精品解析：辽宁省鞍山市铁东区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年度第二学期期中质量反馈 八年级数学 温馨提示： 1．考试时间90分钟，卷面满分100分，试卷共4页． 2．请仔细审题，认真思考，细致解答，规范书写，勿忘检查 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. 2，，6 D. 3，5，7 3. 如图，在四边形中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则点到原点的距离是（ ） A. 8 B. C. D. 6 5. 如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若最简二次根式能与合并，则的值为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，线段的长为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，垂足为，点为中点，连接，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在正方形中，分别为上两点，且，若，则正方形的周长是（ ） A. B. C. 12 D. 25 10. 如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则度数为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，在四边形中，，，，则度数为______． 13. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为和（），若小正方形面积为，则大正方形的面积为______． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是___________尺． 15. 在矩形中，对角线，交于点，过作垂直于对角线，且与边交于点，若，，求矩形的周长为______． 三、解答题（16、18题每题5分，17题6分，19—21题每题7分，22题8分） 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形中，是对角线，其中于点E，于点F．求证： 18. 请在如图所示的方格内（每个小方格的边长均为1），若三角形的顶点都在格点上，则此三角形叫做“格点三角形”，画出格点三角形，且三边长分别为，，． 19. 如图，在中，两点分别为中点，连接，过作交延长线于点，求证：． 20. 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线恰好经过点，且与的延长线交于点，连接，，求证：四边形是菱形． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边上一点，连接，与交于点，且，过作交于，求证：四边形是矩形． 22. 数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若． （1）求的值； （2）求的值． 四、解答题（本题10分） 23. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点是延长线上一点，连接，且，以，为邻边作菱形，与交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，若； ①求的长； ②求菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期中质量反馈 八年级数学 温馨提示： 1．考试时间90分钟，卷面满分100分，试卷共4页． 2．请仔细审题，认真思考，细致解答，规范书写，勿忘检查 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子是最简二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征．最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义和特征，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C. ，是最简二次根式，故本选项符合题意； D. ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A B. C. 2，，6 D. 3，5，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项正确； B．，不能构成直角三角形，故本选项错误； C．，不能构成直角三角形，故本选项错误； D．，不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：A． 3. 如图，在四边形中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，已知点坐标为，则点到原点的距离是（ ） A. 8 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点到原点的距离． 故选B． 5. 如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项A符合题意； B、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 6. 若最简二次根式能与合并，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的化简是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 能与合并，则，进而可求出的值． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并， ， ， 故选：C． 7. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：作于R，于S，连接、交于点O． 由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 8. 如图，在中，，垂足为，点为中点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由直角三角形的性质得出，推出，，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，分别为上两点，且，若，则正方形的周长是（ ） A. B. C. 12 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据正方形的性质得到，，由，推出，进而得到，利用勾股定理即可求出，由，求出，即可求出结果． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的周长是， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了矩形的对角线相等，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．根据等边对等角的性质可得，再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，，，则度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 13. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为和（），若小正方形面积为，则大正方形的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和的关系． 根据所求问题，利用小正方形的面积为4，，算出b的值，根据大正方形的面积为即可求解． 【详解】解：小正方形的面积为4，得到它的边长为2， 即得， ， ∴， 所以，， 故答案为：10． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是___________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知： 尺，尺， ∴尺， 设绳索尺， 根据题意得 ， 解得． 答：绳索的长为14.5尺． 故答案为：． 15. 在矩形中，对角线，交于点，过作垂直于对角线，且与边交于点，若，，求矩形的周长为______． 【答案】24或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．分为当时及当时两种情况讨论，再求解即可． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，连接， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 矩形的周长为， 如图，当时，连接， 四边形是矩形， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理得：， ， ， 矩形的周长为， 故答案为：24或 三、解答题（16、18题每题5分，17题6分，19—21题每题7分，22题8分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的性质和乘除法法则运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在平行四边形中，是对角线，其中于点E，于点F．求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，则，再由垂直的定义得到，由此即可利用，证明． 【详解】证明∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 18. 请在如图所示的方格内（每个小方格的边长均为1），若三角形的顶点都在格点上，则此三角形叫做“格点三角形”，画出格点三角形，且三边长分别为，，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，应用与涉及作图，熟练掌握勾股定理在网格中的运用是解题关键．根据勾股定理，，，，在图中画出图形即可． 【详解】解：如图，即为所求． 19. 如图，在中，两点分别为中点，连接，过作交延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 证明是的中位线，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】证明：，两点分别为，中点， ∴是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 20. 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线恰好经过点，且与的延长线交于点，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，并能进行推理论证是解决问题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出，再结合平行四边形和平行线的性质得出，证出四边形是平行四边形，再结合即可证明． 【详解】证明：垂直平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边上一点，连接，与交于点，且，过作交于，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是菱形 四边形是平行四边形． ． 四边形是平行四边形 四边形是矩形． 22. 数学学习小组研究如下问题：已知，，求的值．经过研究给出了下面的解题思路： ； 又 请根据数学学习小组的解题思路，解决下面的问题： 若． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）8 （2）14 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的乘法运算． （1）利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可； （2）由（1）知，利用二次根式的乘法运算法则及完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：；， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ． 四、解答题（本题10分） 23. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点是延长线上一点，连接，且，以，为邻边作菱形，与交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，若； ①求的长； ②求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质易得，再根据菱形的性质易得，由平行线的判定及等量代换得到，进而证明结论； （2）①根据菱形的性质得到，由（1）得四边形为平行四边形，易得，进而得到，从而证明，再根据，易证，进而得到，可得； ②连接交于点H，根据菱形的性质，可得，由①知，即是等腰三角形，再根据平行四边形的性质可得点O是的中点，易证，从而得到，再依据①中结合，可求，再根据结合，利用勾股定理即可求出的长，从而得到的长，结合菱形的性质得，利用勾股定理即可求出的长，从而得到的长，即可求出菱形的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：①四边形是菱形， ， 由（1）得四边形平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； ②连接交于点H， 四边形是菱形， ， 由①知， 是等腰三角形， 四边形是平行四边形， 点O是的中点， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， （负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及平行线的判定与性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$