数学16 以集合为背景的创新题-2015年高考理数母题题源系列

联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网） 邮政编码：102413 电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898 1 【母题来源】2015浙江卷理–6 【母题原题】设A，B是有限集，定义 ( , ) ( ) ( )d A B card A B card A B   ，其中 ( )card A 表示有限集 A中的元素个数，命题①：对任意有限集A，B，“A B ”是“ ( , ) 0d A B  ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C， ( , ) ( , ) ( , )d A C d A B d B C  ，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】A． 【考点定位】集合的性质． 【试题解析】 解法一：命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知 ),( CAd 表示的区域不大于 ),(),( CBdBAd  的区域，故命题②也正确，故选A. 联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网） 邮政编码：102413 电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898 2 解法二：命题①显然正确，而条件中关于集合的新定义可以类比为平面几何中两点间距离的定义，即集合 间的距离，故根据两点之间线段最短，类比到集合间距离，可知②正确. 【命题意图】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的 集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合A， B，C，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较. 【方法、技巧、规律】以集合为背景的创新题，通常是以集合为载体，综合考查函数、数列、不等式等知 识点，体现了集合的工具性，甚至部分试题是大学高等数学的下放题，在平时的训练时可以多积累此方面 的素材. 【变式】【2014届湖南省长沙市高考二模】若三个非零且互不相等的实数a，b，c满足 1 1 2 a b c   ，则称 a，b，c是调和的；若满足 2a c b  ，则称a，b，c是等差的.若集合P中元素a，b，c既是调和的， 又是等差的，则称集合P为“好集”，若集合  2014,M x x x