广西河池市部分校2026届高三下学期仿真训练数学试题

高三仿真练习 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．双曲线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A．24 B．30 C．36 D．48 6．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，若，且，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为数列的前项和，则下列结论正确的有（ ） A．是等比数列 B． C．，，是等比数列 D．中存在连续三项成等差数列 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 11．已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A．正方体的外接球半径为 B．，，，四点共面 C．直线与所成角的余弦值为 D．过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且，则展开式二项式系数的和为________．（用数字作答） 13．已知椭圆，斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率________． 14．已知直线是函数和函数图象的公切线，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 壮锦是壮美广西特有的非物质文化遗产，制作一幅壮锦需要经过设计和织锦两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节是否通过相互独立．只有同时通过这两个环节才能成为成品．某壮锦工坊准备制作，，三幅不同的壮锦作品，已知，，三幅作品通过设计环节的概率依次为，，，通过织锦环节的概率依次为，，． （1）若已知，，三幅中恰有一幅作品通过设计环节，求通过的作品为的概率； （2）经过设计和织锦两个环节后，，，三幅作品成为成品作品的件数为．求随机变量的分布列及数学期望． 16．（15分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 设数列满足，且． （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）若，求正整数的值． 18．（17分） 已知抛物线的顶点为原点，焦点（）到直线：的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． （ⅰ）证明：直线的方程为； （ⅱ）求面积的最小值． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三仿真练习数学参考答案 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】AC 10．【答案】BCD 11．【答案】AC 12．【答案】64 13．【答案】 14．【答案】 15．解：（1）设事件，，分别表示，，通过设计环节，由题意得，，，且，，相互独立．设事件为“三幅中恰有一幅通过设计”，事件为“通过设计的作品为”，所求为条件概率． 1分 ． 2分 ． 4分 因此． 5分 （2）设事件，，分别表示，，成为成品作品．则，，． 6分 的可能取值为，，，， 7分 ， 8分 ， 9分 ， 10分 ． 11分 因此的分布列为： 0 1 2 3 12分 ． 13分 16．解：（1）设的中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且． 1分 在直三棱柱中，，且，所以，， 2分 所以四边形为平行四边形 3分 则 4分 又平面，平面，所以平面． 6分 （2）我们以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设直三棱柱的侧棱长， 可得，，，，， 7分 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得． 9分 则向量，，， 10分 设平面的法向量为，则， 11分 令，得，，即； 12分 平面的一个法向量为； 13分 设两个平面夹角为，则．即两个平面的夹角余弦值为 15分 17．解：（1）因为，所以， 2分 所以， 3分 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列． 5分 所以． 7分 （2）由解得， 8分 因为，所以，所以， 10分 所以， 12分 所以， 13分 即，解得． 15分 18．解：（1）由已知可知抛物线开口向上，标准形式设为， 1分 焦点到直线的距离为， 2分 解得， 3分 因此抛物线的方程为． 5分 （2）（i）设切点，，由得，． 6分 则抛物线在点处的切线斜率为，切线方程为，由得 7分 因为在切线上，代入切线方程得， 8分 同理，对切点可得． 10分 说明，两点都满足方程，由两点确定一条直线得，直线的方程就是得证． 11分 （ii）联立直线与抛物线的方程，消去得，判别式 ，由韦达定理得，， 12分 弦长， 13分 点到直线的距离， 14分 因此的面积． 15分 因为，当即时，取得最小值，因此面积的最小值为4． 17分 19．解：（1）当时，，定义域是，求导可得 1分 令，解得， 2分 当变化时，，的变化情况如下表： + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 3分 由此可得的极大值为，没有极小值． 4分 （2）当时，，定义域是 求导可得 5分 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 6分 所以 7分 即在上是增函数 8分 9分 （3），定义域是求导可得 10分 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 11分 当时，，，因此存在使得，即 12分 当变化时，，的变化情况如下表： + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 13分 因此，只需要 14分 即时，在上存在零点； 15分 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，即，在上是增函数，，不符合题目要求 16分 综上所述，的取值范围是． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $