精品解析：2024年内蒙古自治区赤峰市巴林左旗林东多校联考中考数学模拟试题（二）

2024年中考模拟试题数学 温馨提示： 1．本试卷共八页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前考生务必将班级、姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”． 3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上视为无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：（共14小题，每小题3分，共42分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置涂黑） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在日常生活中，我们经常见到下列符号，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 据统计，最近三年到我旗观光旅游的游客约有175万人次，旅游收入大幅增长，带动我旗经济的发展，将175万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放跳水比赛 B. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球 C. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全部正面向上的概率为 D. 画一个三角形，其内角和是 6. 骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕，中国男、女队双双登顶，分别夺取连冠和6连冠，如图是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 8. 小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为(   ) A. 50<x<80； B. 50≤x≤80； C. 50≤x<80； D. 50<x≤80； 9. 学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 11. 随着生活水平的提高，小峰同学家购置了轿车，这样他乘坐轿车上学比乘坐公交车上学所需要的时间少了20分钟．已知小峰同学家距学校12千米，乘坐轿车速度比乘坐公交车速度每小时快30千米，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 13. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 14. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 15. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示） 16. 如图，是一几何体的三视图，根据图中数据，这个几何体的侧面积是___________． 17. 如图，在菱形中，，，折叠该菱形，使点落在边上的点M处，折痕分别与边，交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最小值为______． 18. 公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为______m． 三、解答题（共8个题，满分96分．在答题卡上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组： 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理如下： 【整理数据】 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 方差 甲 8.8 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 8 0.96 （1）表中________，________． （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． （3）若去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则________．（填“”“”或“”） 21. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 22. 辽上京南塔，位于巴林左旗东南郊的辽上京遗址南侧，始建于辽代早期，与北塔相对因此得名．南塔的建筑风格独特，塔身上的浮雕又显示了辽代晚期的艺术特征．辽上京遗址是第一批全国重点文物保护单位，其由北部的皇城和南部的汉城两部分组成．南塔是该遗址的重要组成部分，与北塔一同见证了辽上京的历史风貌．某校“综合与实践”小组的同学把“辽上京南塔的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 项目主题 测量辽上京南塔塔身的高度 活动目的 经历项目化活动过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题，运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等绘测工具 平面示意图 测量步骤 相关数据及说明，图中各点住同一竖直平面内，为塔高，为水平观景台，是观景台的竖直高．是斜坡，是竖直放置在地面的测角仪，为水平地面，测得，在点处测得塔顶端的仰角为，，，m，m． 计算结果 交流展示 根据上面的报告，解决下面问题： （1）求点到水平地面的距离； （2）求辽上京南塔的高度（结果取整数．参考数据：）． 23. 设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． （1）尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… （2）归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． （3）运用：若与100a的差为2525，求a的值． 24. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 25. 【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论． （2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长． 请根据题意分别在图2、图3上补画图形，并尝试解决：当时，求的长． 26. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考模拟试题数学 温馨提示： 1．本试卷共八页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前考生务必将班级、姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”． 3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上视为无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：（共14小题，每小题3分，共42分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置涂黑） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 在日常生活中，我们经常见到下列符号，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）逐一进行判断即可解题． 【详解】解：A、图形为轴对称图形，不符合题意； B、图形为轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，符合题意； D、图形为轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 据统计，最近三年到我旗观光旅游的游客约有175万人次，旅游收入大幅增长，带动我旗经济的发展，将175万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，为正数；当原数的绝对值时，为负数．据此即可获得答案． 【详解】解：175万． 故选：B． 5. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放跳水比赛 B. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球 C. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全部正面向上的概率为 D. 画一个三角形，其内角和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播放跳水比赛，是随机事件，不符合题意； B、一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球，是随机事件，不符合题意； C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，全部正面向上的概率为，是必然事件，符合题意； D、画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 6. 骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用平行线的性质得到，再根据计算求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：C． 7. 年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕，中国男、女队双双登顶，分别夺取连冠和6连冠，如图是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了组合体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键． 根据从正面看到的是主视图判断作答即可． 【详解】解：由题意知，领奖台的主视图如下； 故选：C． 8. 小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为(   ) A. 50<x<80； B. 50≤x≤80； C. 50≤x<80； D. 50<x≤80； 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设中关键词少于、不少于即可列出不等式. 【详解】依题意正常范围为少于80次，但不少于50次，即大于等于50，小于80， 50≤x<80，选C. 【点睛】此题主要考查列不等式，仔细分析题意即可. 9. 学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．根据题意分以下两种情况，当是等腰三角形的底角，以及当是等腰三角形的顶角，讨论求解，即可解题． 【详解】解：当是等腰三角形的底角，则底角的度数为； 当是等腰三角形的顶角，则底角的度数为； 综上所述，等腰三角形的一个角是，其底角的可以是或． 故选：C． 10. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键． 11. 随着生活水平的提高，小峰同学家购置了轿车，这样他乘坐轿车上学比乘坐公交车上学所需要的时间少了20分钟．已知小峰同学家距学校12千米，乘坐轿车速度比乘坐公交车速度每小时快30千米，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：乘坐公交车所用的时间乘坐轿车所用的时间小时，据此列出方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 12. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 13. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵过点的两条切线相交于点， ∴, ∴, ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键． 14. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ） A. 6 cm B. 8 cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设与相交于点O，与相交于点，由菱形的性质得出，，，，利用勾股定理求出和，进而求出和，然后详解，即可求出答案． 【详解】解，设与相交于点O，与相交于点． ∵四边形和四边形是菱形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长需要缩短． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 15. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16. 如图，是一几何体的三视图，根据图中数据，这个几何体的侧面积是___________． 【答案】60π 【解析】 【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论． 【详解】解：由三视图可知，原几何体为圆锥， ∵l==10， ∴S侧=×πd×l=×π×12×10=60π． 故答案为：60π． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键． 17. 如图，在菱形中，，，折叠该菱形，使点落在边上的点M处，折痕分别与边，交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，根据垂线段最短，得当时，最小，此时也最小，过点F作于点，当与点重合时，最小，此时也最小，过点D作于点，根据菱形，，，解答即可． 本题考查了菱形的性质，垂线段最短，平行线间的距离处处相等，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】根据折叠的性质，得，根据垂线段最短，得当时，最小，此时也最小，过点F作于点，当与点重合时，最小，此时也最小，过点D作于点， ∵菱形，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为，将代入解析式得出①；喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为；将代入解析式得②，联立①②可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距O点，则此时的解析式为，将代入求解，即可解题． 【详解】解：由题知，喷头高时，水柱落点距O点； 设抛物线形水柱解析式为， 则①， 喷头高时，水柱落点距O点．且抛物线形水柱竖直上下平移， 这时抛物线形水柱解析式为， 则②， 联立①②解得，， 设喷头高应调整为米， 调整后抛物线形水柱解析式为， 要使水柱落点距O点， 过点， 即， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共8个题，满分96分．在答题卡上写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式组． （1）先化简乘方，二次根式，绝对值和特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可； （2）分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解，”取它们的公共解即可． 【详解】（1）解：原式， （2）解：， 解①得：， ， ， 解②得：， ， ， 则该不等式组的解集为：． 20. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理如下： 【整理数据】 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 方差 甲 8.8 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 8 0.96 （1）表中________，________． （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． （3）若去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】（1）9， （2）选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定， 所以选甲更合适； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数以及方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， ∴甲得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，丙得分分别为：8，8，8，10，10， ∴丙得分平均数为． 故答案为：9，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差， ， 故答案为：． 21. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】（1）一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨 （2）6套 【解析】 【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可． 【小问1详解】 解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． 【小问2详解】 解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． 22. 辽上京南塔，位于巴林左旗东南郊的辽上京遗址南侧，始建于辽代早期，与北塔相对因此得名．南塔的建筑风格独特，塔身上的浮雕又显示了辽代晚期的艺术特征．辽上京遗址是第一批全国重点文物保护单位，其由北部的皇城和南部的汉城两部分组成．南塔是该遗址的重要组成部分，与北塔一同见证了辽上京的历史风貌．某校“综合与实践”小组的同学把“辽上京南塔的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 项目主题 测量辽上京南塔塔身的高度 活动目的 经历项目化活动过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题，运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等绘测工具 平面示意图 测量步骤 相关数据及说明，图中各点住同一竖直平面内，为塔高，为水平观景台，是观景台的竖直高．是斜坡，是竖直放置在地面的测角仪，为水平地面，测得，在点处测得塔顶端的仰角为，，，m，m． 计算结果 交流展示 根据上面的报告，解决下面问题： （1）求点到水平地面的距离； （2）求辽上京南塔的高度（结果取整数．参考数据：）． 【答案】（1） （2）m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角的技巧是解题的关键． （1）延长交于点，证明是直角三角形，由，得，从而即可得解； （2）由示意图可得，在是直角三角形中，解直角三角形得，，从而即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形 ∵， ∴， ∵； ∴ ∴到水平地面的距离是． 【小问2详解】 解：由示意图可得， ∵是直角三角形，，是斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴ 答：辽上京南塔的高度约为m． 23. 设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． （1）尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… （2）归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． （3）运用：若与100a的差为2525，求a的值． 【答案】（1）③； （2） 相等，理由如下： 100a(a＋1)＋25= （3） 【解析】 【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案； （3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可． 【小问1详解】 解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 与100a的差为2525， 整理得： 即 解得： 1≤a≤9， 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键． 24. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 【答案】（1） 证明：连接， 在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可； （2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， 又， ∴， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键． 25. 【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系． 【探究与证明】 （1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论． （2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明． 【应用拓展】 （3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长． 请根据题意分别在图2、图3上补画图形，并尝试解决：当时，求的长． 【答案】 （1）证明：∵正方形 ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）； 选择图2进行证明． 证明：将沿折叠， 则，∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而E为中点， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用证明得，可得，即可求证； （2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以，继而可知，再由，E为中点，即可求证； （3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”证明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二种情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2， ∵，E为中点， ∴，而 ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，∵， ∴； 第二种情况，当点P在点H右侧，如图3， 同理可求，此时， ∵， ∴ ， ∴， 同理可得， ∴， ∴，∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等角三角函数值相等，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 26. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点C的坐标为； （2） （3）存在；m的值为4或 【解析】 【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式； （2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可． 【小问1详解】 解：由得， 当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为． 设直线BC的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为﹒ 【小问2详解】 解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D， ∴点P的坐标为，， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，． 过点C作于点G，则． ∵， ∴四边形CODG是矩形， ∴ ，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴． 当时，﹒ ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：存在；m的值为4或． 分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H， ∵过点P作直线，交y轴于点F， ∴ ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，． 根据勾股定理，在中，， 在中，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； ②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示， 同理可得，，，，， ∴ ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； 综上，m的值为4或 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $