】. 设，且，故， 则且，图象的对称轴为， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，，当时，. ∴的值城为. 【变式4-3】已知函数. (1)求方程的根； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得，整理可得， 分解因式可得，由，解得，则. （2）由，根据函数在上单调递增，则， 令，， 根据二次函数的性质，则， 由函数在上单调递增，则. 考点05定点及图象问题 【例9】函数（且）的图象所过的定点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数（且）， 令，解得，则， 所以的图象所过的定点为. 故选：A. 【例10】在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 【变式5-1】已知函数且恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】令得，此时， 即函数且恒过定点. 故答案为： 【变式5-2】函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故排除D； 当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确. 故选：A. 【变式5-3】已知（且且），则函数与的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】由，即为，即有； 当时，， 函数在上为增函数，在为增函数，选项B满足； 当时，， 函数在上为减函数，在为减函数， 四个图象均不满足，在同一坐标系中的图象只能是B． 故选：B 考点06单调性问题（含求参） 【例11】下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A:结合对数函数可知在上单调递减，所以在上单调递增，故选项A错误； 对于选项B: 结合指数函数可知在上单调递增，所以在上单调递增，故选项B错误； 对于选项C: 因为，结合幂函数图象与性质可知在上单调递减，故选项C正确； 对于选项D: 结合幂函数可知在上单调递增，故选项D错误. 故选：C. 【例12】已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 【变式6-1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 故选：A 【变式6-2】函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】解：由，得或． 函数的定义域为或． 令，该函数在上为减函数， 而函数为定义域内的减函数， 则函数的单调递增区间是． 故答案为：． 【变式6-3】“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】令，， 当在上单调递增时， 因为是上的增函数， 则需使是上的增函数且，则且， 解得，必有，故必要性成立； 当时，取，可知在上有小于零的情况， 此时无意义，即充分性不成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C． 考点07比较指对幂的大小 【例13】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，又因为， 所以，又，所以． 故选：A. 【例14】设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以，故， ，所以. 故选：. 【变式7-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即. 又因为函数在上单调递增，所以，所以. 故选：D. 【变式7-2】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 又，所以． 故选：C 【变式7-3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，所以. 故选：A. 考点08解不等式 【例15】设实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得， 由，可得或，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例16】已知函数，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】当时，得， 当时，，得，所以， 综上：的解集为， 故答案为：. 【变式8-1】已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 由，得，即， 因为不等式在上恒成立， 所以，即可. 由，得，即， 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式8-2】（多选）已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】∵且， ∴当，即时，不等式可化为，即， ∴，，. ∴当，即时，不等式可化为，即， ∴，，. 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 【变式8-3】已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）设的定义域为， 因为为偶函数，所以，都有， 即对都成立， 等价于对都成立， 整理得都成立， 所以，解得. 所以的值为1. （2）由题意， 移项得， 所以， 所以， 整理得，即， 解得， 所以不等式的解集为. 考点09反函数 【例17】若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数（且）的反函数为， 即，又，所以，所以， 则. 故选：A 【例18】已知方程与的根分别为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A、C，方程与的根分别为，， 即与的交点横坐标为，与的交点横坐标为， 由题知，， 与的图象关于对称， 都与相交，可得点与点,关于对称， 所以，即，故A，C正确； 设，显然函数在R上单调递增， 又， 对于B，由零点存在定理可知，根据对称性可得，B正确； 对于D，由B选项知，，， 则， 所以，D错误， 故选：D． 【变式9-1】若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】因为与函数互为反函数，所以，在定义域上为减函数， 令，解得：， 可知的定义域为， 则在上递增，在上递减， 利用复合函数的单调性可知： 在上递减，在上递增. 故答案为：. 【变式9-2】设函数的反函数为，且的图象过点，则的图象必过点 . 【答案】 【详解】因为的图像过点，所以， 所以函数的图象过定点， 根据互为反函数的两个函数的图象关于直线对称可得的图象必过点. 故答案为：. 【变式9-3】已知函数是函数的反函数，则过定点 . 【答案】 【详解】函数是函数的反函数， 又函数过定点所以函数过定点. 故答案为： 考点10根据值域（最值）求参数 【例19】若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 【例20】已知函数（且）为奇函数. (1)求函数的定义域及解析式； (2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值. 【答案】(1)定义域为， (2)或 【详解】（1）要使函数有意义，则，可得：， 因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为， 由可得：，所以， 此时，是奇函数，符合题意. （2）， ①当时，函数单调递减， 所以， ， 所以， 解得. ②当时，函数单调递增， 所以，， 所以， 解得. 综上，或. 【变式10-1】若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 【变式10-2】若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 【变式10-3】设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由可得，解得， 即，则，即， 即， 故不等式的解集为； （2）由于在上的最大值与最小值之差为1， 故，即或， 即的值为或. 考点11恒（能）成立问题 【例21】已知，函数，，若，，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】∵，，恒成立， ∴. ， 当时，，，即. 又，. ①当，时，单调递增， ，即， 所以有，解得； ②当，时，单调递减， ，即， 所以有，解得. 综合①②可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 【例22】已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数的定义域为R， ，解得， 此时 成立， 所以. （2）由题，不等式，所以，即， 有，则，所以 因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 【变式11-1】已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故答案为：. 【变式11-2】已知函数，其中，． (1)若函数的值域为R，求t的取值范围； (2)若不等式在上恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1） 依题意，， 设函数的值域为，由的值域为，得， 而，则，因此，解得， 所以的取值范围为. （2） 依题意，在上恒成立， 由，得函数在定义域内单调递减，则， 于是对恒成立，而， 则当，即时，，因此，此时满足， 所以的取值范围为. 【变式11-3】已知. (1)求函数和的解析式； (2)对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）令，则，则有， 所以. ，解得 所以. （2）， 当时，，，则. 因为对恒成立，即对恒成立， 所以有，解得， 故实数的取值范围为. 易错01忽视对数函数的定义域限制 注意：在求解对数函数题目时，应先对其定义域求出来，以免范围扩大 1．已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是奇函数 (2) 【详解】（1）由题意的定义域为，它关于原点对称， 且， 所以在上是奇函数. （2）由题意，所以，解得， 即不等式的解集为. 2．已知函数． (1)求的定义域 (2)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)或. 【详解】（1）由，即，得或， 的定义域为或. （2）由已知可得，即， 所以，即，解得或， 所以，解集为或. 易错02对数函数中底数含参，需分类讨论 注意：底数的取值对于对数函数的性质有着决定性的影响，因此解题时务必要对底数全面分析，避免错误 1．已知函数在上的最大值是2，则a等于 【答案】2 【详解】当时，函数在上单调递增， 则，解得， 当时，函数在上单调递减， 则，无解， 综上，a等于. 故答案为：2. 2．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，， 则问题转化为在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图象， 要想满足在上恒成立，只需，即，解得． 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 一、单选题 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，故. 故选：C. 2．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， ， 所以． 故选：D. 4．已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知 时，，所以， 又为减函数， 所以时，， 而，所以的值域是， 则. 故选：C 5．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（    ）(附：) A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B 【详解】当时，； 当时，. 所以增大的百分比为：. 故选：B. 6．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 【答案】A 【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，上式不等式为，显然不恒成立； 当时，则，解得，故A正确； 对于B，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值， 所以，解得，故B错误； 对于C，因为函数在区间上为增函数， 所以当时，，符合题意； 当时，，解得； 综上，，故C错误； 对于D，当时，， 由，可得，解得，故D错误. 故选：A. 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，， 因为函数的值域为，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B． 8．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设，当时，， 故不等式在区间上有解等价于在有解， 即在有解， 不妨令，则只需， 由对号函数的性质易知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以的最小值为，即， 故实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9．设均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是（） A．； B．； C．； D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，而，故B错误， 对于C，若，则，故，显然不符合要求，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：BCD 10．已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【详解】函数函数， 当时，的范围是； 时，，， 由题意存在最小值，， 故选：CD． 11．已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（    ） A． B．的单调减区间为和 C．若方程有5个不同的实根，则 D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】当时，， 当时，，， 画出函数图像，如图所示：    对选项A：根据对称性知，，故，正确； 对选项B：的单调减区间为和，正确； 对选项C：，， 或， 当或时，有两个解，有3个解，共有5个解，错误； 对选项D：，根据图像知：， 且，即，， ， 设，，故， 原式，正确； 故选：ABD 三、填空题 12．函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ． 【答案】 【详解】由题可得：，故，其定义域为，值域为； 因为，解得，故的反函数为. 故答案为：. 13．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则 ． 【答案】1 【详解】根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则有f（－x）＝f(x)，又f（x－1）是奇函数，则f（－x－1）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝f[－（x＋2）]＝f[－（x＋1）－1]＝－f[（x＋1）－1]＝－f(x)，即f（x＋2）＝－f(x)，则有f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，则，，故． 故答案为：1. 14．函数，（），对，使成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可知时，； 令，构造函数， 由二次函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增； 所以，，即； 也即时，； 又，所以在上单调递增，即； 若对，使成立，可知； 即，解得. 又，所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解用逻辑语描述的不等式恒成立问题时，一般是利用两函数值域之间的关系构造不等式解出参数取值范围即可. 四、解答题 15．已知函数且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)，求实数x的值； 【答案】(1) (2)或16 【详解】（1）由已知得，，，（且） 解得，； 故； （2），即或3， ∴或3， ∴或16. 16．已知函数其中． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若关于x的方程在上有解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则 解得，即的取值范围为． （2）方程即， 根据题意可得方程在上有解， 因为，所以，则， 因为函数在上单调递减，所以， 则，即的取值范围为． 17．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． （2）当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 18．已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 19．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$