专题01 集合的表示及集合之间的关系- 【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题01 集合的表示及集合之间的关系 目录 考点剖析 1 1.集合的有关概念 5 2.集合的表示方法 5 3.集合之间的关系 6 4.集合的运算 6 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 7 C组 综合训练 7 D组 拓展延伸 8 （一）集合的有关概念 1. 我们经常要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类. 例如：（1）上海加里敦CP大学二次元专业的学生；（2）农药国服榜一的小姐姐；（3）不等式的所有解. 概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集. 集合通常用大写字母、、表示. 2. 集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element）. 元素通常用小写字母、、表示. 3. 元素与集合的关系；（1）如果是集合的元素，就记作，读作“属于”； （2）如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”. 4. 集合的元素的特征 （1）确定性：给定一个集合，一个对象在不在这个集合中就确定了. （2）互异性：一个元素在同一个集合中是不能重复出现的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的先后顺序，两个集合只要元素相同，就是同一个集合. 5. 常用数集及符号 数集 符号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 【猜一猜】分别是什么含义？ 6. 集合的分类：有限集（finite set），无限集（infinite set）. 特别地，不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作. 引进空集是有必要的. 例如，方程没有实数解，我们就说它的实数解组成的集合是空集. 又如，当两条直线平行时，他们没有公共点，就可说这两条直线的公共点组成的集合是空集. 在以后学习交集时，我们还将进一步体会到引入空集的必要性. （二）集合的表示方法 除了用自然语言来描述集合，我们还常用列举法和描述法来表示集合. （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内. 例如，方程的所有解组成的集合可以表示为，也可以表示为. 这是因为在讨论集合时，不考虑其元素的顺序. 说明：列举法通常用于表示有限集，但对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也 可用列举法表示. 例如全体正偶数组成的集合可以表示为. （2）描述法：在大括号内先写上表示这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征，即 满足性质. 例如，方程的所有解组成的集合可以表示为. 又如，一次函数图像上的所有点组成的集合可以表示为. （三）集合之间的关系 1. 集合之间的“包含”关系： 考察，，容易发现，集合的每个元素都属于集合. 如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集（suBset）. 记作：（或）. 读作：包含于（is contained in），或包含（contains）. 对任何集合，规定 . 【空集是任何集合的子集】 用文氏图（Venn Diagram）表示两个集合间的“包含”关系 B A （或） 2. 集合之间的 “相等”关系： 且，则和中的元素是一样的，因此，即. 结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即； （2），且，则. 3. 真子集的概念 若集合，至少有一个元素且，则称集合是集合的真子集（proper subset）. 记作：（或） 读作：真包含于（或真包含） 结论：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. （四）交集 1. 提出问题 （1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合集合有什么关系？ （2）考察集合，与集合之间的关系. 2. 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集（intersection），记作，读作“交”，即 . 例如，； 又如，，，则. 可以用文氏图直观地反映的三种不同情况，如图所示. 3. 基本性质 （1）； （2）； （3）； （4） （五）并集 1. 提出问题 （1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合集合有什么关系？ （2）考察集合，与集合之间的关系. 2. 定义 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的并集（union），记作，读作“A并B”，即 . 例如，； 又如，，，则. 可以用文氏图直观地反映的三种不同情况，如图所示. 3. 基本性质 （1）； （2）； （3）； （4） （六）全集与补集 1. 定义 （1）全集：在数学研究中，所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或者元素，那么这个确定的集合称为全集（universal set），常用符号表示. （2）补集；若是全集的子集，由中不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集（complementary set），记作，读作“补”，即 且 可以用文氏图直观地反映，如图所示，其中阴影部分表示集合在全集中的补集. 2. 基本性质 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 考点剖析 1.集合的有关概念 例1. 用符号、填空： （1） 0____； （2） 0____； （3） 0____； （4） 0____； （5） ____； （6） _____ 2.集合的表示方法 例2. 用适当的方法表示下列集合： （1）大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； （2）被3除余2的自然数全体组成的集合；（3）直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 例3. 用区间表示下列集合：（1）； （2）不等式的所有解组成的集合. 3.集合之间的关系 例4. 确定整数，使. 例5. 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： （1）与； （2）与. 例6. 写出集合的所有子集，并指出哪些是真子集. 例7. 设，，试求集合，使且. 4.集合的运算 例8. 已知集合，，那么集合为 ……… （ ） A. B.  C. D.  例9. 已知关于的方程的解集为，方程的解集为，若，求.  例10. 设，，，求，. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合，，则 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，则 ． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 5．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（22-23高一上·上海·期末）设全集与集合，的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 8．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 9．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 10．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 12．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 13．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围； 15．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】16．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 17．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 18．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 19．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 20．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的表示及集合之间的关系 目录 考点剖析 5 1.集合的有关概念 5 2.集合的表示方法 5 3.集合之间的关系 6 4.集合的运算 6 过关检测 7 A组 双基过关 7 B组 巩固提高 8 C组 综合训练 10 D组 拓展延伸 14 （一）集合的有关概念 1. 我们经常要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类. 例如：（1）上海加里敦CP大学二次元专业的学生；（2）农药国服榜一的小姐姐；（3）不等式的所有解. 概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集. 集合通常用大写字母、、表示. 2. 集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element）. 元素通常用小写字母、、表示. 3. 元素与集合的关系；（1）如果是集合的元素，就记作，读作“属于”； （2）如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”. 4. 集合的元素的特征 （1）确定性：给定一个集合，一个对象在不在这个集合中就确定了. （2）互异性：一个元素在同一个集合中是不能重复出现的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的先后顺序，两个集合只要元素相同，就是同一个集合. 5. 常用数集及符号 数集 符号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 【猜一猜】分别是什么含义？ 6. 集合的分类：有限集（finite set），无限集（infinite set）. 特别地，不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作. 引进空集是有必要的. 例如，方程没有实数解，我们就说它的实数解组成的集合是空集. 又如，当两条直线平行时，他们没有公共点，就可说这两条直线的公共点组成的集合是空集. 在以后学习交集时，我们还将进一步体会到引入空集的必要性. （二）集合的表示方法 除了用自然语言来描述集合，我们还常用列举法和描述法来表示集合. （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内. 例如，方程的所有解组成的集合可以表示为，也可以表示为. 这是因为在讨论集合时，不考虑其元素的顺序. 说明：列举法通常用于表示有限集，但对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也 可用列举法表示. 例如全体正偶数组成的集合可以表示为. （2）描述法：在大括号内先写上表示这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征，即 满足性质. 例如，方程的所有解组成的集合可以表示为. 又如，一次函数图像上的所有点组成的集合可以表示为. （三）集合之间的关系 1. 集合之间的“包含”关系： 考察，，容易发现，集合的每个元素都属于集合. 如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集（suBset）. 记作：（或）. 读作：包含于（is contained in），或包含（contains）. 对任何集合，规定 . 【空集是任何集合的子集】 用文氏图（Venn Diagram）表示两个集合间的“包含”关系 B A （或） 2. 集合之间的 “相等”关系： 且，则和中的元素是一样的，因此，即. 结论：（1）任何一个集合是它本身的子集，即； （2），且，则. 3. 真子集的概念 若集合，至少有一个元素且，则称集合是集合的真子集（proper subset）. 记作：（或） 读作：真包含于（或真包含） 结论：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. （四）交集 1. 提出问题 （1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合集合有什么关系？ （2）考察集合，与集合之间的关系. 2. 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集（intersection），记作，读作“交”，即 . 例如，； 又如，，，则. 可以用文氏图直观地反映的三种不同情况，如图所示. 3. 基本性质 （1）； （2）； （3）； （4） （五）并集 1. 提出问题 （1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合集合有什么关系？ （2）考察集合，与集合之间的关系. 2. 定义 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的并集（union），记作，读作“A并B”，即 . 例如，； 又如，，，则. 可以用文氏图直观地反映的三种不同情况，如图所示. 3. 基本性质 （1）； （2）； （3）； （4） （六）全集与补集 1. 定义 （1）全集：在数学研究中，所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或者元素，那么这个确定的集合称为全集（universal set），常用符号表示. （2）补集；若是全集的子集，由中不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集（complementary set），记作，读作“补”，即 且 可以用文氏图直观地反映，如图所示，其中阴影部分表示集合在全集中的补集. 2. 基本性质 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 考点剖析 1.集合的有关概念 例1. 用符号、填空： （1） 0____；∈ （2） 0____；∉ （3） 0____；∈ （4） 0____；∈ （5） ____；∉ （6） _____∈ 2.集合的表示方法 例2. 用适当的方法表示下列集合： （1）大于0且不超过10的全体偶数组成的集合；【答案】 （2）被3除余2的自然数全体组成的集合；【答案】 （3）直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 【答案】 【注意】引导学生得出二四象限的点所具有的共同特征 例3. 用区间表示下列集合：（1）； （2）不等式的所有解组成的集合. 【答案】（1）；（2） 3.集合之间的关系 例4. 确定整数，使. 【答案】， 例5. 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： （1）与；【答案】 （2）与. 【答案】 例6. 写出集合的所有子集，并指出哪些是真子集. 【答案】可以按照子集的元素个数分类： 除之外，其余7个都是真子集 例7. 设，，试求集合，使且. 【答案】{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4} 【讲解要点】通过让学生枚举，，，子集，科普子集个数 4.集合的运算 例8. 已知集合，，那么集合为 ……… （ D ） A. B.  C. D.  注：求两集合的交集，即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合. 本题中就是求方程组的解组成的集合. 另外要弄清集合中元素的一般形式. 例9. 已知关于的方程的解集为，方程的解集为，若，求.  【答案】 【提示】根的个数，韦达定理 【解析】设方程的两根为和，方程的两根为和 由韦达定理，得 ， 注：中的元素既是中的元素，又是中的元素，是解决本题的突破口；中只能出现一次与的公共元素，这是在求集合并集时需注意的.  例10. 设，，，求，. 【答案】={4，5，6，7，8}；={1，2，7，8} 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由题意，, 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据补集的概念进行求解. 【详解】根据补集的概念可得 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 5．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的意义直接表示集合. 【详解】， 故答案为：. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（22-23高一上·上海·期末）设全集与集合，的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合，即可求解. 【详解】由图得，元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合为. 故选：D. 7．（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【分析】根据题意，得到伙伴关系集合为，共有4组，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 8．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 10．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    12．（23-24高一上·上海·期中）已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 14．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合B元素情况分类求解即可. 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足，所以或. （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以. （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解； 综上，. 15．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 【答案】(1)不具有性质具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义直接判断即可； （2）由定义可知，，，再验证即可证明； （3）由定义推导出，可得集合. 【详解】（1）（1）由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质P． 由于都属于数集，所以数集 具有性质； （2）由，故，则，即， 时，，则，故， ，则有， 所以且对任意都是的因数； （3）由（2）知，当时，，，则， 由，则，所以， 由，则，得， 所以集合. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 16．（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 17．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【分析】根据新定义运算逐个判断即可. 【详解】由nand定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即， 则或，或， 所以或 或， 所以， 综上，，， . 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求解决问题. 18．（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 19．（23-24高一上·上海·期中）对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是． (1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素； (2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过； (3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是． 【答案】(1)、 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“协同子集”的定义直接写出另外两个元素； （2）若为的一个“协同子集”，考虑元素，进行判断证明即可； （3）根据“协同子集”的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知，中两个元素分别为和，这两个元素第个分量都是， 故中另外两个元素分别为、. （2）解：对于，考虑元素； 显然，、、，对于任意的，、、不可能都为， 可得、不可能都在“协同子集”中． 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 由的定义知道，，，， 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过． （3）证明：，， 定义元素、的乘积为，显然． 我们证明“对任意的，都有.” 假设存在、使得， 则由（2）知，． 此时，对于任意的，、、不可能同时为，矛盾，所以． 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的分量不能都为，不妨设， 根据的定义，可以知道中所有元素的第个分量都为． 下面再证明的唯一性： 若还有，即中所有元素的第个分量都为， 此时由（2）可知集合中元素个数至多为个，矛盾． 所以结论成立． 【点睛】方法点睛：解决集合新定义问题的方法： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用“协同子集”的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用“协同子集”的性质． 20．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【详解】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$