精品解析：广西南宁市第三中学2024届高三下学期校二模数学试题

南宁三中2023～2024学年度下学期高三校二模 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列，，则等于（ ） A. 21 B. 17 C. 23 D. 20 3. 直线，圆．则直线 被圆 所截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 28 D. 40 5. 已知函数（）图象的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上的值域为 D. 将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 6. 设 是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，， 为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了 名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这 名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为 ，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ） 参考公式：样本划分为 层，各层的容量､平均数和方差分别为： 、、； 、、.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为 D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 10. 如图，在直角三角形 中，，，点 是以 为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ， ， 三点共线时 11. 如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（ ） A. 存在 使得 B. 存在 使得平面 C. 若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D. 当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 三、填空题 12. 在的展开式中， 的系数为___________(用数字作答) 13. 在中，内角 的对边分别为，，且，则面积的最大值为______． 14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 四、解答题 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16. 如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点，且是线段 的中点. （1）求证：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 18. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若.求证： 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求证：直线m与直线的斜率之积为定值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2023～2024学年度下学期高三校二模 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：D 2. 已知为等差数列，，则等于（ ） A. 21 B. 17 C. 23 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求得和公差 ，然后计算出． 【详解】设的公差为 ，因为， 所以，解得， 所以， 故选：D． 3. 直线，圆．则直线 被圆 所截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆 的一般方程化为标准方程，可得直线 过圆心,从而可求解. 【详解】圆 的标准方程为,直线 过圆心, 所以直线 被圆 所截得的弦长等于直径长度4. 故选:B． 4. 若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 28 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况. 【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种； 分为每组各3人，有种，分组方法共有种. 第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种. 所以，总的分配方案有种. 故选：C 5. 已知函数（）图象的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上的值域为 D. 将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D. 【详解】由题意可得，解得， 又，故，即； 对A：当时，， 由函数在上不为单调递增， 故在区间上不为单调递增，故A错误； 对B：当时，， 由不是函数的对称轴， 故不是图象的对称轴，故B错误； 对C：当时，， 则，故C错误； 对D：将图象上的所有点向左平移个长度单位后， 可得， 该函数关于y轴对称，故D正确. 故选：D. 6. 设 是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用条件概率计算公式，结合概率运算性质可得答案. 【详解】， ， 又，则， . 故选：B. 7. 在 中，， 为 内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，，即可表示出 ， ，在 中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解. 【详解】在中，设，令， 则，， 在 中，可得，， 由正弦定理， 得， 所以， 可得，即． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到 中利用正弦定理得到关系式. 8. 已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件求得，然后解直角三角形即可得答案. 【详解】设双曲线左焦点为，如图：，可得， 由双曲线的定义字， 在中，， 在中， 即，可得. 故选：A. 二、多选题 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了 名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这 名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为 ，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ） 参考公式：样本划分为 层，各层的容量､平均数和方差分别为： 、、； 、、.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为 D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为 ，列等式求出实数 的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为 ， 则，解得，A错； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设计该年级学生成绩的中位数为 ，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，B对； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，C对； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，D对. 故选：BCD. 10. 如图，在直角三角形 中，，，点 是以 为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ， ， 三点共线时 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可得 为 的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆 的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出 ，从而求出 ， ，即可判断D. 【详解】因为，即 为 的中点，所以，故A正确； 如图建立平面直角坐标，则，，，， 所以，，则，故B错误； 又， 所以圆 的方程为， 设，， 则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故最大值为，故C正确； 因为 ， ， 三点共线，所以， 又，， 所以，即， 所以， 所以，又，， 且，即， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（ ） A. 存在 使得 B. 存在 使得平面 C. 若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D. 当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可. 【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则由题：， 所以， 因为，， 所以，所以，， 所以，所以， 对于A：由，故A错误； 对于B：由是平面的一个法向量， 则， 所以当时，，所以平面，故B正确； 对于C：由， 设平面的一个法向量为， 所以，令， 设点到平面的距离为 ，则， 所以， 所以， 因为长度为定值，所以当时，三棱锥体积最大，故C正确； 对于D：设直线 与所成角为 ， 由上当时， ， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 在的展开式中， 的系数为___________(用数字作答) 【答案】15 【解析】 【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为， 故答案为：15. 13. 在 中，内角 的对边分别为，，且，则 面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出 最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】因为， 所以由余弦定理，得， 所以，又， 则， 所以由余弦定理以及基本不等式得： ， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即 面积的最大值为， 故答案为：. 14. 若直线与曲线相切，则 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当 趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以 的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 当 时，也符合. 综上，. 【小问2详解】 由 则 ， 故的前项和. 16. 如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点，且是线段 的中点. （1）求证：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取 的中点 ，连接，如图所示， 因为 为 的中点，所以. 在等腰梯形中，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接，证明四边形为平行四边形，进而得，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为故，以直线，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为. 因为 ， 则， 所以. 设平面的法向量为，则 令，得. 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面与平面的夹角为 ， 则. 17. 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 【答案】（1） 2 3 4 ． （2）． 【解析】 【分析】（1）依题得到的取值，求出对应的概率，列出分布列，求得均值； （2）记“甲最终得分为 分”，；“乙获得奖励”,求得和，以及和，利用全概率公式计算即可得到. 【小问1详解】 由题意知学生甲摸球2次总得分的取值为2，3，4， 则，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以． 【小问2详解】 记“甲最终得分为 分”，；“乙获得奖励”． ，． 当甲最终得9分时，乙获得奖励需要最终得10分，则 ； 当甲最终得8分时，乙获得奖励需要最终得10分或9分，则 ； 故 ． 即乙获得奖励的概率为． 18. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若.求证： 【答案】（1） （2） ①由（1）知，， ，故 在上单调递增，即在上单调递增， 又， ， 存在唯一的变号零点， 即有且仅有一个极值点. ②由①知：有且仅有一个极值点且，则 当时，， 由①知：，要证， 只需证：， 而，那么 ， 令，则， 设，则，又， 所以，在上单调递增，即在上单调递增， 又，，在上单调递增， 即在上单调递增，又，， 在上单调递增，， 综上所述，时， 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数单调性，可得出函数单调性，即可求最值； （2）①求出函数导数，根据导数的单调性，利用零点存在性判断导数只有一个变号零点即可；②作差后构造函数，利用导数判断函数单调性，利用单调性求出最小值0即可得证. 【小问1详解】 ，令， 当时，，， ，故 在上单调递增，又， 在上单调递减， 在上单调递增， 的最小值为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问，首先需要对要证结论变形，再构造函数，利用，转化为证明，本题第二个关键点在于需要多次求导，利用函数的单调性，证明函数值不小于0，直到得出单调递增，再由单调性得出结论，过程繁杂，极易出错. 19. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求证：直线m与直线的斜率之积为定值； （3）求的最小值． 【答案】（1）； （2）证明：由题意，点A与点P关于原点对称． 设，则． 由题意可知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k， 记直线m的方向向量为，又直线m为的平分线， 则． 因为， 所以， 同理， 又，代入得， ，化简得． 所以，即直线与直线m的斜率之积为定值； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据虚轴长和渐近线求出即可； （2）设，则，记直线m的方向向量为，利用坐标运算求解，整理即可得答案； （3）设出直线方程，和双曲线联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式得到，然后利用基本不等式求的最值. 【小问1详解】 因为虚轴长为2，即，所以． 又因为有一条渐近线方程为，所以， 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知． 又，所以， 将代入得， ， 所以． 设直线m的方程为， 将代入得， 所以直线m的方程为． 由点到直线距离公式得， ． 又直线 的斜率为，设直线 的方程为， 将代入得， 所以直线 的方程为． 将其与联立得． 设，则． 由得， 所以． 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当且仅当时，的最小值为3． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $