精品解析：江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高二下学期5月教学质量调研评估数学试题

扬州市第一中学2023-2024学年第二学期 5月教学质量调研评估 高二数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，结合交集的定义求. 【详解】不等式，可化为， 所以不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题知： 命题“，都有”的否定是“，使得”， 故选：A. 3. 若随机变量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二项分布的概率公式求解. 【详解】由二项分布的概率公式得. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项分布的概率公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围. 【详解】由题可知是不等式的解集的一个真子集. 当时，不等式的解集为，此时； 当时，不等式的解集为， ，合乎题意； 当时，不等式的解集为， 由题意可得，此时. 综上所述，. 故选：D. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题. 5. 截至目前，联合国共设5个常任理事国，10个非常任理事国，现从这15个国家中选取3个国家，且至少包含一个常任理事国，则共有的选法种数为（ ） A. 120 B. 410 C. 335 D. 455 【答案】C 【解析】 【分析】由所有的选法总数减去不含常任理事国的选法数即可. 【详解】15个国家中选取3个国家，有种选法，其中没有常任理事国的选法有种， 所以从这15个国家中选取3个国家，至少包含一个常任理事国，共有种选法. 故选：C. 6. 关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：不等式的解集是， 即对于，恒成立， 即， 当时，， 当时，， 因为， 所以， 综上所述. 故选：A. 7. 已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）． A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由表格数据求出、，代入得，代入可得，求出答案即可. 【详解】由表格数据知：， ， 代入，得， ∴，即，∴， ∴时，. 故选：B． 8. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为； 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由基本不等式及二次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A: ，等号成立当且仅当，故A错误； 对于B: 当时，等号成立，故B正确； 对于C：当时， ，当时，等号成立， 当时，，当时，等号成立，故C错误； 对于D: ， 当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关 C. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 D. 若，则取最大值时 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，正态分布曲线关于直线对称，则，故选项A正确；对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；对于C，所求概率为，所以C正确；对于D，由，解得或，所以D错误． 【详解】对于A，随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故选项A正确； 对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确； 对于C，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该生在前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，由独立事件的概率乘法可知，所求概率为，所以C正确； 对于D，由，即，解得或，所以D错误． 故选：ABC． 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 命题为真命题的充要条件是 D. 不等式解集为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，A错误；B选项，考虑时，满足要求，B错误；C选项，转化为在上有解，求出的最小值，得到答案；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，得到答案. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足， 当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，中，当时，满足要求，B说法不正确； C选项，在上有解， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，最小值为， 故，C说法正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故，， 则，，故，D说法不正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________. 【答案】75 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案. 【详解】由题意可知，且, 则， 故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为， 故答案为：75 13. 已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据命题的真假求出参数a的范围，即可求得答案. 【详解】命题p：，若p是真命题， 则：，； 命题q：，使得成立， 若命题q为真命题， 则． 所以命题q是假命题时，， 综上，参数a的取值范围为：，即 故答案为： 14. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解. 【详解】解： 如上图，取的中点为.连接 、、. ∵，点是的中点，∴. 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴ 平面.又∵平面∴. 又∵底面是矩形，、是、中点，∴. ∴以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴 建立空间直角坐标系如图所示，由，，， 得，. ∴，，，则，， 设，则，， ， ∵， ∴向量的单位方向向量， 则， 因此点到直线的距离， 当时，取最小值， ∴线段上的动点到直线的距离的最小值为. 故答案为：. 【点睛】向量法求点到直线距离的步骤： 1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量. 2.在直线上任取一点（可选择特殊便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量点. 3.点到直线的距离. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据对是否为空集分情况讨论即可； （2）求出，根据并集定义求解即可. 【小问1详解】 由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，， 若，则， 所以实数的取值范围为； 16. 已知关于x的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据解集建立方程组可得； （2）由（1）可得，然后直接使用基本不等式可得的最小值，然后可解. 【小问1详解】 由题知，1和b是方程的两根， 由韦达定理可得，解得 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为，所以 记，则，解得， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为8， 所以要使恒成立，则，得 所以k的取值范围为. 17. 新高考方案的考试科目简称“3+1+2”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等. （1）求学生选科为“物理、化学和生物”的概率； （2）若选科完毕后的某次考试中，甲同学首选科目及格的概率是 ，每门再选科目及格的概率都是 ，且各门课程及格与否相互独立.用X表示该同学所选的3门课程在这次考试中及格的门数，求随机变量X的分布列和数学期望 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由古典概率结合组合计算即可； （2）得到随机变量的可能取值，计算概率，列出分布列，用公式求出期望即可 【小问1详解】 因为各类别中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等， 所以学生选科为“物理、化学和生物”的概率为， 【小问2详解】 随机变量X的可能取值为， 则，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 期望， 18. “直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲､乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲､乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图： （1）根据独立性检验，判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？ （2）将样本数据的频率视为概率，现在甲､乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲､乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率； （3）综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为，所有赔偿费用的期望记为，以和的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关 （2） （3）应进行检验，理由： 由已知，每个零件为三等品的概率为， 设每箱30个商品中的三等品个数为，则，所以. 若不进行检验，则450元. 若进行检验，则总检验费用的期望值为元. 因为，所以应进行检验. 【解析】 【分析】（1）列列联表，由表中数据计算卡方，即可判断； （2）利用独立事件乘法公式计算甲、乙展示的商品均为一等品的概率及只有一轮展示的商品为一等品的概率，进而利用互斥事件概率加法公式求解即可； （3）设每箱30个商品中的三等品个数为，由题意知，利用二项分布期望公式求解，然后根据数学期望的定义及性质分别求解进行检验和不进行检验的数学期望，比较大小即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得列联表如下： 一等品 非一等品 合计 甲 70 30 100 乙 60 40 100 合计 130 70 200 ， 所以没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关. 【小问2详解】 两轮中，甲展示的商品均为一等品的概率为， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为； 两轮中，乙展示的商品均为一等品的概率为， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为. 则两轮活动中恰有三个一等品的概率为：. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中，. （1）若，，求的最大值； （2）若，求；（用表示） （3）若，求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式定理求得，从而求得，然后设最大，解不等式组求解； （2）由题意可得，两边求导，令可得解； （3）用写出等式左边的和式，然后由组合数公式化简变形后再由二项式定理可得． 【小问1详解】 ， ， 不妨设中，则 ，则或6， 中的最大值为. 【小问2详解】 若，，两边求导得， 令得，. 【小问3详解】 若，， ， 因为， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题第三问，解题的关键是利用组合数公式将化简为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2023-2024学年第二学期 5月教学质量调研评估 高二数学 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 3. 若随机变量，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 截至目前，联合国共设5个常任理事国，10个非常任理事国，现从这15个国家中选取3个国家，且至少包含一个常任理事国，则共有的选法种数为（ ） A. 120 B. 410 C. 335 D. 455 6. 关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）． A. B. C. 3 D. 6 8. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关 C. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 D. 若，则取最大值时 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C. 命题为真命题的充要条件是 D. 不等式解集为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高中三年级600名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________. 13. 已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为___________． 14. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知关于x的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 17. 新高考方案的考试科目简称“3+1+2”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等. （1）求学生选科为“物理、化学和生物”的概率； （2）若选科完毕后的某次考试中，甲同学首选科目及格的概率是 ，每门再选科目及格的概率都是 ，且各门课程及格与否相互独立.用X表示该同学所选的3门课程在这次考试中及格的门数，求随机变量X的分布列和数学期望 18. “直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲､乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲､乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图： （1）根据独立性检验，判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？ （2）将样本数据的频率视为概率，现在甲､乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲､乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率； （3）综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为，所有赔偿费用的期望记为，以和的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19. 已知函数，其中，. （1）若，，求的最大值； （2）若，求；（用表示） （3）若，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $