拓展01集合新定义压轴题训练-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

拓展01集合新定义压轴题训练 1．如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 2．如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（   ） A．7个 B．9个 C．10个 D．14个 3．对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B． C． D． 4．（多选）已知集合，定义，则下列命题正确的是（    ） A．若，则与的全部元素之和等于3874 B．若表示实数集，表示正实数集，则 C．若表示实数集，则 D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域 5．已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 6．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 7．对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”. (1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）； (2)若，且是“对称的”，求的值； (3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：. 8．已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 9．设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 10．设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M  ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M  ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 11．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． (3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 12．设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合： ①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”. (1)若集合，求的“集”； (2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：； (3)若存在“集”，且，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展01集合新定义压轴题训练 1．如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论. 2．如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（   ） A．7个 B．9个 C．10个 D．14个 【答案】D 【详解】不妨设，则： 的2划分有，，，，，，； 的3划分有，，，，，； 的4划分只有. 综上，的划分共有个，D正确. 故选：D. 3．对于全集R的子集A，定义函数为A的特征函数．设A，B为全集R的子集，下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，，若，则，此时， 若且，则，，若，则，则，所以成立，A正确； 选项B，由补集定义知时，，， 同样知时，，， 所以，B正确； 选项C，时，必有且，因此， 当时，与中至少有一个成立， 因此，而与至少有一个成立， 综上有，C正确； 选项D，当时，若，则，，， 因此，此时不成立，D错误． 故选：D． 4．（多选）已知集合，定义，则下列命题正确的是（    ） A．若，则与的全部元素之和等于3874 B．若表示实数集，表示正实数集，则 C．若表示实数集，则 D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域 【答案】BD 【详解】对于选项A：因为， 根据所给定义可得，， 则与的全部元素之和等于3872，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C：，表示幂函数的值域， 可知幂函数的值域为，即，故选项C错误； 对于选项D：因为， 当时，则， 可得，故选项D正确. 故选：BD. 5．已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【详解】因为满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以一定各包含4个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9， 特征数的和最小，如：，特征数为13； ，特征数为11；，特征数为9； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为13； ，特征数为15；，特征数为17； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的差为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，利用子集知识求解即可. 6．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 7．对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”. (1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）； (2)若，且是“对称的”，求的值； (3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：. 【答案】(1)是，是，否 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可判断：是，是，否 （2）因为，且是“对称的”， 所以可取，设满足，即， 因为，所以中必有一个负数一个正数， 而X中只有一个负数，所以必有一个是， 若则，但且，与题意矛盾； 若则，其中，当时，，不符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 所以. （3）证明：取，设，满足， 所以，所以异号， 因为是X中的唯一的负数， 所以中之一为，另一个为，所以； 假设，其中，则， 选取，并设，满足， 所以，则异号，从而之中恰有一个为， 若，则，而正数，故即，与矛盾； 若，则，矛盾， 所以当时，， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可.分类整合进行推理判断是解决第三问的关键. 8．已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)不一定是数域，证明见详解 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环； 综上所述：元素个数最小的数环为. （2）设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： 1.若，显然均为数域，且是数域； 2.设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 例如：，例如， 但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 9．设为正整数，若满足：①；②对于，均有.则称具有性质.对于和，定义集合. (1)设，若具有性质，写出一个及相应的； (2)设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1），； ，； ，； ，； ，； ，. （2）假设存在和均具有性质，且， 则， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶， 又因为为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立. 综上所述：不存在具有性质的和，满足. 10．设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M  ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M  ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域；有理数集、实数集、复数集是数环也是数域； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即 （3）设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解数环与数域的定义，并且应用. 11．设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质． (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由． (2)若．证明：A不可能具有性质． (3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)920 【详解】（1）因为，又， 但，所以集合不具有性质， 因为，又， 但， 所以集合具有性质. （2）将集合中的元素分为如下个集合， ， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质. （3）先说明连续11项中集合中最多选取5项， 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 12．设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合： ①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”. (1)若集合，求的“集”； (2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：； (3)若存在“集”，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)4. 【详解】（1） 若，由题意可得，，，，即，此时，满足题意， 假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，∴不成立； 若，则，∴或9或27，矛盾.故集合中无四个元素，所以集合. （2） 设集合，不妨设， 假设，即，则且， 由②知，注意到，故有，即，所以， 故，即，因为集合中有4个元素，故设， 由②可得：若，则，∴，矛盾； 若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾， 假设错误，故. （3） ，，不妨设， 所以，，又，故，同理可得， 若，与（2）类似得，从而必有， 对任意的，有，即，所以，即. 若，即，，故，，，， 所以，即，从而必有， 对任意的，必有，即，所以，即. 综上，得，又时，有，符合题意， 所以的最大值为4 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是充分利用定义并分类讨论和求解第三问,并充分利用反证法推理. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$