专题03 平面及其基本性质- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题03 平面及其基本性质 【教学目标】 1．掌握平面的的基本性质，四个公理与三个推论． 2．会用集合语言表示点、直线和平面的关系． 3．会应用确定平面的条件来解决一些简单的点、线、面问题． 【教学难点】公理及推论的应用． 【教学重点】四个公理和三个推论． 1、情景导入 （1）空间共点的三条直线能确定几个平面？空间互相平行的三条直线呢？ （2）如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？ 2、平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分。 3、平面的画法及其表示方法： （1）一个平面：水平放置和直立； 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）. （2）直线与平面相交，如图1（2）、（3）： 图1 （1 （2） （3） （3）两个相交平面： 画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2） （4）一般用一个希腊字母……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面、平面AC等。 4、空间图形是由点、线、面组成的 空间图形的基本元素是点、直线、平面.可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示，一般用大写的英文字母A，B，C等表示点.用小写的英文字母等表示直线，用小写希腊字母等表示平面. 点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形表示 符号表示 文字语言（读法） 点在直线上，也称直线经过点. 点不在直线上，也称直线不经过点. 点在平面上，也称平面经过点. 点不在平面上，也称平面不经过点. 直线、交于点. 直线在平面上，也称平面经过直线. 或 直线与平面平行. 直线与平面交于点. 平面、相交于直线. 说明：集合中“”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。 5、 公理和推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行． 把以上各公理及推论进行对比： 公理或推论 图形语言 符号语言 作用 公理1 判定直线是否 在平面内 公理2 点A,B,C不共线点A,B,C确定一个平面 确定一个平面 推论1 点C与直线a 确定一个平面 确定一个平面 推论2 直线a与直线b确定一个平面 确定一个平面 推论3 直线a与直线b确定一个平面 确定一个平面 公理3 判定两个平面 是否相交 公理4 判断两线平行 其中的公理1是判断直线是否在平面内的主要依据，公理2是判断点、线共面的主要依据，公理3是判断两个平面相交及证明多点共线、多线共点的主要依据。 考点剖析 【例1】将下列文字语言转化为符号语言： （1）点在平面内，但不在平面内； （2）直线经过平面外一点； （3）直线在平面内，又在平面内（即平面和相交于直线） 【例2】作图： （1） 直线，且平面平面； （2） 直线，点，且； （3） 直线，且直线平面． 【例3】看图填空：D B1 C1 A1 D1 O1 B C A O （1）点 平面； （2）直线 ； （3）直线 平面= ； （4）直线 平面； （5）直线 ． 【例4】已知三条直线和两两相交，且不交于同一点.求证：直线和在同一平面上. 证明：因为直线和两两相交，设，，，如图10-1-10所示. 由推论2可知，相交的直线可确定一个平面，即有，因为，所以，且B、C不重合. 由公理1可知，点B、C所在的直线，从而直线和都在平面上. 【例5】已知三边所在直线分别与平面交于三点，求证：三点共线．【解析】∵是不在同一直线上的三点，∴由确定一个平面。 A B C P Q R 又因为，且，所以点既在内，又在内。 设，则。同理可证。所以三点共线。 【例6】空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知与相交于点，求证、、三线共点A B C D E F G H Q 过关检测 （教师根据课堂实际情况选择适合的测试难度即可。） A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 3．（23-24高二上·上海金山·期中）“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为 ． 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 5．如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）在空间四边形的各边、、、上依次取、、、四个中点，当对角线时，四边形是 形. 7．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分 8．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）下列四个条件中，能确定一个平面的是 （填编号） ①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线 9．求证：已知直线l与三条平行线a、b、c都相交（如图），求证：l与a、b、c共面． 10．（22-23高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，， 分别为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求直线 与平面所成的角． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（21-22高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 12．（21-22高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是 ． 13．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 14．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 15．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 16．如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 17．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 18．（22-23高二上·上海徐汇·期中）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面及其基本性质 【教学目标】 1．掌握平面的的基本性质，四个公理与三个推论． 2．会用集合语言表示点、直线和平面的关系． 3．会应用确定平面的条件来解决一些简单的点、线、面问题． 【教学难点】公理及推论的应用． 【教学重点】四个公理和三个推论． 1、情景导入 （1）空间共点的三条直线能确定几个平面？空间互相平行的三条直线呢？ （2）如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？ 2、平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分。 3、平面的画法及其表示方法： （1）一个平面：水平放置和直立； 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）. （2）直线与平面相交，如图1（2）、（3）： 图1 （1 （2） （3） （3）两个相交平面： 画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2） （4）一般用一个希腊字母……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面、平面AC等。 4、空间图形是由点、线、面组成的 空间图形的基本元素是点、直线、平面.可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示，一般用大写的英文字母A，B，C等表示点.用小写的英文字母等表示直线，用小写希腊字母等表示平面. 点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形表示 符号表示 文字语言（读法） 点在直线上，也称直线经过点. 点不在直线上，也称直线不经过点. 点在平面上，也称平面经过点. 点不在平面上，也称平面不经过点. 直线、交于点. 直线在平面上，也称平面经过直线. 或 直线与平面平行. 直线与平面交于点. 平面、相交于直线. 说明：集合中“”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。 5、 公理和推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行． 把以上各公理及推论进行对比： 公理或推论 图形语言 符号语言 作用 公理1 判定直线是否 在平面内 公理2 点A,B,C不共线点A,B,C确定一个平面 确定一个平面 推论1 点C与直线a 确定一个平面 确定一个平面 推论2 直线a与直线b确定一个平面 确定一个平面 推论3 直线a与直线b确定一个平面 确定一个平面 公理3 判定两个平面 是否相交 公理4 判断两线平行 其中的公理1是判断直线是否在平面内的主要依据，公理2是判断点、线共面的主要依据，公理3是判断两个平面相交及证明多点共线、多线共点的主要依据。 考点剖析 【例1】将下列文字语言转化为符号语言： （1）点在平面内，但不在平面内； （2）直线经过平面外一点； （3）直线在平面内，又在平面内（即平面和相交于直线） 【答案】（1）且（2）且（3） 【例2】作图： （1） 直线，且平面平面； （2） 直线，点，且； （3） 直线，且直线平面． 【例3】看图填空：D B1 C1 A1 D1 O1 B C A O （1）点 平面； （2）直线 ； （3）直线 平面= ； （4）直线 平面； （5）直线 ． 【答案】；；，；//； 【例4】已知三条直线和两两相交，且不交于同一点.求证：直线和在同一平面上. 证明：因为直线和两两相交，设，，，如图10-1-10所示. 由推论2可知，相交的直线可确定一个平面，即有，因为，所以，且B、C不重合. 由公理1可知，点B、C所在的直线，从而直线和都在平面上. 【例5】已知三边所在直线分别与平面交于三点，求证：三点共线． 【解析】∵是不在同一直线上的三点，∴由确定一个平面。 A B C P Q R 又因为，且，所以点既在内，又在内。 设，则。同理可证。所以三点共线。 【例6】空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知与相交于点，求证、、三线共点A B C D E F G H Q 过关检测 （教师根据课堂实际情况选择适合的测试难度即可。） A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条： 确定一个平面． 【答案】故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 【分析】根据公理的内容即可求解. 【详解】公理2：不在同一直线上的三个点确定一个平面。 推论1：经过一条直线以及直线外一点确定一个平面， 推论2：经过两条相交直线确定一个平面， 推论3：两条平行线确定一个平面. 故答案为：两条相交直线（答案不唯一） 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 . 【答案】平行或相交 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 3．（23-24高二上·上海金山·期中）“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为 ． 【答案】 【分析】直接根据直线在平面上的集合符号语言得到答案. 【详解】“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定 个平面. 【答案】 【分析】根据确定平面的依据，即可求解. 【详解】根据平面的基本事实，结合确定平面的依据，可得两条相交直线确定唯一的一个平面. 故答案为：. 5．如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由．    【答案】共面 【分析】根据平面的基本性质，以及点、线与面的位置关系，即可求解. 【详解】由直线，可得直线在同一个平面内，设为平面， 因为平面，且直线，所以平面， 又因为平面，且直线，所以平面， 因为直线，直线，所以直线平面， 所以三条中线在同一个平面内. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）在空间四边形的各边、、、上依次取、、、四个中点，当对角线时，四边形是 形. 【答案】菱 【分析】利用中位线定理、，可得答案. 【详解】因为、、、分别是、、、的中点， 所以，， 可得， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以， 所以四边形是菱形. 故答案为：菱. 7．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）正方体的6个面无限延展后把空间分成 个部分 【答案】 【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案. 【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为： 8．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）下列四个条件中，能确定一个平面的是 （填编号） ①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线 【答案】②④ 【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解． 【详解】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错误． 对于②：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故②正确； 对于③：如该点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错误． 对于④：两条相交直线唯一确定一个平面，设直线，，， 则直线、唯一确定平面，即，，又，， 所以，，又，，所以， 即两两相交且不共点的三条直线唯一确定一个平面，故④正确； 故答案为：②④． 9．求证：已知直线l与三条平行线a、b、c都相交（如图），求证：l与a、b、c共面． 【答案】证明见解析 【分析】设a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C，由a∥b，得过a、b可以确定一个平面α．由b∥c，得过b、c可以确定一个平面β，由已知推导出α与β重合，从而能证明a、b、c、l共面． 【详解】 证明：如图，设a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C， ∵a∥b，∴过a、b可以确定一个平面α． ∵A∈a，B∈b，a、b⊂α， ∴A∈α，B∈α，∴AB⊂α，即l⊂α． 又∵b∥c， ∴过b、c可以确定一个平面β，同理可证l⊂β． ∵α、β都过相交直线b、l， ∴α与β重合， ∴a、b、c、l共面． 【点睛】共面问题的证明常有下列方法： 1．先作一个平面，再证明有关的点或线在这个平面内； 2．先过某些点或线作多个平面，再证明这些平面重合； 3．用反证法．本题采用方法2证明较好． 10．（22-23高二上·上海·期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，， 分别为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求直线 与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两条平行直线确定一个平面即可解决；（2）建立以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系即可解决. 【详解】（1）连接， 由分别为棱的中点， 得， 从而， 由此能证明四点共面； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 因为，， ， 设平面的法向量为， 则，取 ，得， 设直线与平面所成的角为 ， 则， 所以直线与平面所成的角为 . C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（21-22高二上·上海浦东新·期中）在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】利用平面的性质结合图形可得答案. 【详解】在正方体中，易知，且， 即四边形是平行四边形， 又平面， 在同一平面中，，所以直线与直线相交. 故答案为：相交    12．（21-22高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是 ． 【答案】 【分析】根据题意，作出截面图形，进而求解即可. 【详解】取中点，中点，中点，中点， 因为，所以截面为矩形，且，， 所以截面的面积是. 故答案为：. 13．（22-23高二上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 14．如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【答案】(1)图象见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图. （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【详解】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 15．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 【答案】证明见解析 【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内． 【详解】图①中，没有三条直线交于一点， 因为，所以确定平面， 又因，所以， 所以， 同理可得， 所以直线在同一平面内； 图②中，三条直线交于一点， 因为又因，所以， 所以， 同理， 所以直线在同一平面内， 综上所述，所以直线在同一平面内. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 16．如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【答案】C 【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D. 【详解】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 17．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【分析】根据题意作出图形，由相关知识对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 确定截面的依据如下：（1）平面的四个公理及推论；（2）直线和平面平行的判定和性质；（3）两个平面平行的性质；（4）球的截面的性质． 18．（22-23高二上·上海徐汇·期中）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）利用平行的传递性证明即可； （2）延长，则必交于点，利用相似比求解即可 【详解】（1）连接， 因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 所以E、F、G、H四点共面； （2）延长，则必交于点， 证明如下：设， 因为平面， 所以平面， 同理平面， 又平面平面， 所以， 所以，则必交于点， 取的中点，连接， 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得或， 又因为， 所以 【点睛】四点共面问题是立体几何中常考的问题之一，解决的方法是结合图象证明这四点成的两条线平行，通过两直线平行，从而说明四点共面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$