精品解析：2024年山东省淄博市周村区中考二模数学试题

2024年初中学业水平模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能写在试卷上. 3.非选择题必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑. 4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改.不按以上要求作答的答案无效.不允许使用计算器. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分 40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的.错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分. 1. 如果， 那么“□”内应填的实数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 4. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（ ） A B. C. D. 5. 下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 6. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点，在点从点移动到点的过程中，矩形的面积（ ） A 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变 10. 如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2﹣1 二、填空题：本题共5 小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 11. 的平方根是_______________； 12. 如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则________度． 13. 数据 的方差计算公式为 则这组数据的和是________. 14. 如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则______． 15. 如图， 正方形 的边长为4， 点 M 在 延长线上， 作 交 延长线于点 N，则 的长为_________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分.要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）计算： （2）解方程组： 17. 如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． （1）求证：≌． （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 18. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求方程的解． （2）若关于x分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 20. 如图，AB是的直径，点D在上，连接AD并延长到C，使，连接BC交于E、过点B作的切线交OE的延长线于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 21. 如图，点A、B是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接、、，线段交于点，，． （1）求反比例函数解析式； （2）求的面积； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 22. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 23. 已知抛物线 与x轴相交于点， ，与y轴相交于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P 是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求 的值； （3）如图2，取线段 OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使 若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能写在试卷上. 3.非选择题必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑. 4.答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改.不按以上要求作答的答案无效.不允许使用计算器. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分 40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的.错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分. 1. 如果， 那么“□”内应填的实数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为1，结合，得出“□”内应填的实数是的倒数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填的实数是的倒数， 即“□”内应填的实数是， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘除，幂的乘方，同类项，先根据同底数幂相乘除法则计算判断A，C，再根据幂的乘方计算判断B，然后根据合并同类项法则计算判断D． 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以不正确； 因为，所以C不正确； 因为不是同类项，不能合并，所以不正确． 故选：A． 3. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故选：A． 5. 下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数以及反比例函数和二次函数的图像和性质进而分析得出答案． 【详解】解：A、，，则的值随的值增大而增大，故此选项错误； B、，，则的值随的值增大而减少，故此选项正确； C、，，则的值随的值增大而增大，故此选项错误； D、，，当时，的值随的值增大而减少，当时，的值随的值增大而增大，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键． 6. 随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、， ∴小红和小明两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为． 故选：A． 7. 关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵于的一元二次方程有实数根， ∴，， A. ，，，故此选项不符合题意； B. ，，，故此选项不符合题意； C. ，，，故此选项不符合题意； D. ，，，，故此选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 9. 正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点，在点从点移动到点的过程中，矩形的面积（ ） A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等． 【详解】连接DE， ∵S△CDE＝S四边形CEGF， S△CDE＝S正方形ABCD， ∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等． 故选D． 【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键． 10. 如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D为BC边上一点，CD＝1，AC＞BC，E为边AC上一动点，当∠BED最大时CE的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 2﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，根据二次函数的性质，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， 设， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，从而有最大值，即有最大值， 解得，，其中不符合题意舍去， ． 当最大时的长为． 故选：． 【点睛】本题属于综合题，是选择题的压轴题，考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是掌握二次函数最值的问题． 二、填空题：本题共5 小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 11. 的平方根是_______________； 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的性质计算，即可得到答案． 【详解】的平方根 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根． 12. 如图，正五边形的一条边在正六边形的一条边上，则________度． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，利用求多边形的内角和公式，得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键，根据正多边形的内角的求法，可得、，进而可得答案． 【详解】正五边形的内角， ， 正六边形的内角， ， ， 故答案为：12． 13. 数据 的方差计算公式为 则这组数据的和是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差计算公式以及平均数，先由方差计算公式得出据的平均数为，再运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴数据的平均数为， ∴． 这组数据的和是， 故答案为：． 14. 如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出解答． 延长，相交于点，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：延长，相交于点，作于点， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， 设，，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 15. 如图， 正方形 的边长为4， 点 M 在 延长线上， 作 交 延长线于点 N，则 的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点F使得，连接，先证明得到，，进而可以证明得到，设，则，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，在上取一点F使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理和解一元二次方程，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共90分.要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，解二元一次方程组： （1）先计算立方根和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2） 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 17. 如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． （1）求证：≌． （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌； （2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【小问1详解】 解：∵B是的中点， ∴． 在和中， ∴≌（）． 【小问2详解】 如图所示， ∵≌， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 18. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 当时， ， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为：； 【小问2详解】 ， ， 去分母得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且， 即：且 【点睛】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． 19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）坐垫到地面的距离约为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可； （2）根据坐㻗到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可． 小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， ， ， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为， 答：坐垫到地面的距离约为； 【小问2详解】 如图，由题意得，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以， 答：的长约为． 20. 如图，AB是的直径，点D在上，连接AD并延长到C，使，连接BC交于E、过点B作的切线交OE的延长线于点F． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到，从而证明结论． （2）连接，证明，得到，可求出的值，进而求出的值． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：连接，则为直角三角形， ∵ ∴ 又∵为切线， ∴ 则有 ∴∽ ∴，即 ∴ ∴ 故的长是． 【点睛】本题考查了平行线的判定、相似三角形的判定与性质、切线的性质等，得到相似三角形是求解的关键． 21. 如图，点A、B是反比例函数的图象上的点，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，连接、、，线段交于点，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）若将所在的直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求求出，长，确定点的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）求出的长，确定的长，根据三角形面积公式求得； （3）求出的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据求得． 【小问1详解】 在中， ， 可设，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， 即：， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 设的解析式是：， ， ， ， 平移后的函数解析式是：， 由得， ， ，（舍去）， ． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．本题属于基础题． 22. 【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值． 【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 23. 已知抛物线 与x轴相交于点， ，与y轴相交于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P 是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求 的值； （3）如图2，取线段 OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使 若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，当时，， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$