精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年 高一下学期5月月考数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知条件：，条件：，且一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若为虚数单位，则复数的模是（ ） A B. C. 5 D. 3. 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则 A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁(如图1)，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.若为一个按上述方法制作的扇面装饰品装裱边框(如图2)，则需要边框的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角､､的对边分别是､､，若，，且三角形有两解，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上有且仅有三个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分． 9. 已知函数，恒成立，且的最小正周期为，那么（ ） A. B. 在区间上的最小值为 C. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称 D. 在上单调递增 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 11. （多选）对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 13. 已知平面向量与夹角为45o，则向量在方向上的投影为______. 14. 如图，设两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量的距离50m，，则可以计算两点间的距离是________________ 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量伴随函数为，在中，，，求的值； （3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 18. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若，求角C的大小． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且． （1）求边的长度； （2）若，求的余弦值； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年 高一下学期5月月考数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知条件：，条件：，且的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据所给不等式分别解出，再根据逻辑关系得到是的真子集，最后利用集合的关系即可求解. 【详解】由知，，两边同乘，得，解得，由不等式可得. 当，即，不等式解为，又因为的一个充分不必要条件是，则是的真子集，则有，解得； 当，即时，由是的真子集可得，解得. 当，即时，不等式解得，此时是的真子集，符合题意. 综上. 故选：D 2. 若为虚数单位，则复数的模是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算把化成的形式，则模为. 【详解】， . 故选：. 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题. 3. 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为恒成立，求实数a的取值范围即可. 【详解】由题函数的定义域为R， 所以恒成立，令 当时，不恒成立，舍去； 当时，若恒成立， 则需解得， 综上实数a的取值范围为. 故选：D 4. 已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知，=，<0可依次判断大小关系. 【详解】已知，=，<0,进而得到 故答案为C 【点睛】这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小． 5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除选项A，B；根据函数在内单调性可排除选项C. 【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，故排除选项A，B； 易知函数在内单调递增，函数在内单调递增， 所以当时，在内单调递增，故排除选项C. 故选：D. 6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁(如图1)，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.若为一个按上述方法制作的扇面装饰品装裱边框(如图2)，则需要边框的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】 设扇形的圆心角为，的长为，依题意利用扇形的面积公式即可求出及，再利用弧长公式计算可得； 【详解】解：设扇形的圆心角为，的长为， 由题意可知，解得 ，解得， ，， 故边框的长度 故选：A 7. 在中，角､､的对边分别是､､，若，，且三角形有两解，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求出，再分析解的情况． 【详解】由，得， 三角形有两解，则，，∴，此时由于，即，因此可能为锐角，也可以为钝角．两解． 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理，考查正弦定理解三角形的解的个数问题．掌握正弦定理是解题关键． 8. 已知函数在上有且仅有三个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可． 【详解】因为， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 二､多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分． 9. 已知函数，恒成立，且的最小正周期为，那么（ ） A. B. 在区间上的最小值为 C. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】根据最小正周期和可求得，由此可得，知A正确；根据正弦型函数最值的求法可知B错误；根据三角函数平移变换可得向左平移个单位长度后所得函数，根据奇偶性可知C错误；利用代入检验的方式，结合正弦函数的单调性可知D正确. 【详解】对于A，最小正周期，； 恒成立，， ，， 解得：，又，， ，A正确； 对于B，当时，， 当时，，B错误； 对于C，， 向左平移个单位长度后所得到的不是偶函数，图象不关于轴对称，C错误； 对于D，当时，，在上单调递增，D正确. 故选：AD. 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，，故为等腰三角形，可判断；由正弦定理边化角代入可证明，判断；由余弦定理得是钝角，可判断；由三角形的面积公式计算即可，判断. 【详解】对于，因为在中，， 所以当时，，故为等腰三角形，故正确； 对于，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，由余弦定理得， 又因为是中的一个内角，所以， 所以是钝角三角形，故错误； 对于，，故正确. 故选：. 11. （多选）对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据作差比较法及不等式的性质，逐一分析各选项即可求解. 【详解】解：对于A：因，所以，，所以，故A为真命题； 对于B：因为，，所以，同理可得，即，故B为真命题； 对于C：因为，，所以，故C为假命题； 对于D：因为，，所以，，，所以，故D为假命题． 故选：AB． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ， 方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案：． 【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 13. 已知平面向量与夹角为45o，则向量在方向上的投影为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出的模,再利用投影的定义求解即可. 【详解】由题,,所以向量在方向上的投影为, 故答案为: 【点睛】本题考查向量的投影,考查向量的模的应用. 14. 如图，设两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量的距离50m，，则可以计算两点间的距离是________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求得. 【详解】依题意可知，由正弦定理得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量； （2）记向量的伴随函数为，在中，，，求的值； （3）记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简函数，然后结合伴随向量的定义可得答案； （2）先求，结合三角形的性质及差角公式可得答案； （3）先根据区间及正弦函数的性质确定，再结合值域求法可得答案. 【小问1详解】 ， 所以． 小问2详解】 由题意，得． 所以，又C为的内角，所以． 因为，所以，所以． 所以． 【小问3详解】 由题意，得，故， ∵，∴， 在上单调递增，在上单调递减，且， 所以，， 此时，； ∵，∴，∴， 即可得函数的值域为. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入可得出，解不等式可得，然后根据交集的运算，即可得出答案； （2）根据已知条件，列出不等式组，求解即可得出答案. 【小问1详解】 当时，有. 解可得，或， 所以或， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，或， 又，， 所以有，解得，， 所以满足的实数的取值范围是． 17. 某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 【解析】 【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值； (2)利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解. 【详解】解：(1) ∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即, 当时，由三角形的面积公式得： ， ，则， ，当，即时取等号， ∴当时，取得最大值， 当时，郁金香种植面积最大； (2)由余弦定理得： ，， ， 令，∵，∴， ， ，即时，的最大值为6. 故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 18. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若，求角C的大小． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，再求出，即可得到答案； （2）根据三角形的面积公式可得，再由两角差的余弦公式可得，结合，可得角C的大小. 【详解】（1）， ∵ ∴，即，又 ∴． （2）∵，∴ ∴ 由正弦定理可得： ， 因为，所以，则， 故 所以或． 【点睛】本题考查正弦定理、面积公式、两角差的余弦公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角的范围. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且． （1）求边的长度； （2）若，求的余弦值； （3）在（2）条件下，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理角化边整理可得出，代入已知，即可得出答案； （2）设，的夹角为，根据已知可得出，.结合已知条件，即可得出，解方程即可得出答案； （3）由已知可设，，，然后推得，.根据面积关系，即可推得.然后得出，根据共线推得.进而得出，然后根据的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 由已知， 由正弦定理角化边可得，. 由余弦定理角化边可得，， 整理可得，，即. 因为，所以． 【小问2详解】 因为为中点，所以. 设，的夹角为， 则. 又， 所以， 整理可得， 解得或. 又，所以，， 所以，所以的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）可得，. 由已知可设，，， 所以，，，. 因为，所以. 由可得，，即. 由G，E，F三点共线，得，即. 所以 . 因为，所以， 即，所以， 所以，即，即， 所以， 所以，所以的取值范围为． 【点睛】关键点睛：根据共线关系，设出未知量，表示出，根据共线关系，得出参数之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$