精品解析：江西省吉安市第一中学2024届高三三模数学试题

吉安一中2023—2024学年度下学期全真模拟考试 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. ［1，4] 【答案】C 【解析】 【分析】本题先解不等式求出集合A、B，再结合补集和交集的定义即可求解. 【详解】因为集合或， ， 所以， 故 故选：C. 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，，从而求得，，，再由求解. 【详解】设的公差为d． 因为， 所以，， 则，，． 因为，所以，解得． 故选：B 4. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则， 当时，， ， ，则， ，即曲线在点处切线的斜率为2. 故选：C. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简求出，然后利用同角三角函数基本关求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以，所以，所以， 即，又，所以. 故选：D 7. 如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡 上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值． 【详解】依题意，半径为 ，山高为，则母线， 底面圆周长 ，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图， 显然， 由点向引垂线，垂足为点，此时 为点和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段为上坡路段， 段为下坡路段， 由直角三角形射影定理知，即，解得， 所以公路上坡路段长为． 故选：D 8. 已知双曲线的右焦点为是的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线段与的另一条渐近线交于点．若为坐标原点，，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，可求得，进而计算，即可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 由，得，解得或（舍去）， 所以，从而的渐近线方程为 ． 故选：D 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B. 从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出判断A；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用二项分布的方差公式计算判断C，利用正态分布的特定区间的概率判断D. 【详解】对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则，A错误； 对于B，显然随机变量服从超几何分布，则，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，由正态分布的意义知，为定值，D正确. 故选：BCD 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 B. 存在点，使得 平面 C. 若 平面，则动点的轨迹长度为 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，然后证明截面为，求出周长即可判断A；假设存在点F，根据，分别判断点F位置即可得到矛盾，B错误；根据平面平面即可确定动点的轨迹，可判断C；由AC判断点F位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式确定球心位置，然后可判断D. 【详解】A选项，如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，， 所以过点，，的平面截正方体所得的截面为梯形， 其周长为，故A选项正确； B选项，假设存在点，使得 平面， 则，得只能在线段上， 再由，得只能在线段上，即与重合，不符合题意，故B选项错误； C选项，如图，取的中点M，的中点， 连接，，，可得，， 又平面，平面，平面， 平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以动点的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确； D选项，由A，C选项可得，平面平面， 所以当在点时，到平面的距离最大，此时为等边三角形， 因为平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 由得，，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确． 故选：ACD． 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ） A. C的离心率为3 B. 当时， C. D. 为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D. 【详解】由题意得，，故A错误； 联立，得，解得或，则，故B正确； 由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上， 设，的斜率分别为， ，，故直线的方程为， 联立，得， 设，则，，故. 当轴时，，是等腰直角三角形，且易知； 当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故， 因为，所以，所以，，故C正确； 因为，故，故，故D正确. 故选:BCD. 三、填空题 12. 若，则_________． 【答案】3093 【解析】 【分析】由多项式分析知：为奇数，项系数为负； 为偶数，项系数为正，可得，再应用赋值法求、，即可得结果. 【详解】由题设，含的项中，当为奇数，项系数为负，而当为偶数，项系数为正， 所以， 令，则；令，得， 所以． 故答案为：. 13. 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先分析求解设从小红取出个球，其中红球的个数为个的事件的概率，再分析小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件的概率，结合题中公式运算求解. 【详解】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为， 由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 故答案为：. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由正弦定理、辅助角公式得，由三角形面积公式得，结合余弦定理以及基本不等式即可求解. 【详解】由正弦定理结合，可得， 因为，所以，即， 注意到，所以只能，解得， 若的面积等于， 则，解得， 在三角形中，运用余弦定理有， 三角形的周长，等号成立当且仅当， 综上所述，当且仅当三角形是以顶角的等腰三角形时，的周长取到最小值，且最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且 ． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1） 由题意知 ，且当时，， 所以由 得 ， 所以 ，由得，即 ， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以 ，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列是等差数列，求得，进而求得，利用求得. （2）利用裂项求和法求得，根据的最小值列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，即 ，又， 所以解得 ，所以的取值范围为. 【点睛】易错点睛： 小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误. 小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性. 16. 如图，在三棱柱中，侧面 底面，，点为线段的中点. （1）求证： 平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为侧面是平行四边形，所以为的中点， 又因为点为线段的中点，所以， 因为面，面，所以面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明； （2）由已知可知， 为等边三角形，故，利用面面垂直的性质定理可证得底面，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，因为，， 所以 为等边三角形， ， 因为点为线段的中点， 所以， 因为侧面 底面，平面平面， 平面， 所以底面， 过点在底面内作 ，如图以为坐标原点，分布以，，的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 又因为平面的法向量为， 则， 经观察，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 17. 某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为： ， ，其中． （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程； （2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 【答案】（1） （2）的分布列为 8 11 14 18 【解析】 【分析】（1）对两边取对数可得 ，即 ，再根据最小二乘法求出 ，即可得解； （2）依题意的所有可能取值为8，11，14，18，求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出数学期望； 【小问1详解】 因为两边取对数可得，即 ， 令，所以 ，由 ， ， . 所以 ， 又 ，即 ， 所以 ，所以. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 由题知，甲获得的积分的所有可能取值为8，11，14，18， 所以，， ，， 所以的分布列为 8 11 14 18 所以. 18. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆 的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点B、F都在直线上，结合平方关系即可列出关于的方程组并求解即可； （2）设出直线方程，由直线与圆相切可得，联立直线与椭圆方程结合椭圆方程表示出弦长，进一步表示出面积，从而即可得解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为， 因为点B、F都在直线上，所以，，又， 所以，，， 所以椭圆的方程为：， 【小问2详解】 由题知的斜率存在且不为0． 设． 因为与圆 相切，所以，得． 联立与的方程， 可得 ， 设，， ， 则，． 所以， 将代入，可得． 用替换，可得． 四边形的面积． 令，则，可得， 再令，，则， 可得，等号成立当且仅当，即，即 ， 即四边形面积的最小值为． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为：，单调递减区间为： 和；极大值，极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，即可求出答案； （2）原不等式等价于，记， ，求出 ，则可得出函数的单调性，即可得的值域，记，，利用隐零点说明函数的单调性，结合恒成立，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当时， 令，解得或， 所以的关系如下表： 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间为：，单调递减区间为： 和； 极大值，极小值； 【小问2详解】 令，其中， 设， 令 ，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，， 所以函数的值域为； 又， 设，，则， 当时，，且等号不同时成立，即恒成立； 当 时，，即 恒成立， 所以在上单调递增，又，， 所以存在，使得， 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且 当即时，恒成立，符合题意； 当即 时，取，必有，不符合题意. 综上所述：的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题第1小问考查了利用导数判断函数的单调性与极值；解答第2问的关键在于将原不等式等价于，求出的值域，记，，利用隐零点说明函数的单调性，结合恒成立，求出参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安一中2023—2024学年度下学期全真模拟考试 高三数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. ［1，4] 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡 上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为是的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线段与的另一条渐近线交于点．若为坐标原点，，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B. 从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量 表示所选取的学生中男同学的人数，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 B. 存在点，使得 平面 C. 若 平面，则动点的轨迹长度为 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ） A. C的离心率为3 B. 当时， C. D. 为定值 三、填空题 12. 若，则_________． 13. 托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为___________. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______． 四、解答题 15. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且 ． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，侧面 底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 某游戏公司设计了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为： ， ，其中． （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的回归方程； （2）制定游戏规则如下：玩家在每关的平均过关时间内通过，可获得3分并进入下一关，否则获得分且该轮游戏结束．甲通过练习，前3关都能在平均时间内过关，后面3关能在平均时间内通过的概率均为，若甲玩一轮此款益脑游戏，求“甲获得的积分”的分布列和数学期望． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 18. 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆 的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）当 时，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $