精品解析：2024届河北省名校联盟高考三模数学试题

高三数学考试 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3. 已知非零向量，的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲线的切线，与其渐近线交于A，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表： 月份 3 4 5 6 发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33 月份 7 8 9 10 发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31 关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ） A. 中位数是259.115 B. 极差是38.32 C. 第85百分位数是259.33 D. 第25百分位数是240.59 10. 已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，椭圆的离心率为 B. 当椭圆的离心率最大时， C. 当椭圆的焦距为4时， D. 当时，椭圆的焦距为6 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称． B. 的图象关于点对称． C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个基因由若干个碱基对组成，而一个碱基对由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配对．如果个碱基对组成一个基因，那么个碱基对组成的基因个数为________． 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为________． 14. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点． （1）求椭圆的方程． （2）设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值． 16. 某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等． （1）记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望． （2）若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生不喜欢滑雪运动的概率． 17. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由． 18. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，P是线段AD上一点. （1）若点P是线段AD上靠近点A的三等分点，Q为线段CF上一点，且，证明：平面； （2）若E到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求AP的长. 19. 已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成. ①任意中有三个，一个3； ②存在，使中恰有三个数相等. （1）判断数表是否由生成；（结论无需证明） （2）是否存在数表由生成？说明理由； （3）若存在数表由生成，写出所有可能的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，求定义域化简集合B，然后进行补集和交集的运算即可. 【详解】因为， 或，则, 所以， 故选：A. 2. 设复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算可得，再由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 则，所以. 故选：B 3. 已知非零向量，的夹角为，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，向量，的夹角为，根据结合数量积的运算求解. 【详解】因为，则， 且非零向量，的夹角为，，可知向量，的夹角为， 则， 所以. 故选：D. 4. 某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记甲队被选出为事件，乙队被选出为事件，利用条件概率公式计算可得. 【详解】记甲队被选出为事件，乙队被选出为事件，则，， 所以. 故选：A 5. 已知是坐标原点，是双曲线右支上任意一点，过点作双曲线的切线，与其渐近线交于A，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】不妨设是双曲线在第一象限的一点， 不妨设，得，得，所以， 则在的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 又由，可得切线方程为，所以与x轴交点坐标为 不妨设是切线与渐近线在第一象限的交点， 是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程是， 联立，解得， 联立，解得， 所以， 解得，所以，所以, 故选：C. 6. 已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的零点求出零点的表达式，结合已知条件，求出的最大值，从而可求周期的最小值． 【详解】， 令得，所以，， 因为在区间内没有零点， 所以，只需且，解得， 令得，得， 因为，所以的取值范围， 所以周期的最小值是， 故选：． 7. 已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 设外接圆的半径为，则，即， 设三棱锥外接球的半径为，，解得（负值已舍去）； 因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）； 所以. 故选：B 8. 已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等价变形已知条件，，构造两个函数，利用求导判断单调性即可求解. 【详解】设， 因为，，， 所以 即， ， 显然在上单调递减， ，所以在上单调递减， 所以，即， 又，当时，，所以在上单调递增， 所以, 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表： 月份 3 4 5 6 发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33 月份 7 8 9 10 发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31 关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ） A. 中位数是259.115 B. 极差是38.32 C. 第85百分位数是259.33 D. 第25百分位数是240.59 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由中位数，极差，百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】将数据从小到大排序可得，共8个数据， 所以中位数是，故A错误； 极差是，故B正确； 因为，所以第85百分位数是第7个数，即，故C正确； 因为，所以第25百分位数是，故D错误； 故选:BC 10. 已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，椭圆的离心率为 B. 当椭圆的离心率最大时， C. 当椭圆的焦距为4时， D. 当时，椭圆的焦距为6 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A，由离心率最大知长轴最长可得求解判断B，由离心率求出即可判断C，由求出，再得出焦距判断D. 【详解】过作于，如图， 由，当时，在中，， 所以椭圆中，，故A正确； 因为椭圆的短轴长为定值6，，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大， 由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B错误； 当椭圆的焦距为4时，，即， 所以，所以，故C错误； 当时，，所以， 由勾股定理可得，即，， 所以，所以焦距，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称． B. 的图象关于点对称． C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即， 所以的图象关于中心对称，故A错误； 对于B，由为偶函数，所以， 所以，即， 即，则， 所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于D，由，，知， 又，，所以， 所以，即， 所以为周期是的函数，即，故D正确. 对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且， 不妨设，所以，周期均为且， 所以，所以C错误； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以，所以周期为，且，所以. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个基因由若干个碱基对组成，而一个碱基对由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配对．如果个碱基对组成一个基因，那么个碱基对组成的基因个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】因为一个碱基对是由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成，其中只能与配对，只能与配对，依题意解出碱基对个数即可. 【详解】因为一个碱基对是由，，，四种碱基中任取两个碱基配对排列而成， 其中只能与配对，只能与配对， 所以碱基对有共有个， 若个碱基对组成一个基因，那么个碱基对组成的基因个数为. 故答案为：. 13. 已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式化简，结合余弦定理求出，最后根据，利用数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理，所以， 又，所以， 因为是中边上中线，则， 即，所以， 所以，可得，当且仅当时等号成立， 故， 即面积的最大值为． 故答案为： 14. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为，， 所以，即， 设，， 令，，即在上单调递增， 令，，即在上单调递减， 则， 所以， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点． （1）求椭圆的方程． （2）设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值． 【答案】（1）； （2）是，． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）设，先得到，，设过点与椭圆相切的直线为，联立椭圆方程，由得到，由两根之积得到 【小问1详解】 由题意得，又， 解得，故椭圆方程为； 【小问2详解】 是，，理由如下： 设，当时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去， 故，， 设过点与椭圆相切的直线为， 与联立得， 由得，， 整理得， 过点与椭圆相切的两直线斜率分别为，， 所以 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 16. 某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等． （1）记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望． （2）若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生不喜欢滑雪运动的概率． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解； （2）由题意可知，时，前次取到是不爱好滑雪的人，第次取到爱好滑雪得的人，利用独立事件的乘法公式求解，当时，取到的所以人都不爱好滑雪，活动结束. 【小问1详解】 由题意，， ， . 【小问2详解】 由题意，的可能取值为， ，， ，， ， ， 综上，. 17. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；极小值为0． 【解析】 【分析】（1）构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得证； （2）对函数求导，并构造新函数，结合零点存在性定理及函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 证明：函数定义域为, 令，则， 当时，，且，所以， 函数在上单调递减，故， 即，故得证. 【小问2详解】 由题意，则， 令，则 当时，，故函数在单调递增，则，即， 所以在单调递增； 当时，单调递增，且，又， 故，使得， 所以当时，，即函数在上单调递增，即， 所以函数在上单调递减； 当时，，即， 所以函数在上单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，当时，函数有极小值，极小值为. 故存在，极小值为0. 18. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，P是线段AD上一点. （1）若点P是线段AD上靠近点A的三等分点，Q为线段CF上一点，且，证明：平面； （2）若E到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求AP的长. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 因为，且，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2），或. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，通过比例线段证明，可得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用已知线面角的正弦值，求出点的位置即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取的中点，连接，则，且， 因为四边形与四边形为全等的等腰梯形，所以， 四边形为等腰梯形，且，， ，，又，所以， 因为平面，且为两条相交直线，所以平面， 平面，所以平面平面. 平面平面, 过在平面内作的垂线，垂足为，则平面， ，. 过作，易得两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，， 设（），所以，，. 设平面的一个法向量，则 ， 令，解得，，所以， 设PF与平面所成角的大小为，则 ， 解得，且满足题意， 所以，或. 19. 已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成. ①任意中有三个，一个3； ②存在，使中恰有三个数相等. （1）判断数表是否由生成；（结论无需证明） （2）是否存在数表由生成？说明理由； （3）若存在数表由生成，写出所有可能的值. 【答案】（1）是 （2）不存在，理由见解析 （3）3，7，11. 【解析】 【分析】（1）根据数表满足的两个性质进行检验，即可得结论； （2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A，由性质①推出对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论； （3）判断出的所有可能的值为3，7，11，一方面说明取这些值时可以由生成数表A，另一方面，分类证明的取值只能为3，7，11，由此可得所有可能的值. 【小问1详解】 数表是由生成； 检验性质①： 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 任意中有三个，一个3； 检验性质②： 当时，，恰有3个数相等. 【小问2详解】 不存在数表由生成,理由如下: 若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3， 则或-1，总有与的奇偶性相反， 类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反； 因为中恰有2个奇数，2个偶数， 所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数， 此时中至多有2个数相等，不满足性质②； 综上，不存在数表由生成； 【小问3详解】 的所有可能的值为3，7，11. 一方面，当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 另一方面，若存在数表A由生成， 首先证明：除以4余3； 证明：对任意的，令， 则， 分三种情况：（i）若，且，则； （ii）若，且，则； （iii）若，且，则； 均有与除以4的余数相同. 特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同. 注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3. 其次证明：； 证明：只需证明； 由上述证明知若可以生成数表A，则必存在， 使得； 若，则，，， 所以，对任意，均有，矛盾； 最后证明：； 证明：由上述证明可得若可以生成数表A， 则必存在，使得， ，， ， 欲使上述等号成立，对任意的，， 则，， 经检验，不符合题意； 综上，所有可能的取值为3，7，11. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定所有可能的取值，解答时要根据数表A满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $