专题02 常用逻辑用语-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题02 常用逻辑用语 目录 考点剖析 2 1. 命题 2 2. 推出关系 3 3. 充分条件，必要条件 3 4. 反证法 3 5. 一些常用的否定形式 4 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 6 C组 综合训练 8 D组 拓展延伸 11 1. 命题 能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性： 若且，则. 它是逻辑推理的基础. 3. 充分条件，必要条件 【定义】对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. （1）若，，那么叫做的充分非必要条件 （2）若，，那么叫做的必要非充分条件 （3）若，，那么叫做的充要条件 （4）若，，那么叫做的既非充分也非必要条件 【子集与推出关系】是的充分条件：；是的充分非必要条件：【小推大】 4. 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 5. 一些常用的否定形式 应用反证法证明命题第一步是假设的命题不成立，即否定命题的结论. 这一步是十分关键的. 只有这步表述得对了，接下去的逻辑推理才有意义. 数学上一些常用的否定形式如下表. 一些常用的否定形式 陈述句 陈述句 或 且 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的（至少有一个是错的） 所有的满足性质 至少存在一个不满足性质 所有的不满足性质 至少存在一个满足性质 考点剖析 1. 命题 例1. 下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ （1）个位数是5的自然数能被5整除； 【答案】真命题 （2）凡直角三角形都相似； 【答案】假命题 （3）上课请不要讲话； 【答案】不是命题（祈使句） （4）若两个角互为补角，则这两个角不相等；【答案】假命题 （5）你是高一学生吗？ 【答案】不是命题（一般疑问句） （6）. 【答案】不是命题（无法判断真假） 【解析】（6）虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 当被赋予不同的数值时，它就成为不同的命题. 例如，当时，“”是真命题；当时，“”是假命题. 2. 推出关系 例2. 在下列各题中，用符号“”或“”把这两件事联系起来. （1）：实数满足，： 或 【答案】 （2）：，：或（为全集） 【答案】 （3）：，： 【答案】 （4）：，： 【答案】 3. 充分条件，必要条件 例3. 指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） （1）：；：. 【答案】必要非充分条件 （2）：同位角相等；：两直线平行. 【答案】充要条件 （3）：；：. 【答案】既非充分也非必要条件 （4）：；：. 【答案】充分非必要条件 例4. 已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件，是的 条件. （填“充分”或“必要”） 【答案】必要；必要；必要 4. 反证法 例5. 设，证明：若是偶数，则也是偶数. 【解析】证明：假设是奇数，则可设，. 因为，这说明是奇数，与已知条件是偶数矛盾. 所以，一开始的假设不成立，即是偶数. 5. 一些常用的否定形式 例6. 已知，证明：若，则或. 【解析】证明：假设且，则，与已知矛盾， 所以假设不成立，故或. 例7. 证明：是无理数. 【解析】证明：假设是有理数，可设（都是正整数，且互素） 两边平方，化简得，所以为偶数. 由例6，知也是偶数【例6结论】 可以设(是正整数)，那么，得，所以为偶数. 再根据例6，知也是偶数 所以有公因数2，这与假设互素矛盾，所以假设不成立，故是无理数 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 2．若，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件直接判断即可. 【详解】当，则成立，但不成立， 所以充分性不成立； 因为，所以， 又因为，所以，即， 所以必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3．用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【答案】或. 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【详解】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或. 故答案为：或. 4．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由充分不必要条件的定义,知是的真子集,分情况讨论即可. 【详解】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 5．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交集和并集的概念直接计算求解即可； （2）将充分条件转化为集合包含关系进而列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 7．用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 8．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 9．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 10．（1）判断并证明集合和集合之间的关系； （2）判断并证明是的什么条件.（“充分非必要､必要非充分、充要、既非充分又非必要”中选择） 【答案】（1），证明见解析；（2）必要非充分，证明见解析 【分析】（1），从而得到； （2）解得到解集，根据两者的推出关系得到答案. 【详解】（1），理由如下： ， 故； （2）是的必要非充分条件，理由如下： ，则且， 则且， 但且， 所以是的必要非充分条件. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 12．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【详解】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 13．（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【答案】证明见解析； 【分析】（1）通过移项做差，利用分析法证明不等式即可. （2）利用反证法证明不等式即可. 【详解】（1）要证， 即证， 即证 即证 即证， 因为 所以得证； （2）由题，， 假设且 即，所以， 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 14．设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可； （2）举例说明即可. 【详解】（1）不妨设， 记，，共13个数. 假设不存在满足条件的k， 则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6， 从而①， 又因为 ，这与①矛盾. 故假设不成立，结论成立. 即存在非零自然数k，使得方程至少有三组不同的解. （2）例如， 则（正数）：1，3，5，6，9，10，15各两个，2，4，7，12，13，14，16各1个， 即没有三个相等的值，所以于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 15．已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1）由于，所以， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3）集合，成立， ①当和同为奇数和偶数时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数， 综上所述：所有满足集合的偶数为． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 16．设,,是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果,，则，证明：,,中必有两个集合相等． 【答案】证明见解析 【分析】首先用反证法的思想证明在某个集合中有0，不妨设，则对任意，有，所以包含于，对于任意，有，所以包含于，所以. 【详解】由,，则，故，则三个集合中都有非负整数， 若三个集合都没有0，则取中最小的正整数a， 不妨设，取中的最小正整数b，不妨设，这时， （否则b不可能大于a，只能等于a，所以，矛盾）； 但是，这样就导致，且，与b为中的最小正整数矛盾． ∴三个集合中必有一个集合含有0． ∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设，则，有， ∴包含于，对于任意，有， ∴包含于，则． 综上所述，这三个集合中必有两个集合相等． 17．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A. （2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论； （3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数. 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，有：，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 18．设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）；（2）充分非必要条件，理由见解析. 【分析】（1）根据已知列出不等式，计算求解即可； （2）由，分，，两种情况，根据不等式性质，依次推理可得，即可得出为充分条件，当“x比y更接近m”时，可知，观察可知，不一定成立,即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，即，解得：，则实数的取值范围是. （2）①由题意可知. 1）若，则，显然必有 那么，若，则显然，满足, 若，则必有，满足 2）同理若，则，显然必有 那么，，则显然，满足,若，则必有，满足 是“x比y更接近m”的充分条件, ②x比y更接近m，则，或, 显然存在成立. " x比y更接近m "不是的必要条件 综上是"x比y更接近m"的充分非必要条件. 【点睛】本题考查新定义"接近"的理解和运用，考查充分、必要条件的证明，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语 目录 考点剖析 3 1. 命题 3 2. 推出关系 3 3. 充分条件，必要条件 3 4. 反证法 3 5. 一些常用的否定形式 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 4 C组 综合训练 5 D组 拓展延伸 5 1. 命题 能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）. 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述. 2. 推出关系 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性： 若且，则. 它是逻辑推理的基础. 3. 充分条件，必要条件 【定义】对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”. 【举例】小明是上海人，小明是中国人. （1）若，，那么叫做的充分非必要条件 （2）若，，那么叫做的必要非充分条件 （3）若，，那么叫做的充要条件 （4）若，，那么叫做的既非充分也非必要条件 【子集与推出关系】是的充分条件：；是的充分非必要条件：【小推大】 4. 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 5. 一些常用的否定形式 应用反证法证明命题第一步是假设的命题不成立，即否定命题的结论. 这一步是十分关键的. 只有这步表述得对了，接下去的逻辑推理才有意义. 数学上一些常用的否定形式如下表. 一些常用的否定形式 陈述句 陈述句 或 且 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的（至少有一个是错的） 所有的满足性质 至少存在一个不满足性质 所有的不满足性质 至少存在一个满足性质 考点剖析 1. 命题 例1. 下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ （1）个位数是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）若两个角互为补角，则这两个角不相等； （5）你是高一学生吗？ （6）. 2. 推出关系 例2. 在下列各题中，用符号“”或“”把这两件事联系起来. （1）：实数满足，： 或 （2）：，：或（为全集） （3）：，： （4）：，： 3. 充分条件，必要条件 例3. 指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） （1）：；：. （2）：同位角相等；：两直线平行. （3）：；：. （4）：；：. 例4. 已知是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件，是的 条件. （填“充分”或“必要”） 4. 反证法 例5.设，证明：若是偶数，则也是偶数. 5. 一些常用的否定形式 例6. 已知，证明：若，则或. 例7. 证明：是无理数. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．若，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 4．已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 5．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 7．用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 8．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 9．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 10．（1）判断并证明集合和集合之间的关系； （2）判断并证明是的什么条件.（“充分非必要､必要非充分、充要、既非充分又非必要”中选择） C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 13．（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 14．设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 15．已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】16．设,,是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果,，则，证明：,,中必有两个集合相等． 17．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 18．设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$