专题03 《集合与逻辑》复习- 【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题03 《集合与逻辑》复习 项目 内容 集合的 有关概念 元素与集合 元素，集合，则或 元素的特征 确定性，互异性，无序性 集合的分类 有限集，无限集，空集 集合的表示方法 自然语言 所有不大于10的正整数组成的集合 列举法 如：，， 描述法 数集 ， 点集 区间 ，， 集合与集合的关系 若，则 且 且 集合与集合的运算 交集 且 并集 或 补集 且 充分条件 与 必要条件 充分条件 若，则是的充分条件 小 推 大 必要条件 若，则是的必要条件 充要条件 若，则是的充要条件 反证法 从假设命题的结论的反面成立出发，经过推理论证，得出与①题设（已知）；②定义、定理、公理；③假设；④推理过程中的内容之一矛盾，可以确定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确 考点剖析 【注意集合的代表元素】 例1. 已知集合，，则等于…………（ D ） A. B. C. D. 例2. 下列各组中两个集合相等的是…………………………………… …………… …………… ( B ) （1） （2） （3） （4） A. （1）（2）（3）（4） B. （1）（3） C. （1）（2）（4） D. （2）（4） 【利用数轴理解命题之间的充分必要关系】 例3. 设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 例4. 若方程的两个根满足条件：较小根小于1，较大根在1，3之间，求正数的取值范围. 【答案】 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意分别判断充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性： 因为:整数能被2整除，所以设此数为， 则不一定为整数，即不一定能被6整除，故充分性不成立； 必要性： 因为：整数能被6整除，所以设此数为， 则一定为整数，即一定能被2整除，故必要性成立. 综上所述，是的必要非充分条件. 故选：B 2．命题“存在，使得”的否定是 【答案】“对任意，都有” 【分析】根据特称命题的否定是全称命题书写即可. 【详解】命题“存在，使得”， 则命题的否定为“对任意，都有”， 故答案为：“对任意，都有” 3．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 【答案】至少有两个钝角 【分析】根据反证法思想作答． 【详解】应假设结论的反面，即假设：至少有两个钝角． 故答案为：至少有两个钝角． 4．已知集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据交集的概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 5．已知集合，，则 【答案】 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 6．已知全集，集合，则 . 【答案】 【分析】根据补集概念直接计算. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为： 7．已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【详解】（1），或， 所以或， 即； （2）因为，所以， ①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解， 综上可知. 8．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)是的真子集 (2) 【分析】（1）解方程得到，得到是的真子集； （2）分，和三种情况，求出答案. 【详解】（1）， 时，， 故是真的子集 （2），故， 当时，，满足要求， 当时，若时，，解得， 若时，，解得， 故实数的取值集合为. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据子集与真子集的定义及充分必要条件的定义可判断结果. 【详解】对于：因为，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个， 则集合M可能为三种情况，所以是的充分不必要条件， 故选：A. 10．设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【详解】U为全集，A、B为非空集合    对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 11．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据四种命题的基本关系，利用命题与其逆否命题的真假性可知“积跬步”一定是“至千里”的必要条件； 【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题， “故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”为真命题， 其逆否命题为“若，则”为真命题，反之不成立， 所以命题是命题的必要不充分条件， 故“积跬步”一定是“至千里”的必要条件； 故选：B. 12．如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断四个选项中所表示的集合范围，得到答案. 【详解】A选项，表示的为④，错误； B选项，表示的为③④⑤⑥⑦，错误； C选项，表示的为⑤，正确； D选项，表示的为①②③④⑧，错误. 故选：C 13．设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由是的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数m的取值范围． 【详解】∵：，：，是的充分条件， 则，则， ∴实数m的取值范围是. 故答案为：． 14．设集合，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】， 由交集的定义可知，. 故答案为： 15．已知集合，且，则 . 【答案】2 【分析】根据子集的性质进行求解即可. 【详解】①当时，，舍去, ②，由上可知，舍去， 综上所述：， 故答案为： 16．设全集为，，，则 . 【答案】 【分析】由补集与交集运算可得. 【详解】由全集，， 则，又， 则. 故答案为：. 17．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 18．已知，若且，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，然后根据集合元素的互异性以及集合相等的定义建立关系求出的值，再根据算式特征求和化简即可． 【详解】由且，可得， 因为， 根据集合元素的互异性可得，， 所以，则，此时， 所以，解得或或， 其中和，与集合中元素的互异性矛盾，舍去， 所以， 则 ， . 故答案为：． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 【答案】C 【分析】由集合与元素、集合与集合之间的关系从两个方面推理论证即可求解. 【详解】，有，从而有，进一步，即，所以， ，有，从而有，进一步有，即，所以， 综上所述，有. 故选：C. 20．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确，例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若，则， 故，⑤正确. ①②③⑤正确. 故选：C. 21．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 22．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件以及必要条件的定义进行判断即可. 【详解】对于①：因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故①正确； 对于②：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 说明集合中的元素都是集合中的元素，则， 即的必要不充分条件是，故②正确； 对于③：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 如，，则，，满足， 但是集合、没有任何关系，故推不出，即充分性不成立，故③错误； 对于④：集合中的元素与集合中的元素完全相同，则， 但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同， 如，，则，，显然集合、没有任何关系，故④错误． 故选：B 23．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 24．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 25．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用绝对值的几何意义化简不等式，再根据充分不必要条件列不等式求解即可. 【详解】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 26．已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可得，可得出关于实数的等式，解出实数的值，结合进行检验，即可得解； （2）分析可知，，对集合中的元素个数进行分类讨论，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由题意可知，，则，即，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）解：因为，则， 若，对于方程， ，解得； 若中只有一个元素，则，解得，此时，，合乎题意； 若中有两个元素，则，无解. 综上所述，. 27．（1）设集合，若，求实数的值； （2）设，求关于与的二元一次方程组的解集. 【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）确定，考虑和两种情况，解方程并验证得到答案. （2）整理得到，考虑和两种情况，解得答案. 【详解】（1），故， 当时，或，若，，不满足互异性，排除； 若，，满足条件； 当时，，此时，，不成立； 综上所述：. （2），则，， 当时，等式不成立，无解； 当时，，； 综上所述：当时，解集为；当时，解集为 28．（1）设：，：，若是的充分非必要条件，求实数a的取值范围； （2）设集合 ，集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（2） ． 【分析】（1）先根据α是β的充分不必要条件分析集合之间的关系，再分别讨论集合为空集和不为空集两种情况分别求解即可； （2）先分析集合之间的关系，再分别讨论集合为空集和不为空集两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1）因为α是β的充分非必要条件，所以． ①当 时， ，，满足题意； ②当 ， ，即 ，解得， 综上所述，a的取值范围为． （2）因为 ，所以分如下两种情况： ①当 时， ，解得，满足题意， ②当 时，即 ，a＞1， 综上所述，a的取值范围为． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 29．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 30．设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可设，满足条件即可得解； （2）根据满足任意，要证的形式，考虑反证法即可证明. 【详解】（1）令，满足， 当时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． 【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个使得，首先把拆成是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且最大是解题的另外一个关键点. 31．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 32．已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是. 【详解】（1）充分性：若，则； 当时，可得 若，可得或； 当时，；即可得 所以可得集合中至少含有两个元素，可知， 当时，可得；此时当时，即可得； 此时，满足；综上可知充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 即可得， 即，可得，所以必要性成立； 综上可得，的充要条件是； （2）若时，满足； 由（1）中的结论可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令 ①当时，即时，，符合题意； ②当时，即时，此时，但且，不合题意； ③当时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意； 综上可知，满足题意的的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果. 33．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可将带入集合中，得到集合的解集，即可求解出答案； （2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合与集合之间的关系，即可完成求解. 【详解】（1）当时，集合，集合，所以； （2）i.当选择条件①时，集合， 当时，，舍； 当集合时，即集合，时，， 此时要满足，则，解得， 结合，所以实数m的取值范围为或； ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时， 集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得， 所以实数m的取值范围为或； 故，实数m的取值范围为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 《集合与逻辑》复习 项目 内容 集合的 有关概念 元素与集合 元素，集合，则或 元素的特征 确定性，互异性，无序性 集合的分类 有限集，无限集，空集 集合的表示方法 自然语言 所有不大于10的正整数组成的集合 列举法 如：，， 描述法 数集 ， 点集 区间 ，， 集合与集合的关系 若，则 且 且 集合与集合的运算 交集 且 并集 或 补集 且 充分条件 与 必要条件 充分条件 若，则是的充分条件 小 推 大 必要条件 若，则是的必要条件 充要条件 若，则是的充要条件 反证法 从假设命题的结论的反面成立出发，经过推理论证，得出与①题设（已知）；②定义、定理、公理；③假设；④推理过程中的内容之一矛盾，可以确定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确 考点剖析 【注意集合的代表元素】 例1. 已知集合，，则等于…………（ ） A. B. C. D. 例2. 下列各组中两个集合相等的是…………………………………… …………… …………… ( ) （1） （2） （3） （4） A. （1）（2）（3）（4） B. （1）（3） C. （1）（2）（4） D. （2）（4） 【利用数轴理解命题之间的充分必要关系】 例3. 设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 例4. 若方程的两个根满足条件：较小根小于1，较大根在1，3之间，求正数的取值范围. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．已知:整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．命题“存在，使得”的否定是 3．若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 4．已知集合，则 ． 5．已知集合，，则 6．已知全集，集合，则 . 7．已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 8．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设为全集，、为非空集合，下面四个条件，其中是的充要条件个数有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4）. A．1 B．2 C．3 D．4 11．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．如图，U是全集，M、P、S是U的子集，则阴影部分表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 13．设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 14．设集合，则 . 15．已知集合，且，则 . 16．设全集为，，，则 . 17．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 18．已知，若且，则 . C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．已知非空集合且，设，，则对于的关系，下列问题正确的是（    ） A． B． C． D．的关系无法确定 20．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 21．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 22．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①④ 23．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 24．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 25．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 26．已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 27．（1）设集合，若，求实数的值； （2）设，求关于与的二元一次方程组的解集. 28．（1）设：，：，若是的充分非必要条件，求实数a的取值范围； （2）设集合 ，集合，若，求实数a的取值范围． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】29．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 30．设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 31．已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 32．已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 33．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$