模拟测试卷06-【中考冲刺】2024年中考数学考前冲刺预测模拟刷题卷（江西专用）

【中考冲刺】2024年中考数学考前冲刺预测模拟刷题卷（江西专用） 模拟测试卷06 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各数中，绝对值最大的是（   ） A．2 B． C． D． 2．有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣.下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（    ） A． B． C． D． 3．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，其中正确结论有（    ） A． B． C．的解为， D．当时的值随值的增大而增大 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．若式子有意义，则x的取值范围为 ． 8．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 ． 9．已知，是一元二次方程的两根，那么的值为 ． 10．如图，一把直尺的一边与含角的直角三角尺的斜边重合，另一边分别交，于点M，N，若点M，N在直尺上的读数分别为，，且，，，则直尺的宽为 cm． 11．如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 12．如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算：； （2）如图，矩形中，，，以点D为圆心，为半径画弧，交边于点E，连接，求的长． 14．下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： ①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（    ） A．分式的基本性质    B．等式的性质    C．乘法分配律 ②第 步开始出现错误，错误的原因是： 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果： 15．2023年11月12日上午，2023南昌马拉松开始㕸！30000名跑友齐聚英雄城，在八一广场激情开跑，除了努力奔跑的参赛选手，赛场外还有一群默默奉献的“小白鹤”志愿者．大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动，两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项，．赛道指引，．集结检录，．物资发放，．人群疏散．    (1)小杰选择“．赛道计时”是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率． 16．已知和是等边三角形，点在同一直线上，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1 中作线段的中垂线； (2)在图2 中作菱形． 17．骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．如图，一次函数 的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当面积最大时，求点的坐标． 19．木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图），被称为“亚洲第一灯塔”．如图，虎威岛位于木栏头灯塔的南偏西方向上．一 艘轮船在处测得灯塔位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔正东方向上的处，该船继续向北航行至直线上的点处．    (1)填空：______度，______度． (2)求点到灯塔的距离． (3)若轮船的航行速度为，求轮船在段航行了多少小时． （参考数据：，，，．结果精确到小数点后一位） 20．如图，点A，B，D，E在以为直径的上，，的延长线交于点C，且，过点D作交AC于点F． (1)求的值； (2)求证：是的切线； (3)在上是否存在点E，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，某市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险·会避险”的交通安全主题宣传教育活动．某中学为检验学生的学习效果，从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试（满分100分），并根据测试结果绘制出如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在问卷测试时，该中学采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）． (2)在这次问卷测试中，抽取的学生一共有______名，扇形统计图中的值是______． (3)已知组的10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______． (4)若该中学共有1000名学生参与了此次主题宣传教育活动，估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有______名． 22．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴：______． (2)将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧）． ①求的函数解析式； ②若的面积为4，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分别过点的两条直线交于点，且与轴不平行，当直线与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N． (1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则 ； (2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由； (3)【拓展延伸】 ①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值； ②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ． 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【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆相切分为外切合内切两种情况，据此分与和一内切和一外切，与和两两外切，与和两两内切，三种情况画出示意图求解即可． 【详解】解：如图所示，与和一内切和一外切有两种情况，与和两两外切有两种情况，与和两两内切有两种情况， 故选：C． 6．如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，其中正确结论有（    ） A． B． C．的解为， D．当时的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：、∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，此选项错误； 、当，根据图象可知，此选项错误； 、∵抛物线与轴的一个交点在，对称轴为直线，设与轴的另一个交点为， ∴，解得：， ∴的解为，，此选项正确； 、根据图象可知：当时的值随值的增大而增大，此选项错误； 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 7．若式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义条件进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】解：要使分式有意义， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 8．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3600亿 ， 故答案为：． 9．已知，是一元二次方程的两根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 10．如图，一把直尺的一边与含角的直角三角尺的斜边重合，另一边分别交，于点M，N，若点M，N在直尺上的读数分别为，，且，，，则直尺的宽为 cm． 【答案】 【分析】此题考查含角的直角三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过作交于 ，在中和，利用所对的直角边等于斜边的一半，可求得和的长度，从而得到的长度，通过可得到的长度，借助平行线之间的距离处处相等，从而得到的长度． 【详解】过作交于，如图所示 由题意可知， ， 又 ，， ，， 故答案为：． 11．如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由折叠可证四边形为菱形，是边上的中线，如图，连接，交于，是边上的中线，的角平分线，则，，，由，可得，则，，，可知当点P运动到点A时，最大，最大为，勾股定理求，则，计算求解即可． 【详解】解：为等边三角形，， ， 将沿翻折，得到， ， 四边形为菱形， ∴，，， ∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点， ∴是边上的中线，的角平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．根据题意确定最大值的情况是解题的关键． 12．如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ． 【答案】或 【分析】过点B作轴于点D，求出，由反比例函数对称性可知还可以经过点，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：如图，过点B作轴于点D， ， ，， ， ． ， ． 根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点． 若点B经过，如图所示， 此时， ∴，即绕着点O顺时针旋转了． 若点A经过，如图所示， 此时， ∴，即绕着点O顺时针旋转了； 若点A经过，如图所示， 此时， ∴，即绕着点O顺时针旋转了． 综上可知，绕着点顺时针旋转或后使的顶点依然在该反比例函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与几何综合，解直角三角形，分类讨论是解答本题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 13．（1）计算：； （2）如图，矩形中，，，以点D为圆心，为半径画弧，交边于点E，连接，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数混合运算，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握运算法则和相关的性质，准确计算． （1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据矩形性质得出，，，根据作图得出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：原式； （2）∵四边形是矩形， ∴，，， 由作图语句可知，， ∴在中，， ∴， ∴在中，． 14．下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： ①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（    ） A．分式的基本性质    B．等式的性质    C．乘法分配律 ②第 步开始出现错误，错误的原因是： 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果： 【答案】任务一：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变；任务二： 【分析】本题考查了分式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）①根据分式的基本性质即可作出判断；②根据去括号规则即可作出判断； （2）根据分式的混合运算法则解答即可 【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是：分式的基本性质； ②第三步开始出现错误，错误的原因是：去括号时运算符号未改变； 故答案为：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变 任务二： 故答案为： 15．2023年11月12日上午，2023南昌马拉松开始㕸！30000名跑友齐聚英雄城，在八一广场激情开跑，除了努力奔跑的参赛选手，赛场外还有一群默默奉献的“小白鹤”志愿者．大学生小宇和小杰报名参加赛会志愿者活动，两人分别从以下四项志愿者活动中随机选择一项，．赛道指引，．集结检录，．物资发放，．人群疏散．    (1)小杰选择“．赛道计时”是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)请用画树状图法或列表法求小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】 此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据不可能发生的事件是不可能事件解答即可； （2）用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵只有四项志愿者活动， ∴小杰选择“．赛道计时”是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：画树状图如图：    共有16种等可能的结果，其中小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的4种， ∴小宇和小杰恰好选择同一项志愿者活动的概率为． 16．已知和是等边三角形，点在同一直线上，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1 中作线段的中垂线； (2)在图2 中作菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、无刻度直尺作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长，交于点，连接，即为所作； （2）延长，交于点，连接，连接交于，连接并延长交于，则菱形即为所作． 【详解】（1）解：如图 1，直线是所作的中垂线， 延长，交于点，连接， 和是等边三角形， ， ， 为等边三角形， 是的中点， ， ∴直线是的中垂线； （2）解：如图 2，四边形是所作的菱形 延长，交于点，连接，连接交于，连接并延长交于， 和是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ∴四边形为菱形． 17．骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 (2)购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【详解】（1）解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； （2）解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 18．如图，一次函数 的图象与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数的图象相交于点，，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质等知识点，熟悉掌握函数上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用相似三角形的判定及性质和三角函数的比值关系求出点的坐标，再代入反比例函数式子中求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，则，，列出三角形面积的表达式，从表达式中求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：由题意可知， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ：， 解得：， ∴直线AB的解析式为：， 设点的横坐标为，则，， ∴， ∴的面积为：， ∵， ∴时，面积取最大值，最大值为， 将代入得：， ∴点 D 的坐标为． 19．木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔（如图），被称为“亚洲第一灯塔”．如图，虎威岛位于木栏头灯塔的南偏西方向上．一 艘轮船在处测得灯塔位于它的北偏西方向上，轮船沿着正北方向航行后，到达位于灯塔正东方向上的处，该船继续向北航行至直线上的点处．    (1)填空：______度，______度． (2)求点到灯塔的距离． (3)若轮船的航行速度为，求轮船在段航行了多少小时． （参考数据：，，，．结果精确到小数点后一位） 【答案】(1)  ； (2)点到灯塔的距离约为； (3)轮船在段的航行时间约为小时． 【分析】（）根据方位角的定义及平行线的性质即可解答； （）根据锐角三角函数的定义可知； （）根据锐角三角函数的定义及路程与速度、时间的关系即可解答． 【详解】（1）解：如图，∵点位于点的北偏西方向上， ∴， ∴， ∵点位于点的南偏西方向上， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴．    （2）解：由题意，得． ∵在中，， ∴, ∵在中，， ∴, ∴点到灯塔的距离约为． （3）解：在中，， ∴， ∴， ∴航行时间（小时）， 答：轮船在段的航行时间约为小时． 【点睛】本题考查了方位角的定义，锐角三角函数的定义，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．如图，点A，B，D，E在以为直径的上，，的延长线交于点C，且，过点D作交AC于点F． (1)求的值； (2)求证：是的切线； (3)在上是否存在点E，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，可得，再由等腰三角形的性质即可求解； （2）由，，可得，进而证明，结合（1）中，可证，即可得证； （3）若，则，此时为中点，设，则，结合（2）中结论可得四边形是平行四边形，进而得到，为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：连接， 点A，B，D，E在以为直径的上， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ； （2）连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在上， 是的切线； （3）由（1）得∶为中点， ， 若，则，此时为中点， 存在满足题意的点，此时与交点点为中点，即有， 设，则， ， ， ， 由（2）得：， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，圆与三角形的综合应用，正确辅助线的添加是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 21．为提高中小学学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，某市交管部门组织交警深入各中小学校开展“知危险·会避险”的交通安全主题宣传教育活动．某中学为检验学生的学习效果，从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试（满分100分），并根据测试结果绘制出如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在问卷测试时，该中学采取的调查方式是______（填写“普查”或“抽样调查”）． (2)在这次问卷测试中，抽取的学生一共有______名，扇形统计图中的值是______． (3)已知组的10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是______． (4)若该中学共有1000名学生参与了此次主题宣传教育活动，估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有______名． 【答案】(1)抽样调查； (2)50  28； (3)； (4)60． 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、概率公式、全面调查与抽样调查、由样本估计总体． （1）根据全面调查与抽样调查的可靠性即可得出答案； （2）根据组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用整体减去其他组所占的百分比，即可得出的值； （3）根据概率公式直接求解即可； （4）用总人数乘以学习效果不达标（成绩低于分）的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：在问卷测试时，该中学采取的调查方式是抽样调查； （2）解：共抽取的学生有：（名）， ， ； （3）解：组的10名学生中有6名男生和4名女生， 恰好抽到男生的概率是； （4）解：由题意得：（名）， 估计本次活动中，学习效果不达标（成绩低于60分）的学生有名． 22．已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴：______． (2)将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧）． ①求的函数解析式； ②若的面积为4，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，分别过点的两条直线交于点，且与轴不平行，当直线与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)①；② (3)见解析 【分析】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路． （1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案． （2）根据抛物线的顶点坐标在原点上可设其解析式为，然后将点A的坐标代入求得的解析式，于是可设B的坐标为且，过点分别作x轴的垂线，利用可求得t的值，于是可求得点B的坐标． （3）设，联立抛物线与直线的方程可得出再利用直线、直线分别与抛物线相切可求得直线、直线的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线． （2）解：①∵抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线， ∴可设抛物线的解析式为： ∵点有抛物线上， ∴ 解得：． ∴抛物线的解析式为： ②∵点B在抛物线上，且在点A的左侧， ∴设点B的坐标为且， 如图，过点分别作x轴的垂线，垂足为点． ∵ 又 ∴ 解得： ∴（不合题意，舍去），则 ∴． （3）解：设，联立方程组 整理得：， ∴ 设过点M的直线解析式为， 联立得方程组， 整理得．① ∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点， ∴ ∴． ∴由①式可得： 解得：． ∴． ∴过M点的直线的解析式为． 用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为， 联立上两式可得方程组， 解得， ∵ ∴， ∴点P在定直线上． 六、（本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理） 23．如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N． (1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则 (2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由； (3)【拓展延伸】 ①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值； ②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ． 【答案】(1)4 (2)是定值4，见解析 (3)①最大值为8；② 【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值； （2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值； （3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值； ②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：， ， 四边形为矩形， ； ， ； ，， ， ， ， 故答案为：4； （2）解：是定值4； 如图，过D点分别作，垂足分别为G，H； 则， 四边形为矩形， ； ，， ， ， ， 即是等腰直角三角形， ， ； ； ， ， 即， ， ， ， 即 ，， ； 即为定值； （3）解：①， 即， ， ， 由（2）知，即， ， 的最大值为8； ②如图，连接， ，P为的中点， ， 表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段， 当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合； 设交于点O，则； 过C作于S， ， ， ， 由勾股定理得， ； 当点N与点C重合时，点P与点Q重合， 由（2）知，，则， ， 在中，由勾股定理得：； 当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时 由（2）知，，即， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故点P的运动路径为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，旋转的性质等知识，综合性强，构造适当的辅助线是关键与难点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$