专题01 三角函数复习- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题01 三角函数复习 目录 考点剖析 4 1.正余弦函数的定义域问题 4 2.正余弦函数的有界性问题 4 3.正余弦函数的周期性问题 4 4.正余弦函数的奇偶性问题 4 5.正余弦函数的单调性问题 4 6.正余弦函数的图象问题 4 7.以及正切函数的图象与性质 5 过关检测 5 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 5 C组 综合训练 6 D组 拓展延伸 8 一、正弦函数和余弦函数的图像与性质 （一）正弦函数与余弦函数的定义 在建立弧度制以后，任意一个实数都对应唯一确定的角，而这个角又对应唯一确定的正弦值（或余弦值）.这样，对于任意一个实数，都有唯一的值（或）与它对应.我们把（或）叫做正弦函数（或余弦函数）. （二）正弦函数与余弦函数的图像 利用三角函数线和描点法.可以得到函数，的图像. . . . . . 因为，所以函数当的图像与，的图像的形状完全一样，只是位置不同，因此只要将函数，的图像向左（或右）分别平移、、、这样就可以得到函数，的图像. O 怎样作余弦函数的图像？由诱导公式：，因此，只须将函数的图像向左平移个单位，即可得到函数的图像. O 正弦函数、余弦函数的图像通常称为正弦曲线与余弦曲线. （三）正弦函数、余弦函数的性质 1、正弦函数、余弦函数的定义域和值域 ，的定义域均为，值域均为. 的最大值为，此时； 最小值为，此时. 的最大值为，此时； 最小值为，此时 . 2、正弦函数与余弦函数的周期性 周期函数的定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内任意值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做函数的周期. 最小正周期的定义 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期. 函数与的周期 因为.知正弦函数与余弦函数都是周期函数，且是它们的周期.在这些周期中，是它的最小正周期. 求函数的周期，若不作特别说明，一般都是指它们的最小正周期. 3、正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性 在上是奇函数，在上是偶函数. 正弦函数的图像关于直线对称， 关于点成中心对称； 余弦函数的图像关于直线对称， 关于点成中心对称. 从正弦函数与余弦函数的图像上可以看出：正弦函数与余弦函数的图像的对称轴是经过此图像上的最高点（或最低点）与轴垂直的直线，其对称中心是其图像与轴的交点. 二、正切函数的性质 1、正切函数的周期性： 由诱导公式：，可知，正切函数是周期函数，是它的周期，是它的最正周期. 一般地：函数的周期是. 2、正切函数的奇偶性： 因为对于正切函数定义域内的任意一个变量，成立，所以正切函数是奇函数. 3、正切函数的单调性： 正切函数在区间上是增函数，没有单调单调减区间.虽然正切函数没有单调单调减区间，但不能说正切函数在定义域内是增函数. 4、正切函数的值域： 正切函数的值域是，它不存在最大值，也不存在最小值. 三、图像变换：函数图像与函数图像之间的关系. 四、函数的性质：对称轴、对称中心、周期、单调性等. 考点剖析 1.正余弦函数的定义域问题 【例1】求函数的定义域. 【例2】求函数的定义域. 2.正余弦函数的有界性问题 【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？ （1）； （2）. 3.正余弦函数的周期性问题 【例4】求下列函数的周期： （1）；（2）；（3） 4.正余弦函数的奇偶性问题 【例5】已知，为常数，且，求. 5.正余弦函数的单调性问题 【例6】指出下列函数单调区间：（1）； （2）. 6.正余弦函数的图象问题 【例7】作函数 的图象. 【例8】已知函数和的图象围成的一个封闭的平面图形的面积为 7.以及正切函数的图象与性质 【例9】已知函数 在一个周期内的简图（如图），求相应的函数表达式，并说明其图象可由的图象经过怎样的变换而得到. 【例10】求下列函数的单调区间： （1） ；（2） 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则的最小正周期是 ． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期是 ． 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）方程的解集为 ； 4．（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 5．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数且. (1)求函数的定义域D； (2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 8．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数，的最大值是，其图象经过点． (1)求的解析式； (2)求的单调区间； (3)求的最值． 9．（22-23高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 10．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 12．（23-24高一下·上海·期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 13．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 14．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 15．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：30分钟 分值：30分】16．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 17．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 18．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角函数复习 目录 考点剖析 4 1.正余弦函数的定义域问题 4 2.正余弦函数的有界性问题 4 3.正余弦函数的周期性问题 5 4.正余弦函数的奇偶性问题 5 5.正余弦函数的单调性问题 6 6.正余弦函数的图象问题 6 7.以及正切函数的图象与性质 7 过关检测 8 A组 双基过关 8 B组 巩固提高 9 C组 综合训练 14 D组 拓展延伸 20 一、正弦函数和余弦函数的图像与性质 （一）正弦函数与余弦函数的定义 在建立弧度制以后，任意一个实数都对应唯一确定的角，而这个角又对应唯一确定的正弦值（或余弦值）.这样，对于任意一个实数，都有唯一的值（或）与它对应.我们把（或）叫做正弦函数（或余弦函数）. （二）正弦函数与余弦函数的图像 利用三角函数线和描点法.可以得到函数，的图像. . . . . . 因为，所以函数当的图像与，的图像的形状完全一样，只是位置不同，因此只要将函数，的图像向左（或右）分别平移、、、这样就可以得到函数，的图像. O 怎样作余弦函数的图像？由诱导公式：，因此，只须将函数的图像向左平移个单位，即可得到函数的图像. O 正弦函数、余弦函数的图像通常称为正弦曲线与余弦曲线. （三）正弦函数、余弦函数的性质 1、正弦函数、余弦函数的定义域和值域 ，的定义域均为，值域均为. 的最大值为，此时； 最小值为，此时. 的最大值为，此时； 最小值为，此时 . 2、正弦函数与余弦函数的周期性 周期函数的定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内任意值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做函数的周期. 最小正周期的定义 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期. 函数与的周期 因为.知正弦函数与余弦函数都是周期函数，且是它们的周期.在这些周期中，是它的最小正周期. 求函数的周期，若不作特别说明，一般都是指它们的最小正周期. 3、正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性 在上是奇函数，在上是偶函数. 正弦函数的图像关于直线对称， 关于点成中心对称； 余弦函数的图像关于直线对称， 关于点成中心对称. 从正弦函数与余弦函数的图像上可以看出：正弦函数与余弦函数的图像的对称轴是经过此图像上的最高点（或最低点）与轴垂直的直线，其对称中心是其图像与轴的交点. 二、正切函数的性质 1、正切函数的周期性： 由诱导公式：，可知，正切函数是周期函数，是它的周期，是它的最正周期. 一般地：函数的周期是. 2、正切函数的奇偶性： 因为对于正切函数定义域内的任意一个变量，成立，所以正切函数是奇函数. 3、正切函数的单调性： 正切函数在区间上是增函数，没有单调单调减区间.虽然正切函数没有单调单调减区间，但不能说正切函数在定义域内是增函数. 4、正切函数的值域： 正切函数的值域是，它不存在最大值，也不存在最小值. 三、图像变换：函数图像与函数图像之间的关系. 四、函数的性质：对称轴、对称中心、周期、单调性等. 考点剖析 1.正余弦函数的定义域问题 【例1】求函数的定义域. 【解析】由题意，即，在一周期上符合条件的角为，∴定义域为 【点评】解题时注意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需要先在一个周期上求范围，这个周期的长度为，并非一定取，而应该是否得到一个完整区间为准；如本题若在上求范围则分为两段和，不如在上是完整的一段. 【例2】求函数的定义域. 【解析】欲求函数定义域，则由 解得，取可得到定义域为 【点评】在解本题时，容易出现的失误是，由，得；或在解不等式组时出现错误，如得出函数的定义域为等.解类似本例的问题，其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解.而求公共解，如能借助于图形，由数形结合，往往可以事半功倍.具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图象来完成. 2.正余弦函数的有界性问题 【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？ （1）； （2）. 【解题策略】利用正余弦函数的有界性求解即可. 【解析】（1）由，∴当时，式子有意义. （2）由，即当时，式子有意义. 【点评】本题主要考察正余弦函数的有界性. 注意简单的绝对值不等式的解法. 3.正余弦函数的周期性问题 【例4】求下列函数的周期： （1）；（2）；（3） 【解题策略】由周期函数的定义，即找非零常数T，使 【解析】（1） 所以周期为 （2） 所以周期为2 （3）因为 因此的周期为.由余弦函数的图象性质可知的周期为 【点评】三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期.只有型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用.如，就不能说它的周期为对于型的三角函数周期是的周期的一半. 4.正余弦函数的奇偶性问题 【例5】已知，为常数，且，求. 【解题策略】要求函数值，需知函数解析式，因含两个参数，一个条件难确定.深入分析的内在联系，应向函数奇偶性联想.注意到为奇函数，问题自可获解. 【解析】因为， 所以为奇函数，所以，所以 5.正余弦函数的单调性问题 【例6】指出下列函数单调区间：（1）； （2）. 【解题策略】以上函数显然为复合函数，欲求复合函数单调区间，需明确该函数是由哪些基本函数复合而成，而后利用复合函数的单调性规律求解即可. 【解析】（1）设，则原函数化为，在上为增函数， 在为减函数，而在其定义域内为增函数. 由解得：， 由解得： ∴在上增，在上减 （2）设，则原函数化为在上严格增， 在上严格减. 而在R上严格减， ∴在上为减函数，在上严格增 【点评】本题通过换元，将函数，化为，.充分体现了转化的数学思想. 同时应记住复合函数的单调性法则：同增异减. 6.正余弦函数的图象问题 【例7】作函数 的图象. 【解题策略】首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象. 【解析】当，即时，有.其图象如图， 【点评】函数的图象即是的图象，因此作出的图象后，要把的这些点去掉. 【例8】已知函数和的图象围成的一个封闭的平面图形的面积为 【解题策略】作出他们的图象. 【解析】如图所示，，易得此封闭图形的面积为 【点评】本例应用数形结合的思想方法进行解答简洁明了. 7.以及正切函数的图象与性质 【例9】已知函数 在一个周期内的简图（如图），求相应的函数表达式，并说明其图象可由的图象经过怎样的变换而得到. 【解析】 由，得 又，故 将点的坐标代入上式，得 因此， 【例10】求下列函数的单调区间： （1） ；（2） 【答案】（1）单调增区间： （2）单调减区间： 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出，再由周期公式计算可得. 【详解】因为的最小正周期为，所以， 所以的最小正周期是. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简所求函数，结合三角函数的周期性即可得解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）方程的解集为 ； 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以或， 所以或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海·期中）将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接利用函数的图像的平移变换求解析式. 【详解】函数图像向左平移个单位， 所得图像的解析式为. 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海浦东新·期中）对于函数且. (1)求函数的定义域D； (2)判断π是否是的周期(不需要说明理由)；并证明2π是的一个周期. 【答案】(1) (2)π不是的周期，证明见解析 【分析】（1）根据解析式及正切函数的性质求定义域； （2）只需判断、是否成立即可. 【详解】（1）由解析式知：且，故的定义域. （2）由，故π不是的周期； 由，故2π是的一个周期； B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 (1)请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【分析】（1）利用周期可求得，利用五点作图法的第二个关键点可求，进而求得解析式可求； （2）由题意可得与的图象在上有两个交点，结合图象可求实数的取值范围. 【详解】（1）根据表中的数据，得， ，又，， 函数的解析式为， 令，解得， 可得， 数据补全如下表： 0 0 1 0 0 则最小正周期为 （2） 关于的方程在上有两个不同的实数解， 则与的图象有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 结合函数图像可知. 实数的取值范围为. 8．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数，的最大值是，其图象经过点． (1)求的解析式； (2)求的单调区间； (3)求的最值． 【答案】(1)； (2)增区间为， 减区间为； (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）根据函数的最值和过的点即可求得函数的解析式； （2）根据余弦函数的性质可得函数的单调区间； （3）换元后转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）的最大值为，， 又的图象过，， 或， ，， ； （2）由知， 增区间为， 减区间为； （3）， 令 ，， 则，， 当时，即，时，有最小值， 当时，即，时，有最大值． 9．（22-23高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据偶函数的性质得到对于任意，均有成立，即可求出的值，从而得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）当时，函数 ， 令，， 解得，． 所以此函数的单调递增区间为，； （2）由题意可知函数的定义域为， 又， 因为函数为偶函数， 所以对于任意，均有成立， 即， 即对于任意实数均成立， 只有当时成立，此时． 因为，所以，所以，所以， 即此函数在上的值域为． 10．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1),； (2). 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式易得周期，将看成整体角，利用正弦函数的增区间即得其单调增区间； （2）将不等式变形为，利用正弦型函数的图象求得在上的值域，列出不等式组解之即得. 【详解】（1）函数的最小正周期为, 由，解得，， 故函数的最小正周期为，单调增区间为. （2）由可得，即（*）， 因，设，当时，， 而在上递增，在上递减，故，则， 要使（*）式恒成立，需使，解得.故实数的取值范围是. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果. 【详解】对于A，若，则， 因为，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则， 因为，当时，，此时，故D错误. 故选：C. 12．（23-24高一下·上海·期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)处于向下的运动状态，理由见解析 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解； （2）结合（1）可得，，从而根据的取值范围可得的取值范围，即可判断单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态． 【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一周需要1分钟，所以，故， 在中，， 所以，即． （2）盛水筒处于向下运动的状态， 结合（1）可得，， 则当时，，此时单调递减， 所以盛水筒处于向下运动的状态． 13．（23-24高一下·上海·期中）给出集合对任意，都有成立． (1)若，求证：函数； (2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论： 命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数； 命题乙：集合中的元素都是偶函数； 请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例 【答案】(1)证明见解析 (2)甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析 【分析】（1）由集合的定义，只需证明符合即可； （2）由周期函数与奇偶性判断即可. 【详解】（1）证明：， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以是周期为6的周期函数， 即集合中的元素都是周期为6的函数； 若，则， 但，不是偶函数； 甲正确，乙错误． 14．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 【答案】(1)表格见解析，； (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可不全表格数据，并求函数的解析式； （2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点； （3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明. 【详解】（1）由表格数据可知，，得，， 所以，， 由时，，可知，， 所以由时，， 补全表格如下： 0 0 0 0 （2） 将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数，或 则函数的零点所组成的集合为或； （3）证明：，即， 因为，所以对任意的，都存在正整数，使得， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得. 15．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数图象的性质求得的值； （2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求． 【详解】（1） ， 由题，函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为，即函数的最小正周期为， 且，所以. （2）点是函数图象的一个对称中心,所以, 又因为的内角, 则，可知， 可得，所以， 在中，设外接圆半径为， 由得， 所以的外接圆的面积. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：30分钟 分值：30分】 16．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可. 【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意； 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，最小值为. ①当时，即时，无零点，则当时， 有7个零点，此时， 即，故零点分别为时取得. 故，解得； ②当，即时，有一个零点. 此时有6个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得. 又满足，故满足条件题意； ③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则 1.当，即时，在上有1个零点， 故有2个零点， 此时有5个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得，综上有 2.当，即时，在上无零点， 故有1个零点， 此时有6个零点，即，不满足； 综上有或或. 故答案为： 17．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，又，所以，解得， 所以， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. （2）依题意可得， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 的最小值为. （3）由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 18．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【详解】（1）函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$